二维随机变量及其分布

第五章二维随机变量及其分布二维随机变量及分布函数二维离散型随机变量二维连续型随机变量边缘分布随机变量的独立性条件分布§1.1二维随机变量及分布函数一般地，如果两个变量所组成的有序数组即二维变量（X，Y），它的取值是随着实验结果而确定的，那么称这个二维变量（X，Y）为二维随机变量，相应地，称（X，Y）的取值规律为二维分布一、二维随机变量§1.1二维随机变量及分布函数设(X,Y)是二维随机变量，则称F(x,y)=P{Xx,Yy}为(X,Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数,其中x,y是任意实数.二、联合分布函数定义：注：联合分布函数是事件{X≤x}与{Y≤y}同时发生(交)的概率§1.1二维随机变量及分布函数二、联合分布函数几何意义如果将二维随机变量(X,Y)看成是平面随机点的坐标,那么联合分布函数F(X,Y)在(X,Y)的函数值就是随机点(X,Y)落在(,)(,)FxyPXxYy以为(x,y)右上角拐点的无穷矩形内的概率.§1.1二维随机变量及分布函数二、联合分布函数性质①对任意的x,y,有0≤F(x,y)≤1;②F(x,y)关于x、关于y单调不减；12xx当时，有1(,)Fxy2(,)Fxy2(,)PXxYy1(,)PXxYy12yy当时，有1(,)Fxy2(,)Fxy2(,)PXxYy1(,)PXxYy§1.1二维随机变量及分布函数二、联合分布函数性质③F(x,y)关于x、关于y右连续0(,)Fxy00lim(,)xxFxy0(0,)Fxy0(,)Fxy00lim(,)yyFxy0(,0)Fxy§1.1二维随机变量及分布函数二、联合分布函数性质0),(lim),(yxFFyx1),(lim),(yxFFyx0),(lim),(yxFyFx0),(lim),(yxFxFy④§1.1二维随机变量及分布函数二、联合分布函数性质⑤121222211211(,)(,)(,)(,)(,)PxXxyYyFxyFxyFxyFxy随机点(X,Y)落在矩形区域1212{(,)|,}xyxXxyYy的概率0x1x2xy1y2y§1.1二维随机变量及分布函数二、联合分布函数性质注：任何一个二维联合分布函数F(x,y)必具有以上五条基本性质，还可证明具有以上五条性质的二元函数F(x,y)一定是某个二维随机变量的分布函数.即这五条性质是判定一个二元函数是否为某个随机变量的分布函数的充要条件§1.2二维离散型随机变量一、二维离散型随机变量及联合分布律若二维离散型随机变量(X,Y)取(xi,yj)的概率为pij,则称P{X＝xi,Y＝yj}＝pij，(i,j＝1,2,…)，为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或随机变量X与Y的联合分布律.可记为(X,Y)～P{X＝xi,Y＝yj,}＝pij,(i,j＝1,2,…)，二维离散型随机变量定义若二维随机变量(X,Y)只取有限个或可列个数对(xi,yj),(i,j＝1,2,…)，则称(X,Y)为二维离散型随机变量。联合分布律§1.2二维离散型随机变量一、二维离散型随机变量及联合分布律联合分布律的性质(1)(2)111＝ijijp二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下:YXy1y2…yj…x1p11p12…p1j…x2p21p22…p2j…………………xipi1pi2…pij…………………0≤pij≤1,i,j＝1,2,…§1.2二维离散型随机变量一、二维离散型随机变量及联合分布律例2一口袋中有三个球，它们依次标有数字1,2,2.从这袋中任取一球后,不放回袋中,再从袋中任取一球.设每次取球时,袋中各个球被取到的可能性相同.以X,Y分别记第一次、第二次取得的球上标有的数字.求:(1)X,Y的分布率;(2)P(X≥Y).解:P(X=1,Y=2)=(1/3)×1=1/3P(X=2,Y=1)=(2/3)×(1/2)=1/3P(X=2,Y=2)=(2/3)×(1/2)=1/3YX12101/321/31/3§1.2二维离散型随机变量一、二维离散型随机变量及联合分布律(2)P(X≥Y)=P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=1)+P(X=2,Y=2)=0+(1/3)+(1/3)=2/3YX1211/92/922/94/9由于事件{X≥Y}={X=1,Y=1}∪{X=2,Y=1}∪{X=2,Y=2}且三个事件互不相容,因此有放回抽取方式P(X=1,Y=2)=2/9P(X=2,Y=1)=2/9P(X=2,Y=2)=4/9P(X=1,Y=1)=1/9§1.2二维离散型随机变量一、二维离散型随机变量及联合分布律若(X,Y)的分布律为P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,…则(X,Y)的分布函数为yx,yxijjipy)F(x,其中和式是对一切满足xi≤x,yj≤y求和。分布律与分布函数的关系§1.2二维离散型随机变量一、二维离散型随机变量及联合分布律例若(X,Y)的分布律如下表，YX0101/20101/2求(X,Y)的分布函数。解1,1110,1210,1021000),(yxyxyxyxyxF或yx11例：设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取值，另一个随机变量Y在变量1~X中等可能地取一整数，试求（X,Y）分布规律。解：的取值情况是：i=1,2,3,4j取个不大于i的正整数且由乘法公式得jYiX,）的分布规律为于是（YXijiiiXjYPjYiXP,4,3,2,1,411|,yx123411/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/16如求：Y=2概率4813483484486161121810例：从一个装有3支蓝色，2支红色，3支绿色圆珠笔的盒子里，随机抽取两支，若X,Y分别表示抽出的蓝笔数和红笔数，求（X,Y)的分布规律。解(X,Y)所取的可能值是（0,0）（0,1）（1，0）（1,1）（0,2）（2,0）2832/2000,08323YXP1432/1101,08323YXP1431,1YXP2812,0YXP2890,1YXP2830,2YXP§1.3二维连续型随机变量一、二维连续型随机变量及联合密度函数1.定义：设(X,Y)的分布函数为F(x,y),若存在一非负函数f(x,y),使得对于任意的实数x,y有dydxyxfyxFyx),(),(则称(X,Y)是连续型二维随机向量,函数f(x,y)称为二维向量(X,Y)的(联合)概率密度..1),(),(2.0),(1Fdxdyyxfyxf）规范性（）非负性（2．概率密度f(x,y)的性质§1.3二维连续型随机变量一、二维连续型随机变量及联合密度函数(3).若f(x,y)在点(x,y)连续，则有.),(),(),(),(yxdudvvufyxFyxyxFyxf因为(4).设G是xy平面上的一个区域,点(X,Y)落在G内的概率为:GdxdyyxfGYXP),(}),{(在几何上z=f(x,y)表示空间的一个曲面.由性质2,介于它和xoy平面的空间区域的体积为1，由性质4,P{(X,Y)∈G}的值等于以G为底,以曲面z=f(x,y)为顶面的柱体体积。§1.3二维连续型随机变量一、二维连续型随机变量及联合密度函数例3:设二维随机变量(X,Y)具有概率密度其他0,0,0,),()42(yxceyxfyx求：(1)常数c；(2)P(X≥Y).因此解得(1)由性质1),(dxdyyxf得到100)42(dxdyceyx4121004200)42(cdyedxecdxdyceyxyxc=8解:§1.3二维连续型随机变量一、二维连续型随机变量及联合密度函数(2)P(X≥Y)=yxdxdyyxf),(004200)42(|)(28dxeedyedxxyxxyx==006204222)1(2dxedxedxeexxyx=06|311xe=32311§1.3二维连续型随机变量二、两个常见二维连续型随机变量的联合密度函数(一)均匀分布定义:设G是平面上的有限区域,面积为A,若二维随机向量(X,Y)具有概率密度.其他0),(1),(GyxAyxf则称(X,Y)在G上服从均匀分布。§1.3二维连续型随机变量二、两个常见二维连续型随机变量的联合密度函数例：设二维随机变量(X,Y)服从区域G上的均匀分布,其中G={0x1,|y|x},求(X,Y)的联合密度函数.解：其他0;||,101),(xyxyxfyoy=x(1,1)xy=-x(1,-1)§1.3二维连续型随机变量二、两个常见二维连续型随机变量的联合密度函数例：若(X,Y)在D1上服从均匀分布，D1为x轴、y轴及直线y=2x+1所围。求:(X,Y)的概率密度。y-1/20xD1解：其他的面积0),(41),(111DyxDyxf)(§1.3二维连续型随机变量二、两个常见二维连续型随机变量的联合密度函数(二)二维正态分布定义:若(X,Y)具有概率密度yxeyxfyyxx,121),(])())((2)([)1(212212222212121212其中-∞μ1+∞,-∞μ2+∞,σ10,σ20,|ρ|1,则称(X,Y)服从参数为μ1,μ2,σ21,σ22,ρ的二维正态分布，记为:(X,Y)N(μ1,μ2,σ21,σ22,ρ).求：（1）P{X0},(2)P{X1},(3)P{Yy0}othersyxeyxfy00),(随机变量（X，Y）的概率密度为xyD答:P{X0}=01101}1{edyedxXPxy000}{000000yydyedxyYPyxyy§1.4边缘分布一、边缘分布函数1．边缘分布设F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数，称P(X≤x)=P(X≤x,Y+∞)(-∞x+∞)为X的边缘分布函数,并记为Fx(x).2.公式.由于Fx(x)=P({X≤x}∩{Y+∞})=P{X≤x,Y+∞}=F(x,+∞)同理有FY(y)=F(+∞,y).§1.4边缘分布一、边缘分布函数例:试从联合分布函数F(x,y)求关于X,关于Y的边缘分布函数FX(x),FY(y).]arctan2][arctan2[1),(2yxyxF解:由边缘分布函数的定义我们有)(]arctan2[1]arctan2][arctan2[1lim),(lim)(2xxyxyxFxFyyX)(]arctan2[1]arctan2][arctan2[1lim),(lim)(2yyyxyxFxFxxY§1.4边缘分布一、边缘分布函数例:已知(X,Y)的分布函数为其它00101),(xyyeeyxxeeyxFyyyx求FX(x)与FY(y).解：FX(x)=F(x,)=0001xxexFY(y)=F(,y)=0001yyyeeyy§1.4边缘分布二、离散型二维随机向量的边缘分布律1.边缘分布律设(X,Y)为离散型二维随机变量,其联合分