§2.5-等比数列的前n项和-第一课时

§2.5等比数列的前n项和第1课时1.掌握等比数列的前n项和公式.(重点）2.掌握前n项和公式的推导方法.（重点）3.对前n项和公式能进行简单应用.（难点）问题1：传说在很久以前，古印度舍罕王在宫廷单调的生活中，发现了64格棋（也就是现在的国际象棋）的有趣和奥妙，决定要重赏发明人——他的宰相西萨•班•达依尔，让他随意选择奖品.宰相要求的赏赐是：在棋盘的第一格内赏他一粒麦子，第二格内赏他两粒麦子，第三格内赏他四粒麦子……依此类推，每一格上的麦子数都是前一格的两倍，国王一听，几粒麦子，加起来也不过一小袋，他就答应了宰相的要求.实际上国王能满足宰相的要求吗？？问题2：甲、乙二人约定在一个月（按30天）内甲每天给乙100元钱，而乙则第一天给甲返还一分，第二天给甲返还二分，即后一天返还的钱是前一天的二倍.问谁赢谁亏？分析：数学建模{an}：100，100，100，……，100q=1{bn}：1，2，22，23，……，229q=2S30=100+100+…+100T30=1+2+22+…+229这是一个比较大小的问题，实质上是求等比数列前n项和的问题.在等比数列{an}中,当q=1时，Sn=a1+a2+a3+…+an－1+an=na1当q≠1时，Sn=a1+a2+a3+…+an－1+an=？qsn=错位相减法23111111nnaqaqaqaqaq1(1)1nnaqSqq≠1若q=1时,1nSna1nnaa已知:等比数列中,q,n.求S123nnSaaaa11(1)nnqSaaq111111qnaqqqaSnn)(探究（一)：等比数列的前n项和公式①②两边同时乘以q得：…3qa21111qaqaanS11nqa通项公式:an=a1•qn-1等比数列{an}a1qna1•qqn-1•anq等比数列的前n项和111111qnaqqqaSnn)(11111qnaqqqaaSnn说明：1、以上推导公式的方法我们称之为“错位相减法”.等比数列的前n项和公式可不只有上面这种方法啊！它的推导方法还有好多种,有兴趣的同学可别忘了下去研究啊！等比数列的前n项和公式为：(2))1()1(1(1))1()1(1)1(1111qnaqqqaaSqnaqqqaSnnnn或)1(1nqa3.在公式（1）中，当q≠1时，分母是1－q时，分子是，分母是q－1时，分子是。)1(1nqa2.当公比q不确定时，应当分q=1和q≠1两种情况讨论。4.五个量n，a1，q，an，Sn中，解决“知三求二”问题.方程意识要强，计算要过关。去看看如何使用吧!n+1判断是非：n2222132n21211)(nn）（2)()(21211n12168421n)(2n011)11(55555nn个问题1：棋盘上各个格子里的麦粒数依次是于是棋盘上的麦粒总数就是有了上述公式，就可以解决开头提出的问题了，问题1：a1=1,q=2,n=64.可得:S64=估计千粒麦子的质量约为40g，那么麦粒的总质量超过了7000亿吨，因此，国王不能实现他的诺言.问题2：答案：230–1(分)＝10737418.23(元)远大于3000元1，2，22,23，……2631+2+22+23+……+26319例求下列等比数列前8项的和:111（1）,,,.2481（2）a＝27，a＝，q0.243例1、当时81988112由a=27,a=,可得＝27×q,243243又由q0,可得1q=-,31271--31640于是n=8，S==.1811--3练习1.根据下列各题中的条件,求出相应等比数列{an}的前n项和Sn6,2,3)1(1nqa21,21,8)2(1naqa2312115)2(189)1(或答案nnSS2.在等比数列数列中na441,96,5.1)1(Sqaa和求已知515,831,21)2(aaSq和求已知812)2(215314)1(51414aaqqaaSq答案方程思想(知三求二）例2、某商场第一年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从第一年起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)？分析：第1年产量为5000台第2年产量为5000×(1+10%)=5000×1.1台第3年产量为5000×(1+10%)×(1+10%)台21.15000……第n年产量为台11.15000n则n年内的总产量为：121.151.151.155n解：由题意,从第1年起,每年的销售量组成一个等比数列,na其中,30000,1.1%101,50001nSqa∴.300001.111.115000n即.6.11.1n两边取常用对数，得6.1lg1.1lgn∴5041.020.01.1lg6.1lgn(年)答：约5年可以使总销售量量达到30000台1.在正项等比数列{an}中，若S2=7,S6=91,则S4的值为（）A.28B.32C.35D.49A2．一个等比数列共有3n项，其前n项之积为A，次n项之积为B，末n项之积为C，则一定有（）A.A+B=CB.A+C=2BC.AB=CD.AC=B2D课后思考：提示:对q进行分类讨论:21:1nqqq求和综上::(1)0,1;(2)1,;101,;1nqSqSnqqqSq解当时当时(3)当且时1,11,11nqSqSqq或等比数列前n项和公式乘公比错位相减小结111111qnaqqqaSnn)(或11111qnaqqqaaSnn知三求二等比数列的前n项和公式数学源于生活数学用于生活