高等数学下8-4空间曲线

1高等数学一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影第四节空间曲线及其方程2高等数学一、空间曲线的一般方程Ozyx2S0),,(zyxG0),,(zyxF1S①曲线上点的坐标都满足方程组（1）；曲线与方程组的关系：C②不在曲线上的点的坐标不能同时满足两个方程.空间曲线可以看作两个曲面的交线.(1)0,,0,,:zyxGzyxFC方程组(1)叫做空间曲线C的一般方程.3高等数学Cxzy1o22例1方程组632122zxyx:C表示怎样的曲线?1221yx:S解表示母线平行于z轴的圆柱面,其准线是xOy面上的圆,在原点,半径为1.圆心632:2zxS表示母线平行于y轴的柱面,面上的直线，其准线是xOz它是一平面.所以表示圆柱面与平面的交线C为一椭圆.4高等数学例2方程组12222zzyxxyz表示球面与平面的交线C.表示上半球面与圆柱面的交线C.例3方程组yxza5高等数学ozyxo12xzyo2练习121)1(yx04)2(22xyyxz0,0,0)3(222222zyxayxazxzxyooaP246高等数学二、空间曲线的参数方程tzztyytxx这个方程组叫做空间曲线的参数方程.空间曲线C的方程除了一般方程外,也可以用参数形式表示,只要将C上的动点坐标x,y,z表示为参数t的函数:随着t的变动便可得曲线上的全部点.●zyxOz,y,xMC7高等数学,2时当tbvz22叫做螺旋线的螺距.解取时间t为参数，设当t=0时,动点位于x轴上的一点A(a,0,0)处.经过时间t,动点由A运动到M(x,y,z),记M在xOy面上的投影为所以taxcosvtzxyzotAMv2taysin'MM构成的图形叫做螺旋线,试建立其参数方程.zayxM绕上以角速度在圆柱面如果空间一点222例4轴旋转,同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升,那么点.0,,,yxMM的坐标为其中ω、v为常数.若令tθcossinb8高等数学例5.将下列曲线化为参数方程表示:解:(1)根据第一方程引入参数,(2)将第二方程变形为故所求为得所求为9高等数学三、空间曲线在坐标面上的投影OzyxC投影柱面投影曲线以曲线C为准线、母线平行于z轴的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面.投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线C在xOy面上的投影曲线，或简称投影.设空间曲线C的一般方程为00z,y,xGz,y,xF（1）消去变量z得方程0y,xH（2）方程（2）表示一个母线平行于z轴的柱面，它必定包含曲线C.00),(zyxH一定包含C在xOy面上的投影.10高等数学00),(xzyR00),(yzxT包含曲线C在yOz面上的投影曲线空间曲线Ｃ在yOz、zOx面上的投影?方程？包含曲线C在zOx面上的投影曲线思考：11高等数学zyxC1o求曲线C在xOy及yOz面上的投影方程.例6设空间曲线C1)1()1(1222222zyxzyx02222yyx解消去x得：1zy曲线C在yOz面上的投影方程为:1)(001yxzy消去z得：曲线C在xOy上的投影方程为：002222zyyx12高等数学补充:空间立体或曲面在坐标面上的投影.空间立体曲面立体也好’曲面也好’它们的投影问题都要转化为曲线的投影问题.13高等数学zxyo1例7设一个立体由上半球面224yxz求它在xOy面上的投影.解上半球面和锥面的交线C为：)(342222yxzyxz消去z得122yx因此交线C在xOy面上的投影曲线为：0122zyx于是所求立体在xOy面上的投影,122yx和锥面)(322yxz所围成，是圆域：14高等数学两曲面的交线在xOy面上的投影方程为：解练习2求球面与平面的交线在xOy面上的投影的方程.9222zyx1zx消去z得：9)1(222xyx即82222xyx82222xyx0z15高等数学022zaxyx0)0,0(222yzxazxyxzao练习3求上半球与圆柱体2220yxaz)0(22aaxyx的公共部分在xoy面和xoz面上的投影.yxzaoP40P3916高等数学zxyooa0)0,0(222zyxayx（1）在xoy面上的投影：0)0,0(222yzxazx（2）在zox面上的投影：（3）在yoz面上的投影：00,0xazay222ayx222azx练习4求柱面与第一卦限部分所围立体在各坐标面上的投影.P40P3917高等数学空间曲线一般式参数式)()()(tzztyytxx空间曲线在坐标面上的投影曲线C：在xOy面上的投影曲线00),(zyxH内容小结作业：15~16P3618高等数学22yxz122zyxyxz0122zyxyx综合题求曲线绕z轴旋转的曲面与平面的交线在xoy平面的投影曲线方程.1zyx解旋转曲面方程为交线为此曲线向xoy面的投影柱面方程为此曲线在xoy面上的投影曲线方程为,它与所给平面的