现代控制理论习题解答(第四章)

第三部分现代控制理论习题详解第四章控制系统的稳定性70第四章控制系统的稳定性3-4-1试确定下列二次型是否正定。(1)3123212322212624)(xxxxxxxxxxv(2)232123222126410)(xxxxxxxxv(3)312321232221422410)(xxxxxxxxxxv【解】：（1）04131341111,034111,01,131341111P二次型函数不定。(2)034101103031,0110331,01,4101103031P二次型函数为负定。(3)017112141211003941110,010,1121412110P二次型函数正定。3-4-2试确定下列二次型为正定时，待定常数的取值范围。312321231221211242)(xxxxxxxcxbxaxv【解】：312321231221211242)(xxxxxxxcxbxaxvxcbaxT111212111第三部分现代控制理论习题详解第四章控制系统的稳定性710212111,011,0111111cbabaa满足正定的条件为：1111111114410cabcbabaa3-4-3试用李亚普诺夫第二法判断下列线性系统的稳定性。;1001)4(;1111)3(;3211)2(;1110)1(xxxxxxxx【解】：（1）设22215.05.0)(xxxv)0(0)0(0222221212211)(xxxxxxxxxxxxxv为半负定。又因为0)(xv时，有02x,则02x，代入状态方程得：01x.所以系统在0x时，)(xv不恒为零。则系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。（2）设22215.05.0)(xxxv212221212211221133)32()()(xxxxxxxxxxxxxxxv035.15.11,0135.15.11xxTPxxTP负定，系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。（3）第三部分现代控制理论习题详解第四章控制系统的稳定性72设22215.05.0)(xxxv22212122112211)()()(xxxxxxxxxxxxxvxxT1001PxxTP负定，系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。（4）两个状态变量相互独立，所以可以单独分析各变量的稳定性。0000)(5.0)(2111121111xxxxxxvxxvxx0000)(5.0)(2222222222xxxxxxvxxvxx所以系统不稳定。3-4-4试确定下列系统平衡状态的稳定性。)(001323031)1(kxkx【解】：方法一：采用第一方法，确定特征多项式对应的特征值是否在单位圆内。001323031)(zzzAzIzf1.23462.6974i-0.11732.6974i+0.1173321zzz特征多项式对应的特征值均在单位圆外，所以系统不稳定。方法二：采用第二方法，001323031G。第三部分现代控制理论习题详解第四章控制系统的稳定性73设105.0015.05.05.01P因为10，075.015.05.01，05.0105.0015.05.05.01，所以P正定。PxxxvT)(正定。)())(()(kxPPGGkxkvTT001323031001323031105.0015.05.05.01030023131PPGGT85.175.165.475.48因为80，075.2765.45.48，05.485.175.165.475.48，所以P正定。)(kv为正定，所以系统在原点不稳定。3-4-5设离散系统状态方程为0)(020100010)1(kkxkkx，求平衡点0ex渐近稳定时k值范围。【解】：方法一：采用第一方法，确定特征多项式对应的特征值是否在单位圆内。02/01001)(zkzzAzIzf第三部分现代控制理论习题详解第四章控制系统的稳定性7402k-0.52k0.5321zzz2012k0.5k时平衡点渐近稳定。方法二：PxxxvT)(正定。)())(()(kxPPGGkxkvTT)()()(kQxkxkvT令IQPPGGQT，设332313232212131211PPPPPPPPPP100010001020100010010201000332313232212131211332313232212131211PPPPPPPPPkPPPPPPPPPkPPGGT0,0,0,123131211PPPP233222412,1412kPkP所以2241200014120001kkPP为正定，则2004120141222kkk时系统渐近稳定。第三部分现代控制理论习题详解第四章控制系统的稳定性753-4-6设系统的状态方程为21215.1210xxxx，试求这个系统的李亚普诺夫函数，然后再求从封闭曲线100)(xv边界上的一点到封闭曲线05.0)(xv内一点的响应时间上限。【解】：令IQIPAPAT求矩阵P，即10015.12105.11202221121122211211PPPPPPPP21414145.5P所以李氏函数为：2221215.05.045.5)(xxxxxv)()(2221xxxv011IPIQP0PI则3062.21，6938.02955.1010005.0ln1),(),(ln1200min0txvtxvtt3-4-7试确定下列非线性系统在原点处的稳定性。)()()2()1(22212212222112113221231211xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx【解】：（1）采用非线性系统线性化的方法，在平衡点原点处线性化得：第三部分现代控制理论习题详解第四章控制系统的稳定性761111311131022210221221110xxxTxxxfxfxfxfxfA02211112ssssAsI系统的两个特征值均在右半平面，则系统在平衡点附近不稳定。（2）采用非线性系统线性化的方法，在平衡点原点处线性化得：11113121213102221212122210221221110xxxTxxxxxxxxxfxfxfxfxfA02211112ssssAsI系统的两个特征值都在左半平面，则系统在平衡点附近渐近稳定。3-4-8试确定下列非线性系统在原点处稳定时的参数a、b的取值范围（其中二者均大于或等于零，但二者不同时为零）。3221221bxaxxxxx【解】：abxaxfxfxfxfxfAxxxT110311002202212211101112assassAsI结论：系统在原点渐近稳定的充要条件是a大于0,b任意（同时还需满足题目要求）。3-4-9试证明系统221211221xxaxaxxx在0,021aa时是全局渐近稳定的。【解】：求平衡点:第三部分现代控制理论习题详解第四章控制系统的稳定性77000021221211221eexxxxaxaxxx设222115.05.0)(xxaxv)(221221221122111)(xxaxaxxxaxxxxaxv022212)(xxaxv结论01a，)(xv正定；02a，)(xv负定，系统渐近稳定。因为x时，222115.05.0)(xxaxv，所以系统又是大范围渐近稳定。3-4-10试用克拉索夫斯基法确定非线性系统在原点0ex处为大范围渐近稳定时，参数a和b的取值范围。32212211bxxxxxaxx【解】：22221221113111bxaxfxfxfxfxfJT令IP)()()(xfxfxvT)(3111)(2)(])[()(22xfbxaxfxfJJxfxvTTT系统在0ex处渐近稳定的条件是)(xv负定。而)(xv负定的条件为：0133111,02222abxabxaa大范围渐近稳定的条件是：x时)(xv第三部分现代控制理论习题详解第四章控制系统的稳定性78而x时，23221221)()()(bxxxxaxxv所以系统大范围渐近稳定的条件是：0133111,02222abxabxaa3-4-11试用变量-梯度法构成下述非线性系统的李氏函数。22221112xxxxxx【解】：求平衡点:00002212222111eexxxxxxxx设21222121212111VVxaxaxaxaV222222211223111212112211122)()()(xaxxaxxaxxaaxaxVxvT若选0,121122211aaaa021121221axVaxV满足旋度方程条件222121)21()(xxxxxv。当5.021xx时，)(xv负定而)(5.0)(22212)(021)0(0111221xxxdxxdxxvxxxxx为正定。当5.021xx时，系统在平衡点渐近稳定。3-4-12设非线性系统方程为)(),()(232212111xfxxxfxfx式中0),0(,0)0()0(2231xfff试求系统原点0ex稳定的充分条件。【解】：由第一法，第三部分现代控制理论习题详解第四章控制系统的稳定性7902322121100xxTxfxfxfxfxfA稳定条件为：01211xfxf，023xf由克拉索夫斯基法设xxxvT)(为