等比数列前n项和教案和学案

1第三届学生教学技能竞赛教学设计学院数学与计算机科学学院参赛组别高中理科组课程名称《等比数列前n项和》指导教师夏小刚、王宽明参赛队成员郭川瑜、辛美婷、于海伦李丹丹、周达2012年5月16日2目录1.教案....................................................1-112.学案...................................................11-163.选用教材封面复印件........................................17贵州师范大学第三届学生教学技能竞赛教学设计1【课题】等比数列的前n项和【教材】全日制普通高级中学教科书（必修）《数学》第一册（上）【授课对象】高二（上）的学生【课时安排】1个课时【授课教师】郭川瑜一、教材分析●教学内容《等比数列的前n项和》是高中数学人教版第一册（上）第三章《数列》第五节的内容，教学大纲安排本节内容授课时间为两课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导过程并充分揭示公式的结构特征、内在联系及公式的简单应用．●地位与作用《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容,就知识的应用价值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．就内容的人文价值来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、猜想、证明，这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体．二、学情分析●知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和，等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.2●认知水平与能力：高一学生初步具有自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，但从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于1q这一特殊情况，学生也往往容易忽略，尤其是在后面使用的过程中容易出错．三、目标分析依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：1.教学目标●知识与技能理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题．●过程与方法通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．●情感、态度与价值通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，并从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美.贵州师范大学第三届学生教学技能竞赛教学设计32.教学重点、难点●重点：等比数列前n项和公式的推导及公式的简单应用．突出重点的方法：“抓三线、突重点”，即(一)知识技能线：问题情境→公式推导→公式运用；（二）过程方法线:从特殊、归纳猜想到一般→错位相减法→数学思想；（三）能力线：观察能力→初步解决问题能力.●难点：错位相减法的生成和等比数列前n项和公式的运用．突破难点的手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，并及时给予肯定；二抓知识的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导.四、教学模式与教法、学法教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法引导．学生的学法：突出探究、发现与交流．教学手段：多媒体、PPT五、教学过程分析教学过程教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图一、复习回顾【问题】（1）等比数列定义及通项公式？教师提问学生思考强化学生对等比数列特征的认知：从4铺垫新知2’（2）等比数列的项之间有何特点？并回答第二项起每一项比前一项q倍，为学生掌握“错位相减法”求和埋下伏笔．二、创设情境提出问题8【多媒体动画演示】宰相西萨曾发明了象棋，国王十分高兴,决定重重的奖赏他。国王说；“无论你说出什么要求，我都想法满足你。”他回答说；“我想请您在有64个格子的棋盘的第1个给我1粒麦子，在第2个格子上赐给我2粒，第3个格子上赐给我4粒，第4个格子上赐给我8粒，第5格16粒....照这样,每一格是前面一格的2倍,赐给我满64格的麦子,臣就心满意足了。”那么西萨一共可以得多少麦子呢？探究：如何求和236263122222【问题】（1）能否逐一相加得结果？（2）这个数列有什么特点？（3）这是一个什么样的数学问题？引导学生回忆：等差数列求和的重要方法，剖析其本质特征.能否类比其特点，来解决问题？学生观看动画并思考问题学生小组合作探究问题情境动画的引入，激发学生的兴趣。培养学生用数学的眼光观察生活中的问题贵州师范大学第三届学生教学技能竞赛教学设计5三、合作探索形成公式5问题1：211111...nnSaaqaqaq，各项之间有何联系？启发学生：如果我们把每一项都乘以q，你有什么发现？一般等比数列前n项和：?1321nnnaaaaaS即?11212111nnnqaqaqaqaaS错位相减法nnnnnnqaqaqaqaqaqSqaqaqaqaaS1113121111212111qqaqaaSqnnn1)1()1(111这里的q能不能等于1？等比数列中的公比能不能为1？q=1时是什么数列？此时sn=？111)1(11qnaqqqaSnn在学生推导完成之后，老师再问：由nnqaaSq11)1(得qqaaSnn111探究等比数列前n项和公式，还有其它方法吗？我们知道,那么我们能否利用这个关系而求出Sn呢？方法2：提取公比q11212111nnnqaqaqaqaaS）（21111nqaqaaqa）（111nnqaSqannqaaSq11)1(根据等比数列的定义又有234n123n-1aaaa=====qaaaa，能否联想到等比定理引导学生观察数学表达式的特征，强调“错位相减法”适时启发、有效引导对于学生易错点强调“这里的q能不能等于1？”学生会发现，后一项都是前一项的2倍）学生推导公式学生小组合作讨论推导培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力以疑导思，营造一个学生主动思考、探究、讨论的氛围，通过另外两种方法的推导，促进学生的思维发2n-1n-2n11111111s=a+aq+aq++aq=a+q(a+aq++aq)6从而求出sn呢？方法3：利用等比定理12aa23aa34aaqaann1nnnnnaSaSqaaaaaa112132qaaSqnn1)1(……公式展六、巩固提高，深化认识8min（1）口答：在公比为q的等比数列}{na中若31,321qa，则nS________，若111qa，，则nS________若1a=—15，4a=96，求q及4S，若214,21133Sa，求1a及q.（2）判断是非：21)21(1)2(84211nn（）21)21(12222132nn（）若0c且1c，则2224622[1()]1nnccccccc（）例1．求和naaaa321例2．求等比数列,161,81,41,21的第5项到第10项的和．方法1：观察、发现：4101065SSaaa．方法2：此等比数列的连续项从第5项到第10项构成一个新的等比数列：首项为165a，公比为325,164,83,42,212q，项数为6n．变式1：求3215,1614,813,412211，的前n项和．变式2：求的前n项和．教师引导学生思考，巡视课堂，做个别指导，请个别学生上台讲解后点评总结学生做题练习采用变式教学设计题组，深化学生对公式的认识和理解，通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成．通过以上形式，让全体学生都参与教学，以此培养学生自主学习的意识．解题时，以学生分析为主，教师适时给予点拨。贵州师范大学第三届学生教学技能竞赛教学设计7六、故事结束，首尾呼应【问题】计算出西萨所需小麦粒数？解：11,2aq，1(1)1nnaqSq6464641(12)2112S6419211.8410我们可以计算出国王奖赏的小麦约为191.8410粒，大约7000亿吨，用这么多小麦能从地球到太阳铺设一条宽10米、厚8米的大道，大约是全世界一年粮食产量的459倍，显然国王兑现不了他的承诺【问题】请大家下去查阅有关资料计算这个过程教师向学生提出问题，并向学生指出西萨所需小麦数，并向学生布置思考题学生思考，解决问题，感受西萨所要小麦数量解疑情景问题，学生通过感受西萨所要小麦数量，感受数学国度的奇妙无穷七、总结归纳问题：你学到了什么？1、等比数列前n项和公式111)1(11qnaqqqaSnn教学提问学生，待学学生思考总结剖析公式中的基本量及结构特征，识记公式，同时也培养学生分类讨论的数学思想．8加深理解3min2、错位相减法生回答完毕，点评总结八、分层作业强化知识1min巩固作业（必做题）：1、课本P143习题3.5（1、3、5）创新作业（选择题）:2、“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首中国古诗的答案是多少？教师解释问题学生思考作业进一步巩固了本节课知识，拓展了学生数学视野，而巩固作业（必做题）和创新作业（选择题）两种设计体现了不同的人在数学上得到不同的发展的新课标教学理念.贵州师范大学第三届学生教学技能竞赛教学设计9七、板书设计六、教学反思根据教学经历和学生的反馈信息，我对本课有如下几点反思：（1）在教学过程中，我重点突出了学生活动，设计了四个活动环节：(1)公式的探究活动；(2)公式的应用；(3)方法的拓展；（4）学生课后的拓展学习．根据实际教学情况，学生掌握本课知识较好.（2）本节课处处站在学生的立场上去对待问题的发现和处理，在富有启发性的问题下，学生通过积极的思维，完成了对公式的自主探究，同时注意对重、难点知识采用“欲扬先抑”的方法，让学生在错误中感悟，在争论中抓住问题的本质；在公式的应用后，学生的思维又得到了进一步的发展和提高．（3）本节课特别强调对学生数学思想、方法的渗透贯彻了新课程的理念．（4）本节课充分利用了多媒体技术的强大功能，把现代信息技术作为学生学习、解决问题的强有力工具，使学生乐意投入其中.（5）在推导等比数列前n项公式过程中，大多数学生忽略了对q=1的讨论，这反映出学生的思维严谨性还有待在以后的教学中注意加强.等比数列的前n项和一、情景问题探究二、公式推导四、巩固练习三、公式10一、课前预习导学【学习目标】1.理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题。2、通过对公式的研究过程，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想。3、通过本节课的学习感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美。【学习重难点】1、学习重点：等比数列前n项和公式的推导及公式的简单应用。2、学习难点：错位相减法的生成和等比数列前n项和公式的运用。二、课堂自主导学【复习回顾】等差数列等比数列