解决立体几何中空间角的向量方法(教案)

第1页共8页《解决立体几何中空间角的向量（坐标）方法》（第一课时教案）一、教材分析1、在教材中的地位与作用立体几何中的向量方法被安排在新课标《数学》选修2–1的第三章第二节，主要讨论的是用空间向量处理立体几何问题。在此之前安排了空间向量及其运算这一节，将向量由二维拓展为三维，为学生学习本节知识作了必要的铺垫。立体几何中的向量方法既是前面内容的延展与深化，又是代数与几何知识的交汇点，产生了一种解决几何问题的新视角，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。同时它也体现了新课程标准中提出的“注重提高学生的数学思维能力”的课程基本理念。2、新、旧教材对比分析在前一个版本的教材中，空间向量是在第二册（下B）的第九章的第5、6节出现，而不是以一章的形式出现，并且对于直线的方向向量和平面的法向量只是以概念的形式提出，没有专门作一节来进行重点讨论，所以现行的新课标教材更加重视向量的作用，这样就使得相关的知识体系更加完整，有利于学生的学习。其次，新课标教材在提出这些概念之前都是以思考和探究的形式出现，教材中还配备了多个图型，不仅激发了学生学习的兴趣，而且增强了感性效果，更好地帮助学生理解这两个抽象的概念。可见，新教材的编写者们在处理向量的概念上贯彻了“淡化形式，注重实质”这一新的教学理念。二、学情分析基础知识方面：学生之前经过了第一轮复习，对必修2第一章《几间几何体》，第二章《点、直线、平面之间的位置关系》，必修2第二章《平面向量》，选修2-1第三章《空间向量与立体几何》的相关内容有了进一步的认识与理解，对空间图形有比较完整的认识，具有一定的空间想象能力、几何直观能力，了解并基本能判断空间中点、直线、平面之间的位置关系，能全面把握几何体特征，知道立体几何中的向量方法可以解决三维空间中图形的位置关系与度量问题.认知水平与能力方面：学生已经具备初步的抽象概括能力、空间想象能力、逻辑思维能力，简单的知识融合能力和一定的知识综合应用能力，能在教师的引导下，通过自主学习、合作交流解决一些空间中图形的位置关系与度量问题．任教班级学情：我班学生有较好的学习习惯，基础知识较为扎实，但是对平面的法向量与线面角、二面角的平面角之间的关系不很明确，如何选择恰当的位置建立空间直角坐标系不熟练，要准确计算某些特殊点的坐标有困难。第2页共8页三、考纲定位与考向动态立体几何是高中数学的重要部分，在高考中通常以主观题和客观题两种形式出现，分值一般在17—22分左右，题型既有选择题、填空题，又有解答题，题型结构稳定、难度为中低档题；客观题主要考查由三视图得出几何体的直观图，求其表面积、体积，主观题考查较全面，考查线线、线面、面面位置关系，及表面积、体积.其中空间角历年在解答题中都必考查.部分省市体现运动变化联系，在知识交汇处出新．四、教学目标分析1．教学目标依据教学大纲，渗透新课程理念，结合本节课的特点和学生的实际情况，本节课的教学目标确定为：●知识目标（1）会求直线的方向向量、平面的法向量．（2）掌握空间向量的数量积及其坐标运算．（3）能用向量方法求立体几何中异面直线、直线与平面、平面与平面所成角的大小．●能力目标本节课定位是高三第二轮复习课，内容涉及面广，数学能力要求高，着重培养学生知识整合能力和综合应用能力、化归与转化能力。由具体问题的解决到解题方法的归纳总结能力；提高学生的数学符号语言表达能力。●情感目标通过对立体几何中的向量方法的学习过程，激发学生对数学的好奇心和求知欲，培养学生良好的学习习惯和思维品质，培养学生勇于探索、勤于思考的科学精神，渗透唯物辩证法的思想，引导学生树立科学的世界观，提高学生的数学涵养和综合素质。2．教学重点与难点分析●重点用向量方法求异面直线、直线与平面、平面与平面所成角的大小．●难点（1）平面法向量n与直线方向AB所成角,nAB和直线与平面所成角之间的关系．（2）两平面法向量12,nn所成角和两平面所成角之间的关系．第3页共8页(3)选择恰当的位置准确建立空间直角坐标系，●易错点对某些特殊点坐标的准确书写,解答过程中的计算错误．●重、难点解决的方法策略通过学生小组合做动手实践，教师多媒体动画展示，让抽象的空间问题变得具体形象．五、教法与学法根据教学内容和学生的实际情况，并突出以学生为主体，以学生主动学习为中心的新课程理念，以建构主义提倡的发现法、讨论法、自主归纳法来进行，并结合我校实际采用“自主-合作—探究”的学案导学教学模式，注重知识生长点的建立．教师的教法突出活动的组织设计与方法引导；学生的学法突出对空间位置的探究、理解与应用，学生在合作探究与互动交流中获得本节课的知识与方法，并发展能力．整个学习过程，可用下图示意：六、教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图自主梳理【设问回顾，温故启新】问题1、异面直线所成角及其范围．2、直线与平面所成角及其范围．3、二面角的平面角及其范围．4、求异面直线所成角、线面角、二面角常用的传统方法有哪些．5、空间向量数量积及坐标运算.【重温教材、整理回顾】学生课前自主预习，重温教材，完成自主梳理中的第1，2，3，5，6,7个问题.学生通过课本重温旧知，让相关知识在学生脑中重现，做好课前准备.巩固拓展互动探究必做巩固、选做拓展问题探究、典例导析课堂练习、反思总结自学导航自主梳理、问题与困惑第4页共8页问题与困惑6、设A、B是直线l上两定点，则直线l上任意一点P满足：AP（其中，tR，向量AB叫做直线l的向量）．7、设直线l，则直线l的叫做平面的法向量，平面的法向量有个．8、用空间向量研究直线、平面的夹角：设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为12,nn，则⑴设直线,lm的夹角为，则cos；⑵设平面,的夹角为，则cos；⑶设直线l与平面的夹角为，则sin.★9、教材P106例2变式：在正四棱锥P-ABCD中，PD面ABCD，AB∥CD，90ADC，1PDADAB，2CD；（1）求直线AP与平面PBC所成角的大小.（2）求二面角APBC的大小.回顾前几节课用传统方法研究空间角的方法，回答第4个问题.问题8、9个别需要自主或合作探究.对回顾课本中发现的问题及自主梳理中存留的困惑作记录.让学生在具体问题中有针对性的翻阅教材，体验知识的重现过程，从而加深学生对基础知识的由来与理解.问题探究【解惑答凝，投影展示】【设问分析，引入课题】问题1：怎样用直线的方向向量表示直线与直线的夹角？问题2：怎样用平面的法向量表示二面角的大小？问题3：怎样用直线的方向向量和平面的法向量表示直线与平面的所成的角？教师逐一引导，动画展示，板书课题.【学生回顾，思考讨论】学生分组讨论→动手实践→合作探究→小组汇总→展示成果.三个问题背景分明，由浅入深，循序渐进，让学生明确本节课的学习内容.BACDP第5页共8页典例导析【媒体投影，出示例题】例题、（2013成都一诊改编）如图，矩形ABCD中，2,1BCAB，2PEPA平面ABCD，1//,2BEPABEPA，F为PA的中点．（Ⅰ）求直线PD与直线FC所成角的余弦值；（Ⅱ）求平面PEC与平面PAD所成锐二面角的余弦值．（Ⅲ）求直线FC与平面PEC所成角的正弦值．【设问点评，解答示演，归纳小结】利用向量的坐标运算解决空间角的问题.解题步骤，书写格式，解答技巧.【运用新知，尝试体验】学生笔记、理解，准确记忆形式化的数学公式.思考、尝试、讨论、交流，动手实践.以学生熟悉的题目为背景，设置新的问题，让学生倍感亲切，调动参与积极性。设置这样的三个问题，针对性强，紧绕课题.课堂练习【媒体投影，跟踪提升】(2012四川理)如图，在三棱锥PABC中，∠APB=90，∠PAB=60，ABBCCA，平面PAB⊥平面ABC.(Ⅰ)求直线PC与平面ABC所成的角的大小；(Ⅱ)求二面角BAPC的大小.【抽生展示，师生共评】【顺势引导，归纳小结】选择恰当的位置建系能减少计算，提高准确率.【练习巩固,能力提升】思考、尝试、讨论、交流，动手实践.以最近的四川卷为例，学生有亲切感和挑战欲，激发学生学习内在动力，同时也建系难度的加大，意在突破本课的难点(3).第6页共8页教学环节教师活动学生活动设计意图反思总结【设问点评，共同总结】教师：本课主要内容是什么？体现了哪些数学思想方法？教师点评、补充，投影展示．1、更加明确了怎样用直线的方向向量表示直线与直线的夹角、用平面的法向量表示二面角的平面角、用直线的方向向量和平面的法向量表示直线与平面的所成的角．2、用向量（坐标）法求异面直线所成角、线面角、二面角．3、向量法解决几何问题体现了“以算代证”的数学思想，把代数与几何紧密联系在一起．4、数形结合的思想、三维到二维的化归与转化思想、知识整合能力和综合应用能力.【生生交流，全堂总结】学生先讨论、交流本节课所学知识及探究过程中的数学思想方法．通过师生的共同交流和反思来完成知识的总结归纳，体现了学生的主体性，也培养了学生及时总结反思的学习习惯．巩固拓展【必做巩固、选做拓展】A1、【2012重庆理9】设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a，且长为a的棱与长为2的棱异面，则a的取值范围是（）（A）(0,2)（B）(0,3)（C）(1,2)（D）(1,3)2、空间四边形P-ABC中，M，N分别是PB，AC的中点，PA=BC=4，MN=3，求PA与BC所成的角？3、（2007成都三诊）如图，四棱锥PABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是60ADC的菱形，M为PB的中点.(Ⅰ)求PA与底面ABCD所成角的大小；(Ⅱ)求证：PA平面CDM；(Ⅲ)求二面角DMCB的余弦值.A组作业着重考查对本节重要知识、方法的理解和应用，从而夯实基础．第7页共8页巩固拓展B1、.【2012全国卷理16】三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，11BAACAA60°则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________.2、【2012湖北理19】如图1，45ACB，3BC，过动点A作ADBC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使90BDC（如图2所示）．（Ⅰ）当BD的长为多少时，三棱锥ABCD的体积最大；（Ⅱ）当三棱锥ABCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得ENBM，并求EN与平面BMN所成角的大小．B组作业强调知识的灵活应用，着重培养学生解决问题的能力．同时也为下一节课的学习埋下伏笔.附：板书设计§解决空间角的向量方法设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为12,nn，则⑴设直线,lm的夹角为，则cos；⑵设平面,的夹角为，则cos；⑶设直线l与平面的夹角为，则sin.例题：（教师示演）……………….……………………………….……………………………….课堂练习：（抽生板演）……………….……………………………….………………课堂总结：…….DABCACDB图2图1ME.·第8页共8页七．评价分析学生学习的结果评价固然重要，但是更重要的是学生学习的过程评价。我会根据课堂教学实施情况及学生的反馈信息，采用及时评价、延时评价、学生互评、师生互评相结合，并始终贯穿于教学过程中，全面关注学生在知识、能力、情感等方面的发展情况。终围绕教学目标而展开教学活动，其目标达成情况如下：知识目标1、2自主梳理问题探究典例导析课堂练习知识目标3合作探究课堂练习能力目标合作探究问题解决情感目标