第十三讲--菱形性质与判定培优辅导含答案

第1页共16页第十三讲菱形性质与判定培优辅导一、知识梳理1、菱形的定义：__________________的平行四边形叫做菱形．2、菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它具有四边形和平行四边形的______：还具有自己独特的性质①菱形既是_____图形（两条对称轴分别是），也是_______对称图形；②菱形的四条边______；③菱形的对角线，并且每一条对角线平分；菱形的面积S菱形=底边长×高=_________________。注意：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于____________。3、菱形的判定：①一组邻边相等的______是菱形；②四条边______的是菱形；③对角线的平行四边形是菱形．二、经典例题《菱形的性质与应用》【例1】如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝4．求：(1)∠ABC的度数；(2)菱形ABCD的面积．【变式题组】如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE＋CF＝2．(1)求证：△BDE≌△BCF；(2)判断△BEF的形状，并说明理由；(3)设△BEF的面积为S，求S的取值范围．第2页共16页《菱形的判定与应用》【例2】如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．(1)求证：四边形AECD是菱形；(2)若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．【例3】已知如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC，交AD于M，EF⊥BC于F．求证：四边形AEFM是菱形．【例4】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，E是AB边的中点，P是AC边上一动点，PB＋PE的最小值是，求AB的值．三、【综合提升】【例5】、如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．3第3页共16页（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）①当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．②当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是菱形？并说明理由．【变式题组】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=53，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由.（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.培优升级检测一、选择题1、若菱形的周长为24cm，一个内角为60°，则菱形较短的一条对角线为（）第4页共16页A．9cmB．8cmC．7cmD．6cm2、过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF．若AB＝，∠DCF＝30°，则EF的长为（）A．2B．3C．D．3、如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）A．1B．C．2D．+1二、填空题4、菱形的对角线长分别为6和8，则此菱形的周长为，面积为．5、菱形ABCD中，∠A∶∠B＝1∶5，若周长为8cm，则此菱形的高等于__.6、已知□ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添，使□ABCD成为一个菱形．7、如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC=10，BD=24，AE⊥BC于E，则AE的长是．8、如图已知菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，若AEAFEFAB，求C的度数．9、如图，在菱形ABCD中，E是AB边上一点，且∠A=∠EDF=60°，有下列结论：①AE=BF；②△DEF是等边三角形；③△BEF是等腰三角形；④∠ADE=∠BEF，其中结论正确的个数是．7题图8题图9题图10题图11题图10、如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为．11、如图将两张长为8,宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值，菱形周长的最大值是．12、如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为．FEDCBA第5页共16页13、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是．．14、已如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1cm，一只电子甲虫，从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2022cm时停下，则它停的位置是.12题图13题图14题图15题图15、如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°．顺次连接菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连接四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…，则四边形A2B2C2D2的周长是20；四边形A2017B2017C2017D2017的周长是．三、解答题16、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，求AE的长．17、如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（20，0），C（0，8），点D是OA的中点，点P在BC边上以每秒1个单位长度的速度由点C向点B运动．（1）当t为何值时，四边形PODB是平行四边形？（2）在线段PB上是否存在一点Q，使得ODQP为菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当△OPD为等腰三角形时，写出点P的坐标（不必写过程）．第十三讲菱形性质与判定培优辅导答案第6页共16页二、知识梳理1、菱形的定义：__有一组邻边相等_的平行四边形叫做菱形．2、菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它不仅具有四边形和平行四边形的_一切性质____，还具有自己独特的性质。①菱形既是_轴对称_图形（两条对称轴分别是对角线所在的直线），也是中心___对称图形；②菱形的四条边_相等___；③菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分每一组对角；菱形的面积S菱形=底边长×高=__对角线之积的一半_。注意：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于_对角线之积的一半_。3、菱形的判定：①一组邻边相等的_平行四边形__是菱形；②四条边_相等_的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．二、经典例题《菱形的性质与应用》【例1】如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝4．求：(1)∠ABC的度数；(2)菱形ABCD的面积．解：（1）连接BD交AC于点O，在菱形ABCD中AD=AB∵E是AB的中点，且DE⊥AB∴AD=BD，∴AD=BD=AB∴△ABD为等边三角形，∴∠BAD=60°，∴∠ABC=120°．（2）在Rt△ABO中，∠BAO=30°，AB=4，第7页共16页则BO=2故A0=23∴菱形ABCD的面积382344【变式题组】如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE＋CF＝2．(1)求证：△BDE≌△BCF；(2)判断△BEF的形状，并说明理由；(3)设△BEF的面积为S，求S的取值范围．解：（1）证明：∵菱形ABCD的边长为2，BD=2，∴△ABD和△BCD都为正三角形，∴∠BDE=∠BCF=60°，BD=BC，∵AE+DE=AD=2，而AE+CF=2，∴DE=CF，∴△BDE≌△BCF；（2）解：△BEF为正三角形．理由：∵△BDE≌△BCF，∴∠DBE=∠CBF，BE=BF，∵∠DBC=∠DBF+∠CBF=60°，∴∠DBF+∠DBE=60°即∠EBF=60°，∴△BEF为正三角形；（3）解：设BE=BF=EF=x，当BE⊥AD时，x最小=，∴S最小=×=，当BE与AB重合时，x最大=2，∴S最大=×2×2=，∴．《菱形的判定与应用》第8页共16页【例2】如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．(1)求证：四边形AECD是菱形；(2)若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．（1）证明：∵AB∥CD，即AE∥CD，又∵CE∥AD，∴四边形AECD是平行四边形．∵AC平分∠BAD，∴∠CAE=∠CAD，∵AD∥CE，∴∠ACE=∠CAD，∴∠ACE=∠CAE，∴AE=CE，∴四边形AECD是菱形；（2）解：△ABC是直角三角形．证法一：∵E是AB中点，∴AE=BE．又∵AE=CE，∴BE=CE，∴∠B=∠BCE，∵∠B+∠BCA+∠BAC=180°，∴2∠BCE+2∠ACE=180°，∴∠BCE+∠ACE=90°．即∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形．证法二：连DE，由四边形AECD是菱形，得到DE⊥AC，且平分AC，设DE交AC于F，∵E是AB的中点，且F为AC中点，∴EF∥BC．∠AFE=90°，∴∠ACB=∠AFE=90°，∴BC⊥AC，∴△ABC是直角三角形．【变式题组】如图，在四边形ABCD中，ADBC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N．若∠BAD＝∠BCD，AM＝AN，求证四边形ABCD是菱形．证明：∵AD∥BC，∴∠B+∠BAD=180°，∠D+∠C=180°，∵∠BAD=∠BCD，∴∠B=∠D，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AM⊥BC，AN⊥DC，∴∠AMB=∠AND=90°，第9页共16页在△ABM和△ADN中，∠B＝∠D，∠AMB＝∠AND＝90°，AM＝AN，∴△ABM≌△ADN（AAS），∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形．（也可用等积法证邻边等）【例3】已知如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC，交AD于M，EF⊥BC于F．求证：四边形AEFM是菱形．证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC∴AD∥EF，∴∠AME=∠MEF，∵BE平分∠ABC,∠BAC＝90°,EF⊥BC，∴EA=EF，∠AFB=∠FEM∵AN平分∠DAC，∴∠CAN=∠DAN，∴∠AME=∠AEM，∴AM=AE∴AM=EF∴四边形AMFE是平行四边形，且AM=AE∴平行四边形AMNE是菱形．【例4】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，E是AB边的中点，P是AC边上一动点，PB＋PE的最小值是，求AB的值．解：由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD=PB，∴PE+PB=PE+PD=DE，即DE就是PE+PB的最小值，∵∠BAD=60°，AD=AB，∴△ABD是等边三角形，∵AE=BE，∴DE⊥AB（等腰三角形三线合一的性质）在Rt△ADE中，DE=，∠BAD=60°∴AD=2．33第10页共16页三、【综合提升】【例5】、如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）①当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．②当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是菱形？并说明理由．【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE＝ED，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠ECD，在△AEF和△DEC中，，∴△AEF≌△DEC，∴AF＝DC，∵AF＝BD，∴BD＝DC．（2）①当AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．证明：∵AF＝BD，AF∥BD，∴四边形AFBD是平行四边形，