自动控制原理第八章

第八章线性离散系统的理论基础§8线性离散系统的理论基础§8-1概述§8-2采样过程及采样定理§8-3Z变换法§8-4脉冲传递函数§8-5采样控制系统的分析方法学习重点：了解线性离散系统的基本概念和基本定理，把握线性连续系统与线性离散系统的区别与联系；熟练掌握Z变换、Z变换的性质和Z反变换方法；了解差分方程的定义，掌握差分方程的解法；了解脉冲传递函数的定义，熟练掌握开环与闭环系统脉冲传递函数的计算方法；掌握线性离散系统的时域和频域分析方法和原则。§8-1概述一、概念1.模拟信号(即连续信号)时间上连续，幅值上也连续的信号。2.离散的模拟信号：时间上离散，幅值上连续的信号。3.数字信号：时间上离散，幅值上也离散的信号。时间上离散，幅值上通过量化编码得到的信号。4.采样：将模拟信号按一定时间采样成离散的模拟信号。5.量化：采用一组数码来逼近离散模拟信号的幅值，将其转化成数字信号。二.分类如果系统中某处或数处信号是脉冲序列或数码，则这样的系统称为离散时间系统，简称离散系统。其中离散信号以脉冲序列形式出现的称为采样控制系统或脉冲控制系统；以数码形式出现的称为数字控制系统或计算机控制系统。系统中所有的信号均是时间t的连续函数，这样的系统称为连续时间系统，简称连续系统；§8-1概述(1)由数字计算机构成的数字校正装置效果比连续式校正装置好，且由软件实现的控制规律易于改变，控制灵活。(2)采样信号，特别是数字信号的传递可以有效地抑制噪声，从而提高了系统的抗干扰能力。(3)允许采用高灵活的控制元件，以提高系统的控制精度。三.特点(4)可用一台计算机分时控制若干个系统，提高了设备的利用率，经济性好。(5)对于具有传输延时，特别是大延迟的控制系统，可以通过引入采样来提高稳定性。§8-1概述采样控制最早出现于某些具有大惯性或较大滞后特性的控制中。图8.1是一个工业用炉温自动控制系统的方框图。§8-1概述控制对象的特点：炉子是一个具有延迟特性的惯性环节，时间常数较大。炉温连续调节过程当炉温偏低，电动机将迅速旋转，开大阀门，给炉子供应更多的燃料。由于炉子本身时间常数较大，炉温上升很慢，当炉温升高到给定值时，阀门早已超过规定的开度，因此炉温继续上升，造成超调，又导致电动机反过来旋转。根据同样的道理，又会造成反方向超调，这样会引起炉温大幅度振荡，因此连续系统控制炉温很难取得良好的效果。§8-1概述在误差信号和执行电机之间装一个采样开关，如图8.2所示，令其周期性地自动闭合和断开。炉温系统的调整：§8-1概述当炉温出现误差时，该信号只有在闭合时才能使执行电动机旋转，进行炉温调节。当采样开关断开，执行电动机立即停下来，阀门位置固定，炉温自动变化，直到下次采样开关闭合，根据炉温误差大小再进行调节。由于电动机时转时停，超调现象受到抑制，即使采用较大的开环放大系数仍能保持系统稳定。炉温离散调节过程§8-1概述§8-2采样过程及采样定理一.离散时间函数的数学表达式1.采样过程：对连续信号的采样是用离散瞬时上的序列值替代初始的连续信号。完成信号转变的装置称为采样器或采样开关。采样周期T，开关合上时间T2.表达式：单位脉冲函数，可以写出周期函数)(t)(tT)()()()()(TttTtkTttkT表示一个无穷的脉冲序列，脉冲发生在时刻，幅值无穷大kTt××*)()()()()(kTttfttftfkT)()(kTtkTfk①表示采样时刻②表示采样值)(kTf)(kTt§8-2采样过程及采样定理相当于用去调制，调制后的即为)(tT)(tf)(tf)(tf*t)(tft)(tTt)(tf*)()()()0()()(TtTftfTtTf§8-2采样过程及采样定理二.采样函数的频谱分析)(*tf一个周期函数展开为傅立叶级数的复数形式为ntjnnectf0)(220)(1TTtjnnetfTc§8-2采样过程及采样定理1.单位理想脉冲序列的傅立叶级数)(tTktjkkkTseckTtt)()(式中Ts2采样频率TdtetTcTTtjkTks1)(122ktjkTseTt1)(§8-2采样过程及采样定理2.采样函数的频谱)(*tftjkkTsekTfTttftf*)(1)()()(*ksksjksFTjksFTsF)(1)(1)(§8-2采样过程及采样定理取拉氏变换（利用位移定理）*)(1)(1)(1)(1)(ssksjjFTjFTjjFTjkjFTjF得到了关于连续函数的频谱与采样函数频谱的关系。)(tf)(jF)(jF*§8-2采样过程及采样定理令jsmaxmax0)(jF1max0T1ss)(*jF由图知，采样函数频谱是离散的当时，为主频谱；0k0k当时，有无穷多个附加的高频频谱，并且每隔采样频率重复一次，所以理想采样信号是周期函数，且含有高频分量。s)(1jFT§8-2采样过程及采样定理三.采样定理§8-2采样过程及采样定理采样定理所要解决的问题是：采样周期选多大，才能将采样信号较少失真地恢复为原来的连续信号。举例说明：设有一顺时钟旋转的轮子上面有一个标志用摄像机给轮子拍照后，再反映、观察结果。放映结果1圈拍一次静止状态3/4圈拍一次1/2圈拍一次1/4圈拍一次逆时针转动抖动顺时针转动§8-2采样过程及采样定理拍摄相当于采样，放映相当于复原，采样频率直接影响了结果，每周拍摄次数应大于2才能复原。§8-2采样过程及采样定理从采样函数频谱进一步分析：为了复现采样前的原有连续信号，要求采样后的离散频谱彼此不重叠，且有理想的低通滤波器滤掉所有的高频频谱分量。（1）T=0maxmax0)(jF1tf(t)0（2）T较小，即采样频率较高，且满足：max2s0tf*(t)max0T1ss)(*jFf*(t)t0max0T1ss)(*jFmax2s（3）离散频谱恰好相交接但不重叠。§8-2采样过程及采样定理（4）T较大，ωs较小f*(t)t0max0)(*jF各离散频谱相重叠，重叠后的频谱与原信号的频谱图形状完全不同。为了复现原信号的全部信息，要求离散频谱彼此互不重叠，即要求采样角频率ωs满足如下关系：max2s§8-2采样过程及采样定理香农采样定理：如果是有限带宽的信号，即时，；而是的理想采样信号，若采样频率，则一定可以由采样信号唯一的决定出原始信号。即当时，可由完全的恢复出来。)(tfmax0)(jF)(tfmax2smax2s)(*tf)(*tf)(tf)(tf)(*tf§8-2采样过程及采样定理四.信号的复现为了实现对被控对象的有效控制，有时必须要把离散信号恢复为相应的连续信号，即信号的复现。实现方法为加入保持器（零阶、一阶）§8-2采样过程及采样定理1.零阶保持器即在和之间，保持时的值不变。kTtTkt)1()(0tfh*kTtt)(tf*)(0sWh)(tf*)(0tfh*t)(tf*§8-2采样过程及采样定理2.零阶保持器的传函和频率特性①传函为)(0sWh若输入为单位脉冲信号，输出为)(t)(tg)]([)(0tgLsWh)(0sWh)(t)(tgt)(tgT1§8-2采样过程及采样定理)(1)(1)(Ttttgt)(tgT11seesstgLsWTsTsh111)]([)(0§8-2采样过程及采样定理2022sin1TjTjheTTTjejW②频率特性它具有结构简单，易于实现，相位滞后最小，应用广泛（如步进电机，寄存器，D/A转换器，无源网等）§8-2采样过程及采样定理幅频特性：22sin)(0TTTjWh相频特性：shTjW2)(0§8-3Z变换及其反变换连续控制系统采样控制系统微分方程差分方程拉氏变换Z变换传递函数脉冲传递函数描述描述通过数学模型数学模型通过描述描述一、Z变换的定义*00*)()()()()(kkTskekTfkTtkTfLtfLsF令Tsez则上式变为*0)()()(kkzkTftfZzF对于连续函数f(t)，如果它可以进行拉氏变换，其定义为：0)()]([)(dtetftfLsFst采样函数f*(t)可表示为：0*)()()(kkTtkTftf一、Z变换的定义上式称为采样函数的Z变换，用符号表示：0*)()()]([kkzkTfzFtfZ说明：1.连续函数的拉氏变换与采样函数的Z变换有对应关系。tktfkTfk)()(000*)()(kkTsekTfsF0*)()()]([kkzkTfzFtfZ以上两式均表示f*(t)的拉氏变换，一个定义在s域，一个定义在z域。TsezzTsln1zTssFzFln1*)()(采样函数Z变换有称为不连续函数拉氏变换或脉冲拉氏变换。一、Z变换的定义2.代表时序变量。kz100)()0()()(zTfzfzkTfzFkk又*)()()()0()()()(0TtTftfkTtkTftfk0z对应)(t1z对应)(Tt一、Z变换的定义3.对应关系连续函数采样函数)()(sFtfL)()(sFtfL**)()(zFtfZ*4.仅是连续函数在采样时刻上的特性，不能反映采样时刻之间的特性。)]([*tfZ5.式分析系统方便。式运算方便)(1)(*njnssFTsFnTsnenTfsF)()(0*一、Z变换的定义二、Z变换的求法①级数求和法（定义式）由展开式0*)()()]([kkzkTfzFtfZkzkTfzTfzTffzF)()2()()0()(211,11111)](1[1210*zzzzzzzzkTtZkkk例：求的Z变换)(1t*单位阶跃函数经采样后的脉冲序列为：)(1)2(1)(1)(1)()(1)(10*kTtTtTttkTtkTtk与其Z变换级数展开式比较：变量z-k的系数，代表着采样脉冲的强度，而它的幂次代表脉冲出现的时刻，故z-k可看成是时序变量。这样在Z变换表示的无穷级数展开式中，可以很清楚地看出原函数在各采样时刻脉冲冲量的大小及分布情况。二、Z变换的求法②、部分分式法mnpsAasasasabsbsbsbsFniiinnnnmmmm,)(1111011110nitpiiezzAzF1)(tpniiieAtf1)(二、Z变换的求法基本思想：把时间函数表达成最基本的最典型的时间函数之和的形式（如阶跃函数、指数函数），再利用已知的典型函数的Z变换，求得所求的Z变换。asAsAsF21)(1)()(,1)(lim1201sssFasAssFAatesFLtf1)]([)(1aTezzzztfZzF1)]([)(*)()(assasF例：求的Z变换二、Z变换的求法三、Z变换的性质（基本定理）1、线性性质：满足齐次性和叠加性。)()()]()([2121zbFzaFtbftafZ**a,b,常数若)()]([)()]([2211zFtfZzFtfZ**2.延迟（滞后）定理：延迟几个采样周期。)()]([zFziTtfZi*0)(,0tft当)()]([zFtfZ*令则延