2020年中考数学专题突破二十三：利用旋转处-理共顶点问题

1专题二十三：利用旋转处理共顶点问题导例：如图，将绕点A顺时针旋转，得到这时点D，E，B恰好在同一直线上，则的度数为____．分析：根据全等三角形的对应角相等可得到∠ABC=∠D，AD=AB，由∠DAB=120°，得到∠D的度数，即可得到∠ABC的度数【方法指引】方法指引：旋转作为变换的主要作用是把分散的线段、角等相关条件集中起来，从而使已知条件集中在一个我们熟知的基本图形之中，或者把比较集中的条件通过旋转变换进行打散，进行可以转化为一个我们熟知的基本图形，利用旋转变换后的新图形的性质对原图形进行研究，从而使得原问题得到转化那么对于题目中出等现的线段共端点的时候考虑补全旋转结构，添加适当的辅助线从而进行条件的转化．【例题精讲】类型一：可看作旋转情境下的全等类型的证明例1、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，D是AC的中点，以AD为斜边在△ABC外作直角三角形AED，使得∠AED=90°，AE=DE，连接BE，EC．试猜想线段BE和CE的数量关系及位置关系，并证明你的猜想．ABCDE【分析】根据题意可以求出AB=DC，∠EAB=∠ECD，可以得到△BAE≌△CDE，从而得到∠AEB=∠DEC，EB=EC，我们也可以看作△BAE绕点A旋转90°得到△CDE，从进转化为证明这两个三角形全等进行问题的解答类型二：依据共顶点的等线段考虑旋转构图进行证明例2、如图，在等腰直角△ABC中，∠CAB=90°，F是AB边上一点，作射线CF，过点B作BG⊥CF于点G，连接AG．2（1）求证：∠ABG=∠ACF；（2）用等式表示线段CG，AG，BG之间的等量关系，并证明．【分析】（1）根据等角的余角相等即可得到答案；（2）由AB=AC，且是共顶点的等线段，考虑△ABG绕点A逆时针旋转90°，所以在CG上截取CH=BG，连接AH，利用全等三角形的判定和性质进行解答．【专题过关】1．如图，已知AD为△ABC的高，AD＝BC，以AB为底边作等腰Rt△ABE，EF∥AD，交AC于F，连ED，EC，有以下结论：[来源:学,科,网]①△ADE≌△BCE；②CE⊥AB；③BD＝2EF；④S△BDE＝S△ACE。其中正确的是（）A．①②③B．②④C．①③D．①③④2、如图，正方形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，AF=BE，CE交B于点H，BF交AC于点M，O为AC的中点，OB交CE于N，连OH，下列结论：①BF⊥CE；②OM=ON；③OH=21CN；④OH+BH=CH.其中正确的是有33、如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC上一动点，连接AD，过点A作AE⊥AD，并且始终保持AE=AD，连接CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若AF平分∠DAE交BC于F，探究线段BD，DF，FC之间的数量关系，并证明；（3）在（2）的条件下，若BD=6，CF=8，求AD的长．4．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB的中点，点E为AC延长线上一点，连接DE，过点D作DF⊥DE交CB的延长线于点F．（1）求证：BF＝CE；（2）若CE＝AC，用等式表示线段DF与AB的数量关系，并证明．5.在△ABC中，∠BAC=90，AB=AC.点D为直线BC上一动点（点D不与点B、C重合），以AD为直角边在AD右侧作等腰直角三角形ADE，使DAE=90，连结CE.探究：如图①，当点D在线段BC上时，证明BC=CE+CD.应用：在探究的条件下，若AB=，CD=1，则△DCE的周长为.拓展：(1)如图②，当点D在线段CB的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为.(2)如图③，当点D在线段BC的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为.6、如图1，在△ABC中，AB=AC，过B点作射线BE，过C点作射线CF，使∠ABE=∠ACF，且射线BE，CF交于点D．过A点作AM⊥BD于M．（1）求证：BM=DM+DC．4（2）如图2，将射线BE，CF分别绕点B和点C顺时针旋转至如图位置，若∠ABE=∠ACF仍然成立，射线BE交射线CF的反向延长线于点D，过A点作AM⊥BD于M．请问（1）中的结论是否还成立？如果成立，请证明．如果不成立，线段BM，DM，DC又有怎样的数量关系？并证明你的结论．7、如图，已知：点D是△ABC的边BC上一动点，且AB=AC，DA=DE，∠BAC=∠ADE=α.⑴如图1，当α=60°时，∠BCE=；⑵如图2，当α=90°时，试判断∠BCE的度数是否发生改变，若变化，请指出其变化范围；若不变化，请求出其值，并给出证明；（3）如图3，当α=120°时，则∠BCE=.8．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D是BC边上一点（不与点B，C重合），连接AD，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，连接CE．若∠BAD＝α，求∠DBE的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，点D在线段BC的延长线上时，连接AD，过点B作BE⊥AD，垂足E在线段AD上，连接CE．①依题意补全图2；②用等式表示线段EA，EB和EC之间的数量关系，并证明．59．在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，BD是对角线，点E、F分别是边AB、AD上两个点，且满足AE＝DF，连接BF与DE相交于点G．（1）如图1，求∠BGD的度数；（2）如图2，作CH⊥BG于H点，求证：2GH＝GB+DG；（3）在满足（2）的条件下，且点H在菱形内部，若GB＝6，CH＝4，求菱形ABCD的面积．例题答案导例：30°．例1、BE=CE，BE⊥CE.证明如下：∵AC=2AB，D是AC的中点，∴AB=DC.∵∠CDE=∠AED+∠EAD，∠BAE=∠BAD+∠EAD，∠BAC=90°，∠AED=90°，∴∠CDE=∠BAE.在△BAE和△CDE中，，，，DEAECDEBAEDCAB∴△BAE≌△CDE（SAS）．∴BE=CE，∠AEB=∠DEC.∴∠BEC=∠BED+∠DEC=∠BED+∠AEB=∠AED=90°.∴BE⊥CE.6例2、（1）∵∠CAB=90°．∵BG⊥CF于点G，∴∠BGF=∠CAB=90°．∵∠GFB=∠CFA∴∠ABG=∠ACF（2）CG=AG+BG，理由如下：在CG上截取CH=BG，连接AH，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB=90°，AB=AC．∵∠ABG=∠ACH．∴△ABG≌△ACH，∴AG=AH，∠GAB=∠HAC．∴∠GAH=90°．∴AG2+AH2=GH2．∴GH=AG，∴CG=CH+GH=AG+BG，【专题过关】1．如图，延长CE交AD于K，交AB于H．设AD交BE于O．∵∠ODB＝∠OEA，∠AOE＝∠DOB，∴∠OAE＝∠OBD，∵AE＝BE，AD＝BC，[中国^*教育#&~出版网]∴△ADE≌△BCE，故①正确，∴∠AED＝∠BEC，DE＝EC，∴∠AEB＝∠DEC＝90°，∴∠ECD＝∠ABE＝45°，∵∠AHC＝∠ABC+∠HCB＝90°+∠EBC＞90°，∴EC不垂直AB，故②错误，∵∠AEB＝∠HED，∴∠AEK＝∠BED，∵AE＝BE，∠KAE＝∠EBD，[来#%源:中&^*教网]∴△KAE≌△DBE，∴BD＝AK，∵△DCK是等腰直角三角形，DE平分∠CDK，[中国&教育%出版~∴EC＝EK，∵EF∥AK，∴AF＝FC，∴AK＝2EF，∴BD＝2EF，故③正确，∵EK＝EC，∴S△AKE＝S△AEC，∵△KAE≌△DBE，∴S△KAE＝S△BDE，∴S△BDE＝S△AEC，故④正确．故选：D．2、∵AF=BE，AB=BC，∠ABC=∠BAD=90°，∴△ABF≌△BEC，∴∠BCE=∠ABF，∠BFA=∠BEC，∴△BEH∽△ABF，∴∠BAF=∠BHE=90°，即BF⊥EC，①正确；∵四边形是正方形，∴BO⊥AC，BO=OC，[来源:学科网ZXXK]7由题意正方形中角ABO=角BCO，在上面所证∠BCE=∠ABF，∴∠ECO=∠FBO，∴△OBM≌△ONC，∴ON=OM，即②正确；∵△OBM≌△ONC，∴BM=CN，∵∠BOM=90°，∴当H为BM中点时，OH=21BM=21CN（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），因此只有当H为BM的中点时，OH＝21CN，故③错误；过O点作OG垂直于OH，OG交CH与G点，在△OGC与△OHB中，，，，GOC＝∠HON∠OB＝OCOBH＝∠OCN∠∴△OGC≌△OHB，∵OH⊥OG，∴△OHG是等腰直角三角形，按照前述作辅助线之后，△OHG是等腰直角三角形，OH=HG，可以证明△OGC与△OHB全等，所以CG=BH，所以④式成立．综上所述，①②④正确．3、（1）证明：∵AE⊥AD，∴∠DAE=∠DAC+∠2=90°，又∵∠BAC=∠DAC+∠1=90°，∴∠1=∠2，在△ABD和△ACE中，，AE＝AD，2＝∠1∠，AC＝AB∴△ABD≌△ACE（SAS）．（2）结论：BD2+FC2=DF2．理由如下：如图，连接FE，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠3=45°．由（1）知△ABD≌△ACE∴∠4=∠B=45°，BD=CE．∴∠ECF=∠3+∠4=90°，∴CE2+CF2=EF2，∴BD2+FC2=EF2，∵AF平分∠DAE，∴∠DAF=∠EAF，8在△DAF和△EAF中，，AE＝AD，EAF＝∠DAF∠，AF＝AF∴△DAF≌△EAF（SAS）．∴DF=EF．∴BD2+FC2=DF2．（3）如图，过点A作AG⊥BC于G．由（2）知DF2=BD2+FC2=62+82=100．∴DF=10，∴BC=BD+DF+FC=6+10+8=24，∵AB=AC，AG⊥BC，∴BG=AG=21BC=12，∴DG=BG-BD=12-6=6，∴在Rt△ADG中，AD=22DG+AG=5661222．4．（1）如图1所示：连接CD，DE与CF相交于点H，在Rt△ABC中，D为AB中点，∴CD＝BD，又∵AC＝BC，∴DC⊥AB，∴∠ABC＝∠DCB＝45°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCE＝90°，∵∠ABC+∠ABF＝180°，∠DCE＝∠DCB+∠BCE，∴∠DBF＝180°﹣45°＝135°，∠DCB＝90°+45°＝135°，∴∠DBF＝∠DCB，∵DF⊥DE，∴∠DHF+∠F＝90°，又∵∠CHE+∠E＝90°；∠CHE＝∠DHF，∴∠F＝∠E，在△DBF和△DCE中，∴△DBF≌△DCE（AAS），∴BF＝CE．（2）如图2所示9[来源:学*科*网]线段DF与AB的数量关系：DF=AB．连接BC，设AD＝BD＝a，则AB＝2a．∵△DBF≌△DCE，∴DF＝DE．∵CE＝AC，DA＝DB，∴DC∥BE，又∵∠ADC＝90°，∴∠ABE＝90°，∵∠A＝45°，∴∠AEB＝45°，∴AB＝BC＝2a，在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE2＝DB2+BE2，∴DE，∴DFa，∴．即DFDF=AB．5.探究：∵∠BAC=90°，∠DAE=90°，∴∠BAC=∠DAE．∵∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠CAE+∠DAC，∴∠BAD=∠CAE．∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE．∴BD=CE．∵BC=BD+CD，∴BC=CE+CD．应用：在Rt△ABC中，AB=AC=，∴∠ABC=∠ACB=45°，BC=2，∵CD=1，∴BD=BC-CD=1，由探究知，△ABD≌△ACE，∴∠ACE=∠ABD=45°，∴∠DCE=90°，在Rt△BCE中，CD=1，CE=BD=1，根据勾股定理得，DE=，∴△DCE的周长为CD+CE+DE=2+故答案为：2+拓展：（1）同探究的方法得，△ABD≌△ACE．∴BD=CE．∴BC=CD-BD=CD-CE，故答案为BC=CD-CE；（2）同探究的方法得，△ABD≌△ACE．∴BD=CE。∴BC=BD-CD=CE-CD，故答案为：BC=CE－CD．6、（1）作AN⊥CF于N，连接AD，10∵AM⊥BD，∴∠AMB=∠ADC=90°在△AMB与