河北省石家庄二中2020届高三年级上学期第三次联考理科数学试题(1)

1河北省石家庄二中2020届高三年级上学期第三次联考数学（理科）本试卷共4页，23题，满分150分。考试时间120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设11Axx，0Bxxa，若AB，则a的取值范围是（）.(,1]A.(,1)B.[1,)C.(1,)D2．己知命题p：,21000nnN，则p为（）A.,21000nnNB.,21000nnNC.,21000nnND.,21000nnN3．己知复数z满足2019(1)izi（其中i为虚数单位），则||z（）A．12B．22C．1D．24．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第一天走了（）A.192里B.96里C.48里D.24里5.已知函数()fx为偶函数，且对于任意的12,0,xx，都有1212()()fxfxxx120xx,设(2)af，3(log7)bf，0.1(2)cf则（）A.bacB.cabC.cbaD.acb6.若函数()sin(2)6fxx的图像向左平移（0）个单位，所得的图像关于y轴对称，则当最小时，tan（）A.33B.3C.33D.327．已知函数214fxxcosx的图像在点tft（，）处的切线的斜率为k，则函数kgt的大致图像是（）A.B.C.D.8．已知两点1,0A，10B,以及圆C：222(3)(4)(0)xyrr，若圆C上存在点P，满足0APPB，则r的取值范围是（）A．3,6B．3,5C．4,5D．4,69．如图所示，在直角梯形ABCD中，8AB，4CD，//ABCD，ABAD，E是BC的中点，则()ABACAE（）A.32B.48C.80D.6410．如图所示，正四面体ABCD中,E是棱AD的中点,P是棱AC上一动点，BPPE的最小值为14，则该正四面体的外接球表面积是（）A．12B．32C．8D．2411．如图所示，已知函数(0),2fxsinx的图象与坐标轴交于点A、B，点1(,0)2C，直线BC交()fx的图象于另一点D，点O是△ABD的重心，则△ACD的外接圆的半径为（）A．2B．576C．573D．812．已知定义在R上的函数fx的图像关于y轴对称,其导函数为fx,当0x…时,不等式1xfxfx.若xR,不等式()()0xxxefeeaxaxfax恒成立,则正整数a的最大值为（）A．1B．2C．3D．4第Ⅱ卷3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．双曲线2214yx的右焦点为F，则F到其中一条渐近线的距离为__________．14．4324sin16xxdx的值为__________．15．已知数列{}na的前n项和221,4(1),5nnnSnmnn.若5a是{}na中的最大值，则实数m的取值范围是__________．16．设12,FF为椭圆C:2214xy的两个焦点，M为C上的点，12MFF的内心I的纵坐标为23，则12FMF的余弦值为__________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（本小题满分12分）,,abc分别为ABC△的内角,,ABC的对边，已知sin4sin8sinaABA.（1）若1,6bA，求sinB；（2）已知3C，当ABC△的面积取得最大值时，求ABC△的周长.18．（本小题满分12分）设数列na满足：212321111...333nnaaaan，n+N.（1）求na；（2）求数列na的前n项和nS.19．（本小题满分12分）如图，矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E为BC的中点，现将△BAE与△DCE折起，使得平面BAE及平面DEC都与平面ADE垂直．（1）求证：BC∥平面ADE；（2）求二面角A﹣BE﹣C的余弦值．420．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)xyEabab的左焦点1F，直线:2360lxy与y轴交于点P.且与椭圆交于A，B两点.A为椭圆的右顶点，B在x轴上的射影恰为1F。（1）求椭圆E的方程；（2）M为椭圆E在第一象限部分上一点，直线MP与椭圆交于另一点N，若:PNPMABSS，求的取值范围.21．（本小题满分12分）已知函数33efxxax，1lngxx，其中e为自然对数的底数。（1）讨论函数()fx的单调性；（2）用max,mn表示,mn中较大者，记函数()max(),(),(0)hxfxgxx.若函数()hx在0,上恰有2个零点，求实数a的取值范围.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为2cos4sin0，P点的极坐标为3,2，在平面直角坐标系中，直线l经过点P，且倾斜角为60.（1）写出曲线C的直角坐标方程以及点P的直角坐标；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求11PAPB的值.23．【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知函数()214fxxx（1）解不等式()6fx；5（2）若不等式2()48fxxaa有解，求实数a的取值范围.6数学（理科）参考答案一、选择题1-5ACBAC6-10BACDCA11-12BB二、填空题13.214.8.15.53,516.0三、解答题17.解：（1）由sin4sin8sinaABA，得48aaba，即48ab.因为1b，所以4a.由41sinsin6B，得1sin8B.…………………………..5分（2）因为48244ababab，所以4ab，当且仅当44ab时，等号成立.因为ABC△的面积11sin4sin3223SabC.所以当44ab时，ABC△的面积取得最大值，…………………………..8分此时22241241cos133c，则13c，所以ABC△的周长为513.…………………………..12分18.解：（1）数列na满足：212321111...333nnaaaan，n+N，当1n时，11a；当2n时，2123122111...1333nnaaaan两式相减得：22111213nnannn，解得1213nnan，2n…………..5分当1n时上式也成立，所以1213nnan.…………..6分（2）由（1）知1213nnan，则0121133353...213nnSn所以1233133353...213nnSn.…………..8分两式相减得：1231212(333...3)213nnnSn0123112(3333...3)n132131213nnn213nn2232nn所以131nnSn..…………..12分719．解：（1）过点B作BM⊥AE，垂足为M，过点C作CN⊥ED于N，连接MN，如图所示；∵平面BAE⊥平面ADE，平面DCE⊥平面ADE，∴BM⊥平面ADE，CN⊥平面ADE，∴BM∥CN；由题意知Rt△ABE≌Rt△DCE，∴BM＝CN，∴四边形BCNM是平行四边形，∴BC∥MN；又BC⊄平面ADE，MN⊂平面ADE，∴BC∥平面ADE；………..5分（2）由已知，AE、DE互相垂直，以E为原点，ED所在直线为x轴，EA所在直线为y轴，建立空间直角坐标系E−xyz，如图所示；则E（0，0，0），B（0，2，2），C（2，0，2），(0,2,2),(2,0,2)EBEC，设平面CEB的法向量为n＝（x，y，z），则00nEBnEC，即220220yzxz，令y＝−1得n＝（−1，−1，1）；………….8分设平面AEB的法向量为m＝（x，y，z），则00mEAmEB，得m＝（1，0，0），………….9分11003cos,3||||31mnmnmn，………….11分二面角A−BE−C的平面角是钝角，余弦值为33．………….12分20.解：（1）:2360lxy与椭圆的一个交点A为椭圆的右顶点(3,0)A.又1BFx轴，得到点2,bBca，2222333260221aabcbacabc，椭圆E的方程为22198xy+=。…………..5分（2）因为1sin32(3)11sin23PAPMAPMSPAMPMPMSPBNPNPNPBPNBPN…………..6分所以3PMPN，由（1）可知(0,2)P，设MN方程2ykx，1122,,,MxyNxy，8联立方程222198ykxxy，得228936360kxkx，得1221223698()3698kxxkxxk，………..8分又1122,2,,2PMxyPNxy，有123xx，将其代入(*)化简可得：222(3)10898kk，因为M为椭圆E在第一象限部分上一点，所以23k，222108108(4,12)8989kkk，则2(3)412且3，解得9962…………..12分21.解：（1）233fxxa…………..1分…………..2分…………..5分（2）（Ⅰ）当时，，，在上无零点；………..6分（Ⅱ）当时，，，②若，即，则是的一个零点；②若，即，则不是的零点；………..7分（Ⅲ）当时，，所以此时只需考虑函数在上零点的情况。因为，所以①当时，，在上单调递增。又，所以（ⅰ）当时，，在上无零点；9（ⅱ）当时，。又，所以此时在上恰有一个零点；………..10分②当时，令，得。由，得，由，得，所以在上单调递减，在上单调递增。因为，，所以此时在上恰有一个零点。综上，。………..12分22.解：（1）曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为24xy，………..2分P点的极坐标为：3,2P，化为直角坐标为0,3P.………..4分（2）直线l的参数方程为cos33sin3xty