中科院大学数值分析期末复习大纲

........复习误差数值微积分数值代数数值方程复习数值分析1/1........误差绝对误差（限）相对误差（限）有效数字，精确到小数点后几位一元函数的误差估计复习数值分析2/1......例：π=3.1415926535，3.1416有五位有效数字,误差限为0.00005。f(x)−f(x∗)=f′(x∗)(x−x∗)+f′′(ξ)2(x−x∗)2ξ介于x与x∗之间。ε(f(x∗))≈|f′(x∗)|ε(x∗)。误差主项。复习数值分析3/1......例：π=3.1415926535，3.1416有五位有效数字,误差限为0.00005。f(x)−f(x∗)=f′(x∗)(x−x∗)+f′′(ξ)2(x−x∗)2ξ介于x与x∗之间。ε(f(x∗))≈|f′(x∗)|ε(x∗)。误差主项。复习数值分析3/1......例：已测得某场地长l的值l∗=110m，宽d的值d∗=80m，已知|l−l∗|≤0.2m，|d−d∗|≤0.1m。试求面积s=ld的绝对误差和相对误差限。复习数值分析4/1........数值微积分插值法函数逼近数值积分复习数值分析5/1........插值法拉格朗日插值：基函数、插值多项式、余项牛顿插值：基函数、插值多项式、余项差商表的计算埃尔米特插值多项式、余项带重点差商表的计算。复习数值分析6/1......例2已知sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274用线性插值和抛物线插值计算sin0.3367的值并估计误差。两种方法复习数值分析7/1......例：已知函数表如下，求f[1,3,4,7]。xk1347f(xk)021512均差表。求3次牛顿插值多项式。复习数值分析8/1......例：设f=x3/2,x0=14,x1=1,x2=94，求f在[14,94]上的三次Hermite插值多项式P(x)，使得P(xi)=f(xi)(i=0,1,2),P′(x1)=f′(x1).复习数值分析9/1......范数（向量与函数）：1，2，∞。带权内积：连续：(f,g)=∫baρ(x)f(x)g(x)dx，离散：(f,g)=n∑i=0ω(xi)f(xi)g(xi)dx，新范数：∥f∥=(f,f)1/2新范数下的最佳逼近称为最佳平方逼近，算法：正交多项式复习数值分析10/1......正交多项式：给定区间[a,b]及权函数ρ(x)，计算正交多项式的前几项递推公式：φ0(x)=1，φn+1(x)=xφn(x)−αn+1φn(x)−βn+1φn−1(x)，复习数值分析11/1......其中：αn+1=(xφn,φn)(φn,φn)=∫baρ(x)xφ2n(x)dx∫baρ(x)φ2n(x)dx，βn+1=(φn,φn)(φn−1,φn−1)=∫baρ(x)φ2n(x)dx∫baρ(x)φ2n−1(x)dx例：区间[0,1]，权函数ρ(x)=x，计算正交多项式φ0，φ1，φ2。复习数值分析12/1......法方程：Ax=b，其中A=((φi,φj))，b=((f,φi))，x=(a0,...,an)T。最佳逼近：S∗=∑a∗iφi法方程的另一写法为：(S∗,φi)=(f,φi)，i=0,1,...,n即：(f−S∗,φi)=0，特别(f−S∗,S∗)=0。复习数值分析13/1......误差：δ=f−S∗，(δ,δ)=(f−S∗,f−S∗)=(f−S∗,f)−(f−S∗,S∗)=(f−S∗,f)=(f,f)−(S∗,f)=(f,f)−(S∗,f−S∗)−(S∗,S∗)=(f,f)−(S∗,S∗)复习数值分析14/1......例：已知一组数据，求拟合曲线xi12345fi44.5688.5ωi21311如：线性，二次，形如a+bx2。复习数值分析15/1......代数精确度（复合）梯形公式及余项误差估计13|Tn−T2n|（复合）辛普森公式及余项误差估计115|Sn−S2n|高斯求积公式确定高斯点、系数、余项复习数值分析16/1......例：求积公式∫baf(x)dx=(b−a)f(a+b2)代数精确度，余项。复习数值分析17/1........数值代数直接法迭代法复习数值分析18/1........直接法列主元素消元法A=LU，PA=LU。向量1-范数、2-范数、∞-范数矩阵1-范数、2-范数、∞-范数特征值、谱半径、条件数复习数值分析19/1......100l2110l31l321u11u12u130u22u2300u33=211132122顺序解出：u11,u12,u13,l21,l31,u22,u23,l32,u33。三角分解：LU分解，LLt分解。复习数值分析20/1........迭代法雅克比迭代法高斯赛德尔迭代法、SOR迭代法迭代矩阵、收敛判别（谱半径）误差估计与停机准则严格对角占优阵、不可约弱对角占优阵、对称正定阵。复习数值分析21/1......例：求解线性方程组8x1−3x2+2x3=204x1+11x2−x3=336x1+3x2+12x3=36雅克比、高斯-赛德尔、松弛法迭代。复习数值分析22/1......迭代矩阵：雅克比迭代：J=D−1(L+U)；高斯-赛德尔迭代：G=(D−L)−1U；松弛法迭代：Lω=(D−ωL)−1((1−ω)D+ωU).复习数值分析23/1......朱利判据，不用解方程，判定一元多项式的根是否在单位园内。例：迭代矩阵03/8−1/4−4/1101/11−1/2−1/40的迭代法是否收敛？复习数值分析24/1......（严格）对角占优矩阵A：|aii|n∑j=1,j̸=i|aij|(i=1,2,···,n)。顺序主子式皆为（严格）对角占优矩阵的行列式，不为0。直接法：高斯消去过程，保持矩阵的对角占优性。选主元是不必要的。复习数值分析25/1......对角占优矩阵定义中的大于号不可全改为等号。例3−1−1−1−13−1−1−1−13−1−1−1−13奇异，0为特征值，(1,1,1,1)T为相应的特征向量。复习数值分析26/1......弱对角占优阵A：|aii|≥n∑j=1,j̸=i|aij|(i=1,2,···,n)且至少有一个i值，使上式中不等号严格成立，则称A为弱对角占优阵。不可约弱对角占优阵一定可逆。复习数值分析27/1......定义：设A=(aij)n×n,(n≥2)，如果存在置换矩阵P使PTAP=A11A120A22其中A11,A22为方阵，则称A为可约矩阵；否则，如果不存在这样的置换矩阵P使上式成立，则称A为不可约矩阵。复习数值分析28/1......判定A是否可约的方法：检验集合{1,2,...,n}是否有真子集{i1,i2,...,ik}，使得A的i1,i2,...,ik行元素只有i1,i2,...,ik列才可能有非零元素。A=110110012可约。复习数值分析29/1......A=b1c1a1b2c2.........an−1bn−1cn−1anbn，ai,ci都不为零，复习数值分析30/1......B=4−1−10−140−1−104−10−1−14A和B是不可约的。复习数值分析31/1........数值方程非线性方程二分法简单迭代法及收敛条件、收敛阶牛顿法弦截法（割线法）抛物线法复习数值分析32/1......例：求方程f(x)=x3−x−1=0的根。二分法、牛顿法、弦截法（割线法）、抛物线法复习数值分析33/1