第2章投资学基础(金融工程与风险管理-南京大学,林辉)

金融工程与风险管理第2章投资学基础[e-mail]©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity10:49:3622.1马科维茨风险资产组合模型基本假设（1）均方准则：投资者仅仅以期望收益率和方差（标准差）来评价资产组合（Portfolio）（2）投资者理性：投资者是不知足的和风险厌恶的。（3）瞬时投资：投资者的投资为单一投资期，多期投资是单期投资的不断重复。（4）有效组合：在资金约束下，投资者希望持有具有最高的均方标准的组合。组合均值与方差对于包含n个资产的组合p，其总收益的期望值和方差分别为11nnpiipiiiirwrrwrTTwrwr==n2T22,1i11,1wwnnnpijijiiijijijijij11112121...=(,,...,),=(,,...,),nTTnnnnnwr其中，Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity10:49:364均方准则与有效集可行集：资产组合的机会集合（Portfolioopportunityset），即在资金约束下，可构造出的所有组合的期望收益和风险（方差或标准差）。均方准则：在可行集中，有些投资组合会明显地优于另一些投资组合，其特点：给定风险，预期收益率最大或者给定收益风险（标准差）最小。满足这两个条件的资产组合，即为有效组合。由所有有效组合构成的集合，称之为有效集或有效边界。投资者的最优资产组合将从有效集中产生，而对所有不在有效集内的其它投资组合则无须考虑。Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity10:49:365两种风险资产构成的可行集若已知两种资产的期望收益、方差和它们之间的相关系数，随着投资权重w的变化，就构成了可行集。121122111222222112212122222112212121222221112111212222211121112121(1)22(1)2(1)(1)2(1)pppwwrwrwrwrwr＋＋＋Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity10:49:3661212121111顶部边界：底部边界：其他情形：.将可行的组合标注在均方平面上prpCopyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity10:49:367两种完全正相关资产的可行集命题：完全正相关的两种资产构成的可行集是一条直线。证明：1211112121211122212121212122212121()(1)()/()()(1)(1)ppppppppp－－－Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity10:49:368若不允许卖空（W≥0），当权重w1从1减少到0时可以得到一条直线段，即为完全正相关的两种风险资产可行集。11(,)r22(,)rprpCopyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity10:49:369两种完全负相关资产的可行集两种资产完全负相关，即ρ12=-1，则有111122222p111121112111221p11221p111121221p1121112()(1)()(1)2(1)|(1)|()0()(1)()(1)prwwrwr当时,当时，当时，Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity10:49:3610命题：完全负相关的两种资产构成的可行集是两条直线，其截距相同，斜率异号。证明：21122p111121122212121212122212121()(1)()(1)ppppppp情形：Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity10:49:361121121121112122212122()(1)()pppp情形：，同理可证122212rrr22(,)r11(,)rprpCopyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity10:49:3612两种不完全相关的风险资产的组合的可行集111122222111121112122222111121()(1)()(1)2(1)0()(1)1ppprwwrwr当1时＋＝尤其当＝时＝这是一条二次曲线，事实上，当1时，可行集都是二次曲线。Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity10:49:3613在各种相关系数下、两种风险资产构成的可行集（W≥0）11(,)r22(,)r122212rrrppr1011Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity10:49:36143种风险资产的组合二维表示一般地，当资产数量增加时，要保证资产之间两两完全正（负）相关是不可能的，因此，一般假设两种资产之间是不完全相关（一般形态）。1234prpCopyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity10:49:3615类似于3种资产构成组合的算法，我们可以得到一个月牙型的区域为n种资产构成的组合的可行集。n种风险资产的组合二维表示prpCopyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity10:49:3616不可能的可行集ABprp可行区域是向左侧凸出的！因为任意两个资产构成的投资组合都位于两个资产连线的左侧。Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity10:49:36172.1.1马科维茨模型（n项风险资产组合有效前沿）假定1：市场上存在种风险资产，令Tn),,,(21代表投资到这n种资产上的财富的相对份额，则有：11niiw且卖空不受限制，即允许0iw2.也是一个n维列向量，它表示每一种资产的期望收益率，则组合的期望收益12(,,,)Tnrrrr2nCopyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity10:49:3618Tprwr3.使用矩阵表示资产之间的方差协方差，有111212122212nnnnnn注：方差协方差矩阵是正定、非奇异矩阵。所以，对于任何非0的向量a，都有，则0TaaCopyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity10:49:3619221minmin2..1TTppwwTpTstr其中，是所有元素为1的n维列向量。由此构造拉格朗日函数(1,1,1,,1)T11212,,1()(1)2TTTpwLr©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity10:49:36201212010TpTLLrLwr10wwrw1注意到方差-协方差矩阵正定，二阶条件自动满足，故只要求一阶条件其中，0=[0,0,…,0]（1）（2）（3）Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity10:49:3621（4）由（1）得到121112wr1wr1把（4）代入（2），得到111211121112()()()TTpTTTTrwrr1rrr1rrr1r（5）Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity10:49:36221112TTTabcdacbrr1r11为化简，定义把（4）代入（3）111211121()TTTTw1r11r111（6）Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity10:49:3623这样我们就可以将（5）和（6）改写为12121prabbc22ppabrabracbd解得12ppcrbcrbacbd（7）（8）Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity10:49:362411ppcrbabrddwr1将（7）和（8）代入（4）得到，给定收益条件下的最优权重向量为（9）其中，1Tb1r1Tarr1Tc112dacbCopyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity10:49:3625最小方差集的几何特征性质1：最小方差集是均方平面上的双曲线111211[]1[]1pppnppcrbabrddcrbabrdcbrbadwr1r1r1证明：由于Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity10:49:36261211cbcbabbababcdacb根据线性代数的性质有不妨令-1-11-1-1[][]TTTTTabbcrrr1dr1r1r111=2-dacbd注意与区别Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity10:49:362711[]1prwr1d2Tpww这样，由（9）得到的最优权重向量改写为在得到最优权重的基础上，最小方差为1111{[1][]}{[]}1pTprrdr1r1d1=[1]1pprrd111[1][][]1pTprrdr1r1d（10）Copyright©LinHui2006,Departm