3考研数学知识点之精华

1考研数学知识点之精华高等数学部分第一章：函数极限连续一、重要概念、公式(一)函数的性质（单调性、周期性、奇偶性、有界性）(1)单调性：对于函数()fx，如果对12xx，有12()()fxfx或（12()()fxfx），则()fx是单调增加（单调减少）。注：1º对可导函数，常通过()fx判定：()0fx单增，()0fx单减；2º函数不具体的非可导函数，必用定义。(2)周期性：对于()fx，如果存在常数0T，使()()fxTfx，则()fx为周期函数。注：①常见函数周期：sinx和cosx，周期为2；tanx和cotx，周期为②如()fx以T为周期，则()faxb以aT为周期；③如()fx以T为周期且可导，则()fx以T为周期，反之不真，即如()fx为周期函数，其原函数不一定是周期函数，如()1fx。周期函数不一定可导④如()fx以T为周期，则202TanTTTafxdxnfxdxnfxdx⑤(),fxgx以1212,TTTT，为周期，则12(),(),()fxgxfxgxfxgxTT以、的最小公倍数为周期(3)奇偶性：对于()fx，如果()()fxfx，则()fx偶函数；如果()()fxfx，则()fx奇函数注：①讨论奇偶性必注意区间对称性及()fx与()fx的关系；②(偶)′＝奇，(奇)′＝偶；③偶函数的原函数不一定是奇数，但奇函数的原函数是偶函数；④奇±奇＝奇（不等），偶＋偶＝偶，奇＋偶不定奇·奇＝偶，偶·偶＝偶，奇·偶＝奇（偶≠0）(4)有界性：对于()fx，如果存在0M，使Mxf，则称()fx有界，()fxM有上界；()fxM有下界注：①有界既有上界又有下界；2②常见函数的有界性：sinx，cosx，arcsinx，arccosx，arctanx，cotarcx；③闭区间上的连续函数一定有界；④极限存在必局部有界，指点的附近。（二）复合函数、反函数、分段函数1、复合函数：假设()yfx，()ux，则[()]yfx是由()yfu，()ux复合而成的复合函数。注：()ux的值域与()yfu的定义域的关系：仅当()ux的值域包含在()yfu的定义域内时才可复合。例：arcsinyu，22ux，仅当2121x时，才可复合。2、反函数：由()yfx求()xgy，即得反函数()ygx注：①单调连续反函数，其单调性相同；②单调可导函数的反函数必可导。③单调可导函数的反函数凹凸性不定，单调增加的不同。单调减少的一致3、分段函数：在定义域内函数表达式不同。注：01()fx与2()nfx，分段点()0fx；0210sgn0010fxfxfxfx；03max(),()2fxgxfxgxfxgx，分段点()()fxgx；2)(),(minxgxfxgxfxgxf，分段点()()fxgx；04[()]fx()fx整数的点05带极限的函数（三）极限定义及左极限、右极限与极限的关系1、定义：0limxxfxA，0limxxfxA，0limxxfxA注：(1)0xx的方式是任意的：0xx表示0xx是为了确定函数关系；0xx表示0xx是为了确定函数关系；(2)0limxxAxf表示当0xx非常小时，fxA也非常小；(3)limnnxa当n足够大时，nx与a的差足够小2、极限与左、右极限的关系：左极限＝右极限极限存在(1)在分段函数分段点的极限必用此结论；3(2)101lim1101xxaaaa，1001lim111xxaaaa3、0limxxfxA存在limnAxfn，nx为任何以0x为极限的数列0()nxx注：此结论常用在证明极限不存在。（四）极限的性质1、保号性(1)0limxxAxf0A，则在0x的某一邻域内，0fx(2)0limxxAxf0fx，则在0x的某一邻域内，0A2、局部有界性如果0lim()xxfxA存在，则在0x附近，()fx有界3、唯一性极限存在必唯一（五）无穷大无穷小1、定义（1）如果lim0xRfx，则称()fx在xR中为无穷小量0,00(,,)Rxxx注：①无穷小是一个变量，并不是很小的数②一个函数是否为无穷小，与自变量的变化趋势有关例：2()fxx0x时，为无穷小1x时，不为无穷小（2）如果对0M存在，00||xx时，有|()|fxM成立，则()fx当0xx时为无穷大。注：1º无穷大一定无界，但无界≠＞无穷大无穷大具有一致性2ºx时无穷小的倒数(()0)fx为无穷大，无穷大的倒数为无穷小。2、性质（1）有限个无穷小的代数和仍是无穷小（2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小（3）有限个无穷小的乘积是无穷小3、无穷小的阶及等价无穷小的应用定理（1）设在自变量的某变化过程中，,都是无穷小1º如0lim则称是的高阶无穷小，记作()o2º如lim则称是的低阶无穷小3º如clim0c则与是同阶无穷小4º如1lim则与是等价无穷小~45º如0limck则称是的k阶无穷小（2）等价定理如果x～～则limxlimx（3）无穷小与极限的关系limxfxAfxAx注：此结论常用在求极限或证明题中。4、常用的等价无穷小当0u时sin~uutan~uuarcsin~uuarctan~uu21cos~2uuln(1)~uu1~ueu1~lnuaua(1)1~uu注：（1）等价无穷小代换只能用在乘除的情况下（2）无穷小阶的讨论常用等价无穷小代换或泰勒展开式（3）如果()gx是xa的m阶无穷小()fu是u的n阶无穷小则[()]fgx是xa的nm阶无穷小（4）一般地，如果()fx是xa的(1)kk阶无穷小，则()fx是xa的1k阶无穷小，dttfxa是xa的1k阶无穷小；反之，如()fx是xa的k阶无穷小，推不出()fx是xa的(1)k阶的结论。0x3[1]x（六）极限运算法则及存在条件如果lim()fx与lim()gx存在，则lim()()lim()lim()fxgxfxgxlim()()lim()lim()fxgxfxgx()lim()lim()lim()fxfxgxgx(lim()0)gx注：1、条件的存在性2、10110101100limmmmmnnxnnnmaxaxaxaanmbxbxbxbbnm3、001limsin00kxkxxk不存在（七）极限存在的两个准则及适用范围1、双边夹法则如果,,nnnXYZ满足nnnXYZ且limlimnnXZA，则limnYA5对于函数(),(),()fxgxhx，如果()()()fxgxhx且lim()lim()fxhxA则lim()gxA注：多项和形式的极限一般用双边夹法则。2、单调有界数列必有极限注：（1）己知递推公式求极限必用此结论（2）limlnlimxgxfxgxxfxe（八）连续定义及运算法则1、定义（1）设()fx在0x的某一邻域内有定义，如果0limxx0xfxf连续如果0limxx0xfxf右连续0limxx0xfxf左连续注：(01)函数在0x连续既左连续又右连续(02)函数不具体或分段函数的分段点必用定义（2）不连续点称为间断点间断点包括:1º无定义点；2º有定义但0lim()xxfx不存在的点3º0lim()xxfx存在但00lim()()xxfxfx（3）间断点的分类第一类左右极限都存在的间断点1º左≠右跳跃2º左＝右可去间断点第二类左右极限至少有一个不存在的间断点2、运算性质（1）如果()()fxgx、都在0x处连续，则1ºxgxf也连续；2ºxgxf；3º00fxgxgx也连续（2）如果函数()yfx在区间xI上单调且连续，则其反函数yx也在相应区间yxIyyfxxI上单调且连续（3）设函数xu，当0xx时，极限存在且等于a，即0limxxxa，而函数ufy在au连续，则复合函数xfy当0xx时的极限也存在，且等于af，即0limxxfxfa（4）设函数xu在点0xx连续且00ux而ufy在点0u连续，则xfy在点0xx也连续。6（5）初等函数在其定义域内都连续如()fx为初等函数，0x为其定义域内一点，则0limxx0fxfx（6）如fxgx、在(,)ab上连续，则fx，xgxf,min，xg,maxxf在(,)ab内连续(九)闭区间上连续函数的性质1、闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值2、闭区间上的连续函数一定有界3、闭区间上的连续函数必取得介于最大值、最小值之间的任何值注：1º闭区间2º连续是充分条第二章：导数与微分（6~10）(一)基本概念1、定义1：设函数()yfx在点0x的某邻域内有定义，如果000()()limxxfxfxxx存在，则称()fx在0x点处可导，并称此极限为函数()yfx在点0x处的导数，记为0|xxy，即0000()()|limxxxfxxfxyx000()()limxxfxfxxx，或0xxdxdy，0()xxdfxdx注意：①结构的一致性；②0xx的方式的任意性定义2：左导数0000()()()limxxfxfxfxxx右导数0000()()()limxxfxfxfxxx定义3：导函数0()()()limxfxxfxfxx2、左导数、右导数、导数的关系左导数＝右导数导数注：（1）分段函数分段点的可导性，必用上述结论（2）0()fxxx在0x不可导，如0lim()0xxgx，则0()()fxgxxx在0xx处可导（3）函数不具体，必用导数定义（4）000()()()xxfxfxfx（5）（奇）′＝偶（偶）′＝奇（周期）′＝周期（6）()fx单调，()fx不一定单调3、导数的几何意义：0()fx表示()yfx在00(,)xy点切线斜率（1）切线方程000()()yyfxxx（2）法线方程：000010yyxxfxfx000xxfx74、可导与连续的关系：可导必连续，但连续不一定可导。5、高阶导数：(1)定义：二阶及二阶以上的导数(2)公式：nxxeelnnnxxaaasinsin2nnxxcoscos2nnxx11!1nnnnxaxa111!lnnnnnxaxaln6、微分（二）导数的运算法则1、设fx,gx都可导，则（1）xgxfxgxf；（2）xgxfxgxfxgxf；（3）xgxgxfxgxfxgxf22、反函数的导数：设yfx是xgy的反函数，且yfx单调可导，则xgy也单调可导，且1yxxy3、