线性代数完整版同济大学

线性代数（第五版）2013.12.14修改汇总修改人：xiaobei93521在以往的学习中，我们接触过二元、三元等简单的线性方程组.但是，从许多实践或理论问题里导出的线性方程组常常含有相当多的未知量，并且未知量的个数与方程的个数也不一定相等.3我们先讨论未知量的个数与方程的个数相等的特殊情形.在讨论这一类线性方程组时，我们引入行列式这个计算工具.4第一章行列式•内容提要§1二阶与三阶行列式§2全排列及其逆序数§3n阶行列式的定义§4对换§5行列式的性质§6行列式按行（列）展开§7克拉默法则行列式的概念.行列式的性质及计算.——线性方程组的求解.（选学内容）•行列式是线性代数的一种工具！•学习行列式主要就是要能计算行列式的值.§1二阶与三阶行列式我们从最简单的二元线性方程组出发，探求其求解公式，并设法化简此公式.一、二元线性方程组与二阶行列式二元线性方程组由消元法，得当时，该方程组有唯一解11112212112222axaxbaxaxb211211221122211)(abbaxaaaa212221121122211)(baabxaaaa021122211aaaa211222112122211aaaabaabx211222112112112aaaaabbax求解公式为二元线性方程组请观察，此公式有何特点？分母相同，由方程组的四个系数确定.分子、分母都是四个数分成两对相乘再相减而得.11112212112222axaxbaxaxb122122111221221112121211221221baabxaaaaabbaxaaaa其求解公式为二元线性方程组我们引进新的符号来表示“四个数分成两对相乘再相减”.记号数表表达式称为由该数表所确定的二阶行列式，即其中，称为元素.i为行标，表明元素位于第i行；j为列标，表明元素位于第j列.原则：横行竖列11112212112222axaxbaxaxb122122111221221112121211221221baabxaaaaabbaxaaaa1112112212212122aaDaaaaaa11122122aaaa11122122aaaa11221221aaaa(1,2;1,2)ijaij二阶行列式的计算主对角线副对角线即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积——对角线法则11122122aaaa11221221aaaa二元线性方程组若令(方程组的系数行列式)则上述二元线性方程组的解可表示为11112212112222axaxbaxaxb11122122aaDaa1211222bbaDa1221121baDab1122122111221221DDbaabxaaaa1121212211221221abbaDxaaaaD例1求解二元线性方程组解因为所以1212232121xxxx1223D07)4(314)2(12112121D21243121232D11142,7DxD222137DxD二、三阶行列式定义设有9个数排成3行3列的数表原则：横行竖列引进记号称为三阶行列式.主对角线副对角线二阶行列式的对角线法则并不适用！111213212223313233aaaaaaaaa112233122331132132132231122133112332aaaaaaaaaaaaaaaaaa111213212223313233aaaaaaaaa三阶行列式的计算——对角线法则注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.实线上的三个元素的乘积冠正号，虚线上的三个元素的乘积冠负号.111213212223313233aaaDaaaaaa132132aaa112233aaa122331aaa132231aaa122133aaa112332aaa例2计算行列式解按对角线法则，有12-4-221-34-2DD4)2()4()3(12)2(21)3(2)4()2()2(241124843264.14方程左端解由得例3求解方程2111230.49xx1229184322xxxxD,652xx2560xx3.2xx或§2全排列及其逆序数问题把n个不同的元素排成一列，共有多少种不同的排法？定义把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列.n个不同元素的所有排列的种数，通常用Pn表示.显然即n个不同的元素一共有n!种不同的排法.(1)(2)321!nPnnnn所有6种不同的排法中，只有一种排法（123）中的数字是按从小到大的自然顺序排列的，而其他排列中都有大的数排在小的数之前.因此大部分的排列都不是“顺序”，而是“逆序”.3个不同的元素一共有3!=6种不同的排法123，132，213，231，312，32120对于n个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序.n个不同的自然数，规定从小到大为标准次序.定义当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就称这两个元素组成一个逆序.例如在排列32514中，32514逆序逆序逆序思考题：还能找到其它逆序吗？答：2和1，3和1也构成逆序.定义排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.排列的逆序数通常记为.奇排列：逆序数为奇数的排列.偶排列：逆序数为偶数的排列.思考题：符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？答：符合标准次序的排列（例如：123）的逆序数等于零，因而是偶排列.12niii12()ntiii计算排列的逆序数的方法则此排列的逆序数为设是1,2,…,n这n个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序.先看有多少个比大的数排在前面，记为；再看有多少个比大的数排在前面，记为;……最后看有多少个比大的数排在前面，记为;12ntttt12nppp1p1p1t2p2p2tnpnpnt例1：求排列32514的逆序数.解：练习：求排列453162的逆序数.解：(32514)010315t9t§3n阶行列式的定义一、概念的引入规律：1.三阶行列式共有6项，即3!项．2.每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．3.每一项可以写成（正负号除外），其中是1、2、3的某个排列.1.当是偶排列时，对应的项取正号；2.当是奇排列时，对应的项取负号.111213212223313233aaaDaaaaaa112233122331132132132231122133112332aaaaaaaaaaaaaaaaaa123123pppaaa123ppp123ppp123ppp所以，三阶行列式可以写成其中表示对1、2、3的所有排列求和.二阶行列式有类似规律.下面将行列式推广到一般的情形.123123123()123(1)tpppppppppaaa123ppp111213212223313233aaaDaaaaaa112233122331132132132231122133112332aaaaaaaaaaaaaaaaaa二、n阶行列式的定义1.n阶行列式共有n!项．2.每一项都是位于不同行不同列的n个元素的乘积．3.每一项可以写成（正负号除外），其中4.是1,2,…,n的某个排列.5.当是偶排列时，对应的项取正号；6.当是奇排列时，对应的项取负号.简记作，其中为行列式D的(i,j)元1212nppnpaaa12nppp12nppp12nppp1212121112121222()1212(1)nnnnntpppppnppppnnnnaaaaaaDaaaaaadet()ijaija思考题：成立吗？答：符号可以有两种理解：若理解成绝对值，则；若理解成一阶行列式，则.注意：当n=1时，一阶行列式|a|=a，注意不要与绝对值的记号相混淆.例如：一阶行列式.111111111例：写出四阶行列式中含有因子的项.例：计算行列式解：和111213142223243333444000000aaaaaaaDaaa2311aa11233244aaaa11233442.aaaa142323241000000000000aaDaa112213344000000000000aaDaa112122432323341424344000000aaaDaaaaaaa解：其中112213344000000000000aaDaa142323241000000000000aaDaa11223344aaaa(4321)14233341(1)taaaa14233341aaaa(4321)0123t346.2111213142223243333444000000aaaaaaaDaaa112122432323341424344000000aaaDaaaaaaa11223344aaaa14233341aaaa四个结论：(1)对角行列式(2)12,11nnnaaDa1122nnaaDannaaa2211(1)212,11(1)nnnnnaaa(3)上三角形行列式（主对角线下侧元素都为0）(4)下三角形行列式（主对角线上侧元素都为0）nnnnaaaaaaD21222111000nnnnaaaaaaD00022211211nnaaa2211nnaaa221135思考题已知，求的系数.1211123111211xxxxxf3x故的系数为－1.解含的项有两项，即对应于3x1211123111211xxxxxf124311223443(1)taaaa(1234)11223344(1)taaaa(1234)311223344(1),taaaax1243311223443(1)2taaaax3x§4对换一、对换的定义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换．将相邻两个元素对换，叫做相邻对换．例如111lmnaabbcbca11lmabaabb11lmbaaabb111lmnaabbcacb备注1.相邻对换是对换的特殊情形.2.一般的对换可以通过一系列的相邻对换来实现.3.如果连续施行两次相同的对换，那么排列就还原了.m次相邻对换m+1次相邻对换m次相邻对换m+1次相邻对换111lmnaabbcbca111lmnaabbcbca111lmnaabbcacb111lmnaabbcacb111lmnaabbcbca二、对换与排列奇偶性的关系定理1对换改变排列的奇偶性.证明先考虑相邻对换的情形．11lmabaabb11lmbaaabb11lmabaabbttttttt11lmbaaabbrrtttrt注意到除外，其它元素的逆序数不改变.11lmabaabb11lmbaaabb11lmabaabbttttttt11lmbaaabbrrtttrt,ab当时，，，.当时，，，.因此相邻对换改变排列的奇偶性.11lmabaabb11lmbaaabb11lmabaabbttttttt11lmbaaabbrrtttrtabab1aartbbrtaart1bbrt1rt1rt既然相邻对换改变排列的奇偶性，那么2m+1次相邻对换因此，一个排列中的任意两个元素对换，排列的奇偶性改变.推论奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数.由定理1知，对换的次数就是排列奇偶性的变化次数，而标准排列是偶排列(逆序数为零)，因此可知推论成立.证明111lmnaabbcbca111lmnaabbcacb因为数的乘法是可