§4.5-不定积分应用案例

高等数学第4章不定积分4.5不定积分应用案例第4章不定积分§4.5不定积分应用案例高等数学第4章不定积分4.5不定积分应用案例§4.5不定积分应用案例一、油井收入为多少例4.5.1一个月产300桶原油的油井，在3年后将要枯竭.预计从现在开始t个月后，原油价格将是每桶ttP3.018)(（美元），如果假定油一生产出就被售出，则问：从这口井可得到多少美元的收入？)(tdtdR解令)(tRt表示从现在开始个月的收入，则每个月的收入为，由于每月收入等于每桶油的价格与每月卖出油的桶数之积，ttP3.018)(；每月卖出的桶数为300，而这里，每桶油的价格为因此高等数学第4章不定积分4.5不定积分应用案例)3.018(300)(ttdtdR即,905400)(ttdtdR两边同时求不定积分，得,605400)905400()(23CttdtttR,0)0(R而0C得，于是,605400)(23tttR由于这口井将在36个月后干枯，于是将来的总收入是2073603660365400)36(23R（美元）.高等数学第4章不定积分4.5不定积分应用案例二、石油的消耗量的估计ttetR07.0161)()(tR近年来，世界范围内每年的石油消耗率呈指数增长，增长指数大约为0.07.1970年初，消耗率大约为每年161亿桶.设从1970年起第年的石油消耗率，则此式估算从1970年到2010年间石油消耗的总量.表示（亿桶）.试用解.)40(T我们要求从1970年到2010年间石油消耗总量，即求)(tT由于是石油消耗总量，.)()(tRtT，即)(tR)(tT那么就是的一个原函数.)(tT)(tR就是石油消耗率所以)(tTt设表示从1970年起直到第年的石油消耗总量.)0(t例4.5.2高等数学第4章不定积分4.5不定积分应用案例dttRtT)()(,230007.0Cet所以从1970年到2010年间石油消耗总量为：35523)1(2300)40(4007.0eT（亿桶）.Cet07.007.0161dtet07.0161由,0)0(T得,2300C,)1(2300)(07.0tetT三、陨石的质量mt当陨石穿过大气层向地面高速坠落时，陨石表面与空气摩擦所产生的高热使陨石的质量不断挥发.试验表明,陨石挥发的速度与陨石的表面积成正比.若假设陨石是质量均匀的球体,试求出陨关于时间的函数表达式.石的质量例4.5.3高等数学第4章不定积分4.5不定积分应用案例解设),(4)(2trts),(34)(3trtm由题设可知.4)(34)(32tmts)(tr消去后,根据题意得即)(tm满足:,)()(32tmadttdm其中.43432ka即有,)()(32adttdmtm,)()(434)()(323232tmatmktksdttdm)(tr).(tst时刻陨石的半径为)(tm,质量为,表面积为高等数学第4章不定积分4.5不定积分应用案例,3)(3atCtm(*),0t,0m若陨石到达地面的时刻为此时陨石的质量为:C初始条件可求出据此,30310atmC对上式两边同时求不定积分，得代入(*)式,求出)(tm的表达式为,)(3)(30310ttamtm其中.43432ka,))((331Cattm高等数学第4章不定积分4.5不定积分应用案例四、十字路口交通黄色信号灯应亮多久例4.5.4在十字路口的交通管理中，亮红灯之前，要亮一段时间的黄灯，这是为了让那些正行驶在十字路口的驾驶员注意，红灯即将亮起，如果你能停住，应当马上刹车，以免闯红灯违反交通规则，那么黄灯应当亮多久才合适呢？从这条线到十字路口的距离与此道路的规定速度有关，解：（1）问题分析：驶近十字路口的驾驶员在看到黄色信号灯亮起时，需做出决定：是停车还是通过路口.如果决定停车，则必须有足够的距离让驾驶员能停得住车.也就是说，道路上存在一条无形的停车线（如图4-5），高等数学第4章不定积分4.5不定积分应用案例规定速度越大，此距离也就越长.当黄色信号灯亮起时，通过了此线就不能停车（否则会冲出路口），若车子已否则，必须停车.对于已经经过线而无法停住的车辆，让这些车辆能顺利地通过路口.黄色信号灯必须留有足够的时间（2）停车线的确定②驾驶员刹车后，车还需继续向前行驶一段距离，此段距离称为刹车距离.停车线的确定需考虑两点：①驾驶员看到黄灯并决定停车需要一段的反应时间，1t内，驾驶员尚未刹车.在此段时间高等数学第4章不定积分4.5不定积分应用案例,0v设道路规定的速度为,m汽车质量为,k刹车摩擦系数为1t一般驾驶员的反应时间可以根据经验或由统计数据确定.而刹车距离可采用如下方法确定.当驾驶员踩动刹车踏板时，便产生一种摩擦力，它使汽车减速并最终停下.)(txt表示刹车后在时刻内汽车向前行驶的距离.根据刹车规律，定律得到刹车后车辆的运动方程.从而由牛顿第二且00,0)0(vdtdxxtkmgdtxdm22（4.5.1）刹车的制动力为为重力加速度），kmgg（其中kmg（其中高等数学第4章不定积分4.5不定积分应用案例,1Ckgtdtdx00vdtdxt,01vC将代入上式得,0vkgtdtdx（4.5.2）m方程（4.5.1）两边除以，并积分一次得从而,0dtdx令.02kgvt由（4.5.2）式可求得车辆从刹车至停止所需要的时间对于(4.5.2)两边再积分一次，得,21)(202Ctvkgttx高等数学第4章不定积分4.5不定积分应用案例,21)(202kgvtx.212010kgvtvL0)0(x,02C将代入上式得因此刹车后车辆的运动规律为：因此，停车线到路口的距离应为,21)(02tvkgttx（4.5.3）,l车辆平均车身长为③黄灯时间的确定黄灯时间应当保证已经过线的车辆顺利通过路口.,D若十字路口的宽度为.lDL的路程最长可达到则过线的车辆应通过因而，为了保证过线的车辆全部顺利通.0vlDLT过，黄灯持续时间至少为得刹车后车辆继续行驶的距离为：kgvt02将代入（4.5.3）式，