85求数列前n项和的几种方法

数列求和是数列的一个重要内容，由于求和形式多样，所以思维容量大，思维层次高，是高考的热点问题，应给予足够的重视，现总结如下：一、公式法求和【例1】已知等差数列{an}，a2＝9，a5＝21.(1)求{an}的通项公式；(2)令bn＝2an，求数列{bn}的前n项和Sn.思路点拨：由a2，a5的值列方程组可求得基本量a1和d，即可求an；再利用等比数列前n项和公式求Sn.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，依题意得方程组a1＋d＝9a1＋4d＝21解得a1＝5，d＝4.∴{an}的通项公式为an＝4n＋1.(2)由an＝4n＋1得bn＝24n＋1，bn＋1＝24(n＋1)＋1∴bn＋1bn＝24n＋1＋124n＋1＝24.∴{bn}是以b1＝25为首项，公比为q＝24的等比数列．由等比数列前n项和公式得：Sn＝251－24n1－24＝3224n－115.分析数列是由等差数列或等比数列构成，可直接由等差数列与等比数列的求和公式求和．二、倒序相加法求和（高效ABP31T6）【例2】设f(x)＝12x＋2，利用教科书上推导数列前n项和公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值为________．思路点拨：若直接求解则相当麻烦，考虑f(x)＝12x＋2的特点及f(－5)，f(6)；f(－4)，f(5)；…的特点，f(x)与f(1－x)是否有某种特别的联系，如果有则可以用求等差数列前n项和公式的方法倒序相加法解答此题．此题运用了倒序相加法求得所给函数值的和，由此可以看出，熟练掌握重要的定理、公式的推导过程是非常重要的，它有助于同学们理解各种解题方法，强化思维过程的训练．当数列{an}满足ak＋an－k＝常数时，可用倒序相加法求数列{an}的前n项和．（等差数列前n项和的推导）解析：∵f(x)＝12x＋2，∴f(1－x)＝121－x＋2＝2x2＋2×2x＝12×2x2＋2x＝2×2x－12＋2x.∴f(x)＋f(1－x)＝12x＋2＋2×2x－12＋2x＝22.设S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)，倒过来，则有S＝f(6)＋f(5)＋…＋f(0)＋…＋f(－4)＋f(－5)，∴2S＝[f(－5)＋f(6)]＋[f(－4)＋f(5)]＋…＋[f(6)＋f(－5)]＝62.∴S＝32.三、错位相减法求和【例3】求和a＋2a2＋3a3＋…＋nan(n∈N)．解：记Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＋nan，则aSn＝a2＋2a3＋…＋(n－2)an－1＋(n－1)an＋nan＋1.两式相减，得(1－a)Sn＝(a＋a2＋a3＋…＋an)－nan＋1.若a＝1，则Sn＝1＋2＋…＋n＝nn＋12；若a≠1，则Sn＝a1－an1－a2－nan＋11－a.(1)一个等比数列在求前n项和时，一定要注意公比q是否为1，若不能确定，则要分q＝1和q≠1两种情况讨论．(2)错位相减法：等比数列前n项和公式的推导方法，即将数列中的各项乘以一个适当的数(式)．然后错开一位相减，使数列中的一些项相互抵消或形成规律，从而得出数列的前n项和．此种方法常用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列．四、裂项相消法求和(高效ABP33T6)【例5】在数列{an}中，an＝1n＋1＋2n＋1＋…＋nn＋1，又bn＝2an·an＋1，求数列{bn}的前n项的和．解：an＝1n＋1(1＋2＋…＋n)＝n2，∵bn＝2an·an＋1，∴bn＝2n2·n＋12＝8(1n－1n＋1)，∴数列{bn}的前n项和为Sn＝8[(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n－1n＋1)]＝8(1－1n＋1)＝8nn＋1.(1)若数列{an}的通项能转化为f(n＋1)－f(n)的形式，常采用裂项相消法求和．(2)使用裂项相消法求和时，要注意正、负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项．(3)常见的拆项有：①1nn＋1＝1n－1n＋1，②a1b＝a＋1b，③1n＋n＋1＝n＋1－n，④12n－12n＋1＝12(12n－1－12n＋1)等．(1)分组求和法是把原数列的每一项拆成两(多)项之和或差，从而将原数列分解成两(多)个数列的和或差，而这两(多)个数列或者是等差、等比数列，或者是已知其和．求出这两(多)个数列的和，再相加(减)，得到原数列和的方法便是分组求和法．（2）为了便于拆项，常常先分解数列的通项再分组求和。五、分组求和法六、并项求和法并项求和法是将原数列的项重新组合(例如两两结合，奇偶项分别结合等)，使它们成为一个或几个等差(比)数列后再求和的方法．求和：Sn＝1－3＋5－7＋9－11＋…＋(－1)n－1(2n－1)七、利用数列的周期性求和八、分段求和法求和【例7】已知数列{an}前n项和为Sn，且an＋Sn＝1(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝3＋log4an，设Tn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|，求Tn.解：(1)由an＋Sn＝1，得an＋1＋Sn＋1＝1.两式相减得an＋1－an＋Sn＋1－Sn＝0，∴2an＋1＝an，即an＋1＝12an.又当n＝1时，a1＋S1＝1，∴a1＝12.∴数列{an}是首项为12，公比为12的等比数列，∴an＝a1qn－1＝12×(12)n－1＝(12)n.法一：bn＝3＋log4(12)n＝3－n2＝6－n2.当n≤6时，bn≥0，|bn|＝bn，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝n11－n4.当n≥7时，bn＜0，|bn|＝－bn，∴Tn＝b1＋b2＋…＋b6－b7－b8－…－bn＝2(b1＋b2＋…＋b6)－(b1＋b2＋…＋bn)＝2T6－Sn′＝n2－11n＋604，(其中Sn′表示{bn}的前n项和)综上可知：Tn＝n11－n4n≤6n2－11n＋604n≥7.(2)法二：bn＝3＋log4(12)n＝3－n2＝6－n2.当n≤6时，bn≥0，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝n11－n4；当n≥7时，bn＜0，Tn＝b1＋b2＋…＋b6－(b7＋b8＋…＋bn)＝6×54－[(n－6)(－12)＋n－6n－72×(－12)]＝n2－11n＋604，综上可知，Tn＝n11－n4n≤6n2－11n＋604n≥7.如果一个数列是由各自具有不同特点的两段构成，则可考虑利用分段求和法求和．九、奇偶分析法求和【例8】已知{an}是由非负整数组成的数列，满足a1＝0，a2＝3，an＋1·an＝(an－1＋2)(an－2＋2)，n＝3,4,5….(1)求a3；(2)若an＝an－2＋2，n＝3,4,5，…，求{an}的通项公式及其前n项和Sn.(1)解：由题设得a3a4＝10，且a3，a4均为非负整数，∴a3的可能值为1,2,5,10.若a3＝1，则a4＝10，a5＝32，与题设矛盾；若a3＝5，则a4＝2，a5＝352，与题设矛盾；若a3＝10，则a4＝1，a5＝60，a6＝35，与题设矛盾．∴a3＝2.(2)解：由an＝an－2＋2，n＝3,4,5，…，得a2k＋1＝a2k－1＋2，a1＝0及a2k＋2＝a2k＋2，a2＝3，∴a1，a3，a5，…，a2k－1构成首项为0，公差为2的等差数列，a2，a4，a6，…，a2k构成首项为3，公差为2的等差数列．∴a2k－1＝2(k－1)＝(2k－1)－1，a2k＝3＋2(k－1)＝2k＋1，k＝1,2,3，….∴an＝n＋(－1)n，n＝1,2,3，…所以Sn＝12nn＋1－1n为奇数12nn＋1n为偶数.对于正负项间隔的数列或含有(－1)n的运算结构的数列求和，通常要进行奇偶性分类讨论求解．总之，在求数列的前n项和时，应先考查其通项公式，根据通项公式的特点，再来确定选用何种求和方法，数列求和的实质就是一个代数式的化简问题．