1-15.极限的应用---函数的渐近线

模块基本信息一级模块名称函数与极限二级模块名称应用模块三级模块名称极限的应用---函数的渐近线模块编号1-15先行知识无穷小与无穷大模块编号1-10知识内容教学要求掌握程度1、函数渐近线的建模过程；1、了解建模步骤，理解渐近线的建模过程；简单应用2、渐近线的分类；2、熟悉渐近线的类别及其特征；3、渐近线的求解方法。3、掌握渐近线的求解。能力目标1、培养学生应用数学分析问题和解决问题的能力2、巩固运算能力时间分配30分钟编撰秦小娜校对方玲玲审核危子青修订熊文婷二审危子青一、正文编写思路及特点：思路：预备知识—三类渐近线—渐近线的定义、建模过程及求法—案例.学生对渐近线从不了解到掌握求解方法，是一个从无到有的过程，充分融入了数学建模的思想，既能让学生了解简单的建模，又能巩固对极限的运算能力.特点：1、在构建渐近线的过程中，让学生了解简单的数学建模，从而培养学生分析问题、解决问题的能力；2、在学生掌握渐近线的求解方法时巩固运算能力。二、授课部分(一)预备知识1、在自变量的某种趋势下，以零为极限的变量(x)称为无穷小量，简称无穷小.2、在自变量的某种变化趋势下，若变量(x)的绝对值无限增大，则称变量(x)为无穷大量.（二）三类渐近线图1（函数xy1）图2（双曲线221xy）分析：1.图1中，直线y=0(即x轴)是曲线1yx的一条渐近线，呈水平状；yxyx2.图1中，直线x=0(即y轴)也是曲线1yx的一条渐近线，呈垂直状；3.图2中，yx和yx为双曲线221xy的两条渐进线，呈倾斜状.小结：1.直线y=0是曲线1yx的水平渐近线；2.直线x=0是曲线1yx的垂直渐近线；3.yx和yx为双曲线221xy的两条斜渐进线.（三）渐近线的定义、建模过程及求法1、定义如果曲线上的动点沿着曲线远离原点时，该点与某定直线的距离趋于零，则称此定直线为曲线的渐近线.（选讲）2、曲线的渐近线的构建过程（供老师参考）第一步：模型假设、问题分析.⑴斜率k存在的情况.假设ykxb是曲线y=f(x)当x时的渐近线，等价于曲线上的点P（x,f(x)）到直线0ykxb的距离2()1fxkxbdk趋于零，即2()lim01xfxkxbk.⑵斜率k不存在的情况.即当0xx时，曲线y=f(x)的取值会趋于，即yxx0lim.第二步：模型建立.⑴斜率k存在的情况.由于2()lim01xfxkxbk等价于lim[()]0xfxkxb,从而有()()limlim[]0xxfxkxbfxkxx,即()limxfxkx,lim[()]xbfxkx.⑵斜率k不存在的情况.yxx0lim等价于0limxxy，从而有0xx为渐近线.3、渐近线的求法⑴水平渐近线（即平行于x轴的渐近线）如果lim()xfxA或lim()xfxA，则直线yA是曲线y=f(x)的水平渐近线.⑵垂直渐近线（即垂直于x轴的渐近线）如果0lim()xxfx或0lim()xxfx,则直线0xx是曲线y=f(x)的垂直渐近线.⑶斜渐近线如果满足下列两个条件：①()lim(0)xfxkkx或()lim(0)xfxkkx（k不为无穷大）②lim[()]xfxkxb或lim[()]xfxkxb则曲线y=f(x)有一条斜渐近线ykxb.总结：在求曲线的渐近线时，为了避免漏掉渐近线，应从x和x（0xx和0xx）两种情况考虑极限.（四）案例例1.求241xyx的渐近线.解：241lim0xxx0y为函数曲线的水平渐近线.例2.求1(2)(3)yxx的渐近线.解：21lim(2)(3)xxx，31lim(2)(3)xxx2x和3x为函数曲线的两条垂直渐近线.例3.求2(2)(3)1xxyx的渐近线.解：12(2)(3)lim1xxxx1x为函数曲线的垂直渐近线.又()2(2)(3)limlim2(1)xxfxxxxxx，2(2)(3)2(2)(3)2(1)lim[2]lim4(1)1xxxxxxxxxxxx24yx为曲线的斜渐近线.三、能力反馈部分1、（考查学生对渐近线分类及特征的掌握程度）⑴2y和2y为曲线arctanyx的_______渐近线；⑵0y为曲线lnyx的_______渐近线；⑶yaxb为双曲线12222yxab的_______渐近线.2、（考查学生对渐近线求解的掌握程度）⑴曲线y=1-x1（）A．有一条渐近线B．有二条渐近线C．有三条渐近线D．无渐近线⑵求下列曲线的渐近线.yxyx①1ln()yxex②221xyx