《高等数学》-各章知识点总结——第10章

1第10章重积分内容总结一、计算二重积分的方法：(,)DIfxyd1、利用直角坐标计算二重积分ddxdy(1)若12{(,)()(),}Dxyxyxaxb，则21()()(,)(,)bxaxDfxyddxfxydy(2)12{(,)()(),}Dxyyxycyd，则21()()(,)(,)dycyDfxyddyfxydx2、利用极坐标计算二重积分cos,sin,xyddd(cos,sin)DIfdd(1)若12{(,)|,()()}D，则21()()(cos,sin)Idfd(2)若{(,)|,0()}D，则()0(cos,sin)Idfd(3)若{(,)|02,0()}D，则2()00(cos,sin)Idfd(4)若2222{(,)(),0}{(,)0,02cos}Dxyxayaya，则22cos00(cos,sin)aIdfd(5)若2222{(,)(),0}{(,)0,02sin}Dxyyaxaxa，则22sin00(cos,sin)aIdfd二、计算三重积分的方法(,,)Ifxyzdv1、利用直角坐标计算三重积分dvdxdydz(1)投影法（先一后二）若12{(,,)(,),(,)(,)}xyxyzxyDzxyzzxy其中12{(,),()()}xyxyDprjxyaxbyxyyx则2211()(,)()(,)(,,)byxzxyayxzxyIdxdyfxyzdz(2)截面法（先二后一）若12{(,,)(,),}zxyzxyDczc则21(,,)zccDIdzfxyzdxdy2、利用柱面坐标计算三重积分cos,sin,xyzz，dvdddz(cos,sin,)Ifzdddz2几种特殊情况(1)若222{(,,)0,}{(,,)02,0,0}xyzzHxyRzRzH则2000(cos,sin,)RHIddfzdz(2)若22{(,,)}{(,,)02,0,}xyzxyzHzHzH则200(cos,sin,)HHIddfzdz(3)若是由上半球面2222zaxy与上半锥面22zxy围成的闭区域即22{(,,)02,0,2}zaza则222200(cos,sin,)aaIddfzdz(4)若是由上半球面2222zaxy与旋转抛物面22xyza围成的闭区域即222{(,,)02,0,2}zazaa则2222200(cos,sin,)aaaIddfzdz3、利用球面坐标计算三重积分2sincos,sinsin,cos,sinxryrzrdvrdrdd2(sincos,sinsin,cos)sinIfrrrrdrdd几种特殊情况(1)若是球域2222{(,,)}{(,,)02,0,0}xyzxyzRrrR22000sin(sincos,sinsin,cos)RIddfrrrrdr(2)若是球域22222{(,,)()}{(,,)02,0,02cos}xyzxyzRRrrR222cos2000sin(sincos,sinsin,cos)RIddfrrrrdr(3)若是由不等式2222()xyzRR与222xyz围成的闭区域4{(,,)02,0,02cos}}rrR422cos2000sin(sincos,sinsin,cos)RIddfrrrrdr