数学物理方程公式总结

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝无限长弦的一般强迫振动定解问题200(,)(,0)()()ttxxtttuaufxtxRtuxuxϕψ==⎧=+∈⎪=⎨⎪=⎩解()()().().0()111(,)(,)222xattxatxatxatuxtxatxatdfddaaττϕϕψξξα++−−−−τατ⎡⎤=++−++⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦∫∫∫三维空间的自由振动的波动方程定解问题()2222222220001,,,,(,,)(,,)ttuuuaxytxyzuxyzuxyztϕϕ==⎧⎛⎞∂∂∂∂=++−∞+∞⎪⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠⎪⎪=⎨⎪∂⎪=∂⎪⎩0zt在球坐标变换sincossinsin(0,02,0)cosxryrrzrθϕθϕϕπθ=⎧⎪=≤+∞≤≤≤⎨⎪=⎩θπ≤21()1((,)44MMatrSSMuMtdSdSatrarϕππ⎡⎤′′∂=+⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦∫∫∫∫)Mψ(r=at)221()1((,)44MMatatSSMMuMtdSdSattatϕψππ⎡⎤′′∂=+⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦∫∫∫∫)无界三维空间自由振动的泊松公式()sincos()sinsin(02,0)()cosxxatyyatzzatθϕθϕϕπθθ′=+⎧⎪′=+≤≤≤≤⎨⎪′=+⎩，π2()sindSatddθθϕ=二维空间的自由振动的波动方程定解问题()222222200,,,(,)(,)ttuuuaxytxyuuxyxytϕψ==⎧⎛⎞∂∂∂=+−∞+∞⎪⎜⎟⎪∂∂∂⎝⎠⎨∂⎪==⎪∂⎩0t2222222200001(cos,sin)1(cos,sin)(,,)22atatxryrxryruxytrdrdrdrdataatratrππϕθθψθθθθππ⎡⎤⎡∂++++=+⎢⎥⎢∂−−⎣⎦⎣∫∫∫∫⎤⎥⎦＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝傅立叶变换1()()2ixfxfeλdλλπ+∞−∞=∫()()ixffxedxλλ+∞−−∞=∫基本性质[]121[][]FffFfFfαβαβ+=+2]1212[][][FffFfFf∗=12121[][][2]FffFfFfπ=∗[][]FfiFfλ′=()[]()[kkFfiFfλ=][][]dFfFixfdλ=−1[(dixfFfd)]λλ−−=00[()][()]ixFfxxeFfxλ−−=00[()](ixFefxfλ)λλ=−..1[()][(x)]FfdFfxiξξλ−∞=∫.0.[)]ixixxFxxedxeλλδδ∞−−=−∞==1∫（（）=()()..[]ixiFxxedxeλλξδξδξ∞−−−∞−=−=∫1[()]()Ffaxfaaλ=若[()]()Ffxgλ=则[()]2()Fgxfπλ=−[]12(F)πδλ=22242axaFeeλπ−−⎛⎞⎡⎤=⎜⎟⎣⎦⎝⎠cos2sin2iaiaiaiaeeaeeai−−+=−=aacossincossiniaiaeaieai−=+=−2xedxπ+∞−−∞=∫＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝拉普拉斯变换0()()sxfsfxe+∞−=∫dx[]ReReaxcLcepapa=−21[]Lxs=21[]()xLexsββ−⋅=+[]22sinkLktsk=+[]22cossLktsk=+[]22[]2axaxeeaLshaxLsa−−==−ReResa[]22[]2axaxeesLchaxLsa−+==+ReResa基本性质[]121[][]LffLfLfαβαβ+=+212−11121[][]LffLfLfαβαβ−−⎡⎤+=+⎣⎦[()][()],0sLfxeLfxτττ−−=≥0[()](),Re()axLefxfsasaσ=−−1[()](),(0)sLfcxfccc=()12(1)[][](0)(0)(0)nnnnnLfsLfsfsff−−−′=−−−−..01[()][(x)]LfdLfxsττ=∫[][()]nnndLfLxfds=−..()[]pfxfsdsLx∞=∫（）1212[][][LffLfFf∗=]0[()]()1sxLxxedxδδ+∞−==∫＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝三个格林公式高斯公式：设空间区域V是由分片光滑的闭曲面S所围成，函数P,Q,R在V上具有一阶连续偏导数，则：VSPQRdVPdydzQdzdxRdxdyxyz⎛⎞∂∂∂++=++⎜⎟∂∂∂⎝⎠∫∫∫∫∫或()()()cos,cos,cos,VSPQRdVPnxQnyRnzdxyz⎛⎞∂∂∂++=++⎡⎤⎜⎟⎣⎦∂∂∂⎝⎠∫∫∫∫∫S第一格林公式设u(x,y,z),V(x,y,z)在SŲSV上有一阶连续偏导数，它们在V中有二阶偏导，则：SVVuvdSuvdVuvdV∇⋅=∇⋅∇+Δ∫∫∫∫∫∫∫∫第二格林公式设u(x,y,z),V(x,y,z)在SŲSV上有一阶连续偏导数，它们在V中有二阶偏导，则：()(SVuvvudSuvvudV∇−∇⋅=Δ−Δ∫∫∫∫∫)第三格林公式设M0，M是V中的点，v(M)=1/rMM0,u(x,y,z)满足第一格林公式条件，则有：000011111()44MMMMMMSVuuMudSudVrnnrrππ⎡⎤⎛⎞⎛⎞∂∂=−−⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂∂⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦∫∫∫∫∫Δ定理1：泊松方程洛平问题(,,),(,,)(,,),((,,),(xxyyzzSSSuuuufxyzxyzVuuxyzxyznϕψΔ=++=∈⎧⎪⎨∂==⎪∂⎩连续）连续）的解为：011111()()()()44SVuMMMdSfMdVrnrrψϕππ⎡∂⎤⎛⎞⎛⎞=−−⎜⎟⎜⎟⎢⎥∂⎝⎠⎝⎠⎣⎦∫∫∫∫∫推论1：拉氏方程洛平问题0,(,,)(,,),((,,),(xxyyzzSSSuuuuxyzVuuxyzxyznϕψΔ=++=∈⎧⎪⎨∂==⎪∂⎩连续）连续）的解为：0111()()()4SuMMMdSrnψϕπ⎡∂⎛⎞=−⎜⎟⎢⎥∂⎝⎠⎣⎦∫∫r⎤＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝调和函数1、定义：如果函数u(x,y,z)满足:(1)在V具有二阶连续偏导数；(2)S∪0uΔ=称u为V上的调和函数。2、调和函数的性质。性质1设u(x,y,z)是区域V上的调和函数，则有0SudSn∂=∂∫∫推论2：拉氏牛曼问题（牛曼问题解不稳定没有得到公式解）0xxyyzzSuuuuunϕΔ=++=⎧⎪⎨∂=⎪∂⎩有解的充分必要条件是：0SdSϕ=∫∫性质2设u(x,y,z)是区域V上的调和函数，则有:0111()4SuuMudSrnnrπ⎡∂∂⎤⎛⎞=−⎜⎟⎢⎥∂∂⎝⎠⎣⎦∫∫性质3:设u(x,y,z)是区域V上的调和函数，则在球心的值等于它在球面上的算术平均值，即:021()()4RSuMuMdSRπ=∫∫其中SR是以M0为球心,R为半径的球面＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝三维空间中狄氏问题格林函数泊松方程狄氏问题为：(,,),(,,)(,,),(xxyyzzSuuuufxyzxyzVuxyzϕΔ=++=∈⎧⎪⎨=⎪⎩连续）S000(,)()(,)(,)SVGMMuuMGMMudSGMMfdVnn∂∂⎡⎤=−−⎢⎥∂∂⎣⎦∫∫∫∫∫0其中：001(,)(,,)4MMGMMvxyzrπ=−如果G(M,M0)满足：0(,)0SGMM=则可得泊松方程狄氏解定理定理：泊松方程狄氏解为：000(,)()()(,)()SVGMMuMMdSGMMfMdVnϕ∂⎡⎤=−−⎢⎥∂⎣⎦∫∫∫∫∫其中G(M,M0)满足：0000(,)(),(,)0SSGMMMMMMVGMMδΔ=−−⎧⎪∈⎨=⎪⎩00MM1G(M,M)=4rπ推论：拉氏方程狄氏解为：00(,)()()SGMMuMMdSnϕ∂⎡⎤=−⎢⎥∂⎣⎦∫∫＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝平面中的三个格林公式首先证明一个定理：设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，且f(x,y)在D上有二阶连续偏导数，n为曲线的外法线方向，则：2222DLfffdxdydsxyn⎛⎞∂∂∂+=⎜⎟∂∂∂⎝⎠∫∫∫(1)第一格林公式设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，且u(x,y),v(x,y)在D上有二阶连续偏导数，n为曲线的外法线方向，则：()DLvuvuvdxdyudsn∂∇∇+Δ=∂∫∫∫i(2)第二格林公式()()lDuvvudSuvvudxdy∇−∇=Δ−Δ∫∫∫i(3)第三格林公式设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，且u(x,y)在D上有二阶连续偏导数，n为曲线的外法线方向，令：011(,)ln2MMvxyrπ=000111111()lnlnln222MMMMLDuuMudSudrnnrrσπππ⎡⎤⎛⎞∂∂=⋅−−⎢⎥⎜⎟⎜⎟∂∂⎢⎥⎝⎠⎣⎦∫∫Δ∫定理：平面泊松方程洛平问题(,),(,)(,),(,)LLufxyxyDuuxyxnϕψΔ=∈⎧⎪∂⎨==⎪∂⎩y的解为：000111111()lnlnln(,)222MMMMLDuMdSfxydrnrrψϕσπππ⎡⎤⎛⎞∂=−−⎢⎥⎜⎟⎜⎟∂⎢⎥⎝⎠⎣⎦∫∫∫推论：平面拉氏方程洛平问题0,(,)(,),(,)LLuxyDuuxyxnϕψΔ=∈⎧⎪∂⎨==⎪∂⎩y的解为：0001111()lnln22MMMMLuMdSrnrψϕππ⎡⎤⎛⎞∂=−⎢⎥⎜⎟⎜⎟∂⎢⎥⎝⎠⎣⎦∫定理：平面泊松方程狄氏问题的解为：0()(,)LDGuMdSGfxydnϕσ∂=−−∂∫∫∫推论：平面拉氏方程狄氏解为：0()LGuMdSnϕ∂=−∂∫平面狄氏格林函数0000(,)(),(,)0SLGMMMMMMDGMMδΔ=−−⎧⎪∈⎨=⎪⎩00M1G(M,M)=lnr2πM＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝特殊区域上狄氏问题格林函数1．球形域内狄氏问题格林函数00222200(,)()(,(,)0SGMMMM)xyzRMVGMMδΔ=−−⎧⎪++≤∈⎨=⎪⎩格林函数为：00011111(,)44RGMMrrrrrππ=−−−其中：20100rRrrr=i球域内狄式问题的解()0002200322200(,)()()(,)()1()(,)()42cosSVSVGMMuMMdSGMMfMdVnRrMdSGMMfMdVRRrRrϕϕπγ∂⎡⎤=−−⎢⎥∂⎣⎦⎡⎤−⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥+−⎣⎦∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫i其中：()220322200142cosSSRrGGnrRRrRrπγ−∂∂==−∂∂+−i球域上狄氏问题的解的球坐标表达式sincossinsin(0,02,0)cosxryrrzrθϕθϕϕπθ=⎧⎪=≤+∞≤≤≤⎨⎪=⎩θπ≤所以：()()()2222200330022222200001(),,sin442cos2cosSRrRrRMdSRddRRrRrRrRrππϕϕθϕθθππγγ⎡⎤−−⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+−+−⎣⎦∫∫∫∫iϕ2．上半空间狄氏问题的Green函数()0000,,,(0zGxxyyzzzGδ=Δ=−−−−⎧⎪⎨=⎪⎩0)()()()01012222200000(,)11111144()()()MMMMGMMuurrxxyyzzxxyyzzππ=+⎡⎤⎡⎤⎢⎥=−==−⎢⎥⎢⎥⎢⎥−+−+−−+−++⎣⎦⎣⎦220()01000333222001144()MMMMzzzzzGGnzrrxxyyzππ⎡⎤−+∂∂=−=−=−⎢⎥∂∂⎢⎥⎣⎦0⎡⎤−+−+⎣⎦所以上半空间泊松方程狄氏问题的解为：()()()000..003..2222000(,)()(,),1(,,)(,)2SVVGMMuMdSGMMfdVnxyzdxdyfxyzGMMdxdydzxxyyzϕϕπ+∞+∞−∞−∞∂⎡⎤=−−⎢⎥∂⎣⎦=−⎡⎤−+−+⎣⎦∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫上半空间拉氏方程狄氏问题的解为：()()()()..00003..2222000,1,,2xyzuxyzdxdyxxyyzϕπ+∞+∞−∞−∞=⎡⎤−+−+⎣⎦∫∫3．上半平面狄氏问题的Gre