高中数学竞赛讲义(五)──数列

高中数学竞赛讲义（五）──数列一、基础知识定义1数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n，….数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{an}的一般形式通常记作a1,a2,a3,…，an或a1,a2,a3,…，an…。其中a1叫做数列的首项，an是关于n的具体表达式，称为数列的通项。定理1若Sn表示{an}的前n项和，则S1=a1,当n1时，an=Sn-Sn-1.定义2等差数列，如果对任意的正整数n，都有an+1-an=d（常数），则{an}称为等差数列，d叫做公差。若三个数a,b,c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d,则a=b-d,c=b+d.定理2等差数列的性质：1）通项公式an=a1+(n-1)d；2）前n项和公式：Sn=；3）an-am=(n-m)d，其中n,m为正整数；4）若n+m=p+q，则an+am=ap+aq；5）对任意正整数p,q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一个不为零，则{an}是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn.定义3等比数列，若对任意的正整数n，都有，则{an}称为等比数列，q叫做公比。定理3等比数列的性质：1）an=a1qn-1；2）前n项和Sn，当q1时，Sn=；当q=1时，Sn=na1；3）如果a,b,c成等比数列，即b2=ac(b0)，则b叫做a,c的等比中项；4）若m+n=p+q，则aman=apaq。定义4极限，给定数列{an}和实数A，若对任意的0，存在M，对任意的nM(n∈N),都有|an-A|，则称A为n→+∞时数列{an}的极限，记作定义5无穷递缩等比数列，若等比数列{an}的公比q满足|q|1，则称之为无穷递增等比数列，其前n项和Sn的极限（即其所有项的和）为（由极限的定义可得）。定理3第一数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)时n=k成立时能推出p(n)对n=k+1成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。竞赛常用定理定理4第二数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)对一切n≤k的自然数n都成立时（k≥n0）可推出p(k+1)成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。定理5对于齐次二阶线性递归数列xn=axn-1+bxn-2，设它的特征方程x2=ax+b的两个根为α,β:(1)若αβ，则xn=c1an-1+c2βn-1，其中c1,c2由初始条件x1,x2的值确定；(2)若α=β，则xn=(c1n+c2)αn-1，其中c1,c2的值由x1,x2的值确定。二、方法与例题1．不完全归纳法。这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。例1试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。【解】1）an=n2-1；2）an=3n-2n；3）an=n2-2n.例2已知数列{an}满足a1=,a1+a2+…+an=n2an,n≥1，求通项an.【解】因为a1=,又a1+a2=22·a2,所以a2=，a3=,猜想(n≥1).证明；1）当n=1时，a1=，猜想正确。2）假设当n≤k时猜想成立。当n=k+1时，由归纳假设及题设，a1+a1+…+a1=[(k+1)2-1]ak+1,，所以=k(k+2)ak+1,即=k(k+2)ak+1,所以=k(k+2)ak+1,所以ak+1=由数学归纳法可得猜想成立，所以例3设0a1，数列{an}满足an=1+a,an-1=a+，求证：对任意n∈N+,有an1.【证明】证明更强的结论：1an≤1+a.1)当n=1时，1a1=1+a，①式成立；2)假设n=k时，①式成立，即1an≤1+a，则当n=k+1时，有由数学归纳法可得①式成立，所以原命题得证。2．迭代法。数列的通项an或前n项和Sn中的n通常是对任意n∈N成立，因此可将其中的n换成n+1或n-1等，这种办法通常称迭代或递推。例4数列{an}满足an+pan-1+qan-2=0,n≥3，q0，求证：存在常数c，使得·an+【证明】·an+1+(pan+1+an+2)+=an+2·(-qan)+=+an(pqn+1+qan)]=q().若=0，则对任意n,+=0，取c=0即可.若0，则{+}是首项为，公式为q的等比数列。所以+=·qn.取·即可.综上，结论成立。例5已知a1=0,an+1=5an+，求证：an都是整数，n∈N+.【证明】因为a1=0,a2=1，所以由题设知当n≥1时an+1an.又由an+1=5an+移项、平方得①当n≥2时，把①式中的n换成n-1得，即②因为an-1an+1，所以①式和②式说明an-1,an+1是方程x2-10anx+-1=0的两个不等根。由韦达定理得an+1+an-1=10an(n≥2).再由a1=0,a2=1及③式可知，当n∈N+时，an都是整数。3．数列求和法。数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。例6已知an=(n=1,2,…)，求S99=a1+a2+…+a99.【解】因为an+a100-n=+=，所以S99=例7求和：+…+【解】一般地，，所以Sn=例8已知数列{an}满足a1=a2=1，an+2=an+1+an,Sn为数列的前n项和，求证：Sn2。【证明】由递推公式可知，数列{an}前几项为1，1，2，3，5，8，13。因为，①所以。②由①-②得，所以。又因为Sn-2Sn且0,所以Sn,所以，所以Sn2，得证。4．特征方程法。例9已知数列{an}满足a1=3,a2=6,an+2=4n+1-4an，求an.【解】由特征方程x2=4x-4得x1=x2=2.故设an=(α+βn)·2n-1，其中，所以α=3，β=0，所以an=3·2n-1.例10已知数列{an}满足a1=3,a2=6,an+2=2an+1+3an，求通项an.【解】由特征方程x2=2x+3得x1=3,x2=-1,所以an=α·3n+β·(-1)n，其中，解得α=，β，所以·3]。5．构造等差或等比数列。例11正数列a0,a1,…,an,…满足=2an-1(n≥2)且a0=a1=1，求通项。【解】由得=1，即令bn=+1，则{bn}是首项为+1=2，公比为2的等比数列，所以bn=+1=2n，所以=（2n-1）2，所以an=·…··a0=注：C1·C2·…·Cn.例12已知数列{xn}满足x1=2,xn+1=,n∈N+,求通项。【解】考虑函数f(x)=的不动点，由=x得x=因为x1=2,xn+1=,可知{xn}的每项均为正数。又+2≥，所以xn+1≥(n≥1)。又Xn+1-==,①Xn+1+==,②由①÷②得。③又0，由③可知对任意n∈N+，0且,所以是首项为，公比为2的等比数列。所以·，所以，解得·。注：本例解法是借助于不动点，具有普遍意义。三、基础训练题1．数列{xn}满足x1=2,xn+1=Sn+(n+1)，其中Sn为{xn}前n项和，当n≥2时，xn=_________.2.数列{xn}满足x1=，xn+1=,则{xn}的通项xn=_________.3.数列{xn}满足x1=1，xn=+2n-1(n≥2)，则{xn}的通项xn=_________.4.等差数列{an}满足3a8=5a13，且a10,Sn为前n项之和，则当Sn最大时，n=_________.5.等比数列{an}前n项之和记为Sn,若S10=10，S30=70，则S40=_________.6.数列{xn}满足xn+1=xn-xn-1(n≥2)，x1=a,x2=b,Sn=x1+x2+…+xn，则S100=_________.7.数列{an}中，Sn=a1+a2+…+an=n2-4n+1则|a1|+|a2|+…+|a10|=_________.8.若，并且x1+x2+…+xn=8，则x1=_________.9.等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若，则=_________.10.若n!=n(n-1)…2·1,则=_________.11．若{an}是无穷等比数列，an为正整数，且满足a5+a6=48,log2a2·log2a3+log2a2·log2a5+log2a2·log2a6+log2a5·log2a6=36，求的通项。12．已知数列{an}是公差不为零的等差数列，数列{}是公比为q的等比数列，且b1=1,b2=5,b3=17,求：（1）q的值；（2）数列{bn}的前n项和Sn。四、高考水平训练题1．已知函数f(x)=，若数列{an}满足a1=，an+1=f(an)(n∈N+)，则a2006=_____________.2．已知数列{an}满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2)，则{an}的通项an=.3.若an=n2+,且{an}是递增数列，则实数的取值范围是__________.4.设正项等比数列{an}的首项a1=,前n项和为Sn,且210S30-（210+1）S20+S10=0，则an=_____________.5.已知，则a的取值范围是______________.6．数列{an}满足an+1=3an+n(n∈N+)，存在_________个a1值，使{an}成等差数列；存在________个a1值，使{an}成等比数列。7．已知(n∈N+)，则在数列{an}的前50项中，最大项与最小项分别是____________.8．有4个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和中16，第二个数与第三个数的和是12，则这四个数分别为____________.9.设{an}是由正数组成的数列，对于所有自然数n,an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项，则an=____________.10.在公比大于1的等比数列中，最多连续有__________项是在100与1000之间的整数.11．已知数列{an}中，an0，求证：数列{an}成等差数列的充要条件是（n≥2）①恒成立。12．已知数列{an}和{bn}中有an=an-1bn,bn=(n≥2),当a1=p,b1=q(p0,q0)且p+q=1时，（1）求证：an0,bn0且an+bn=1（n∈N）；（2）求证：an+1=；（3）求数列13．是否存在常数a,b,c，使题设等式1·22+2·32+…+n·(n+1)2=(an2+bn+c)对于一切自然数n都成立？证明你的结论。五、联赛一试水平训练题1．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项和为972，这样的数列共有_________个。2．设数列{xn}满足x1=1,xn=，则通项xn=__________.3.设数列{an}满足a1=3,an0，且，则通项an=__________.4.已知数列a0,a1,a2,…,an,…满足关系式(3-an+1)·(6+an)=18，且a0=3，则=__________.5.等比数列a+log23,a+log43,a+log83的公比为=__________.6.各项均为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有__________项.7.数列{an}满足a1=2,a2=6,且=2，则________.8.数列{an}称为等差比数列，当且仅当此数列满足a0=0,{an+1-qan}构成公比为q的等比数列，q称为此等差比数列的差比。那么，由100以内的自然数构成等差比数列而差比大于1时，项数最多有__________项.9．设h∈N+，数列{an}定义为：a0=1,an+1=。问：对于怎样的h，存在大于0的整数n，使得an=1？10．设{ak}k≥1为一非负整数列，且对任意k≥1，满足ak≥a2k+a2k+1，（1）