微分几何答案(第二章)

微分几何主要习题解答13第二章曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r={uvcos,uvsin,bv}的坐标曲线.解u-曲线为r={u0cosv,u0sinv,bv0}=｛0,0，bv0｝＋u{0cosv,0sinv,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r={0uvcos,0uvsin,bv}为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r＝｛a（u+v）,b（u-v）,2uv｝的坐标曲线就是它的直母线。证u-曲线为r={a（u+0v）,b（u-0v）,2u0v}={a0v,b0v,0}+u{a,b,20v}表示过点{a0v,b0v,0}以{a,b,20v}为方向向量的直线;v-曲线为r=｛a（0u+v）,b（0u-v）,20uv｝=｛a0u,b0u,0｝+v{a,-b,20u}表示过点(a0u,b0u,0)以{a,-b,20u}为方向向量的直线。3．求球面r=}sin,sincos,sincos{aaa上任意点的切平面和法线方程。解r=}cos,sinsin,cossin{aaa，r=}0,coscos,sincos{aa任意点的切平面方程为00coscossincoscossinsincossinsinsincoscoscosaaaaaazayax即xcoscos+ycossin+zsin-a=0；法线方程为sinsinsincossincoscoscoscoscosazayax。4．求椭圆柱面22221xyab在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。微分几何主要习题解答14解椭圆柱面22221xyab的参数方程为x=cos,y=asin,z=t,}0,cos,sin{bar,}1,0,0{tr。所以切平面方程为：01000cossinsincosbatzbyax，即xbcos+yasin－ab=0此方程与t无关，对于的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。5．证明曲面},,{3uvavur的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。证},0,1{23vuaru，},1,0{23uvarv。切平面方程为：33zauvvyux。与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,uva23)。于是，四面体的体积为：3329||3||3||361auvavuV是常数。§２曲面的第一基本形式1.求双曲抛物面r＝｛a（u+v）,b（u-v）,2uv｝的第一基本形式.解,4},2,,{},2,,{2222vbarEubarvbaruvu2222224,4ubarGuvbarrFvvu,∴I=2222)4(duvba2222222)4()4(dvubadudvuvba。２．求正螺面r={uvcos,uvsin,bv}的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直。解},cos,sin{},0,sin,{cosbvuvurvvrvu，12urE，0vurrF，222burGv，∴I=2222)(dvbudu，∵Ｆ＝０，∴坐标曲线互相垂直。微分几何主要习题解答15３．在第一基本形式为I=222sinhudvdu的曲面上，求方程为u=v的曲线的弧长。解由条件2ds222sinhudvdu,沿曲线u=v有du=dv，将其代入2ds得2ds222sinhudvdu=22coshvdv，ds=coshvdv,在曲线u=v上，从1v到2v的弧长为|sinhsinh||cosh|1221vvvdvvv。4．设曲面的第一基本形式为I=2222)(dvaudu，求它上面两条曲线u+v=0,u–v=0的交角。分析由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。解由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量1E，0vF，22auG，曲线u+v=0与u–v=0的交点为u=0,v=0,交点处的第一类基本量为1E，0vF，2aG。曲线u+v=0的方向为du=-dv,u–v=0的方向为δu=δv,设两曲线的夹角为，则有cos=22222211aavGuEGdvEduuGdvuEdu。5．求曲面z=axy上坐标曲线x=x0,y=0y的交角.解曲面的向量表示为r={x,y,axy},坐标曲线x=x0的向量表示为r={x0,y,ax0y}，其切向量yr={0，1，ax0}；坐标曲线y=0y的向量表示为r={x,0y,ax0y}，其切向量xr={1，0，a0y}，设两曲线x=x0与y=0y的夹角为，则有cos=20220200211||||yaxayxarrrryxyx6.求u-曲线和v-曲线的正交轨线的方程.解对于u-曲线dv=0,设其正交轨线的方向为δu:δv,则有Eduδu+F(duδv+dvδu)+Gdvδv=0,将dv=0代入并消去du得u-曲线的正交轨线的微分方程为Eδu+Fδv=0.同理可得v-曲线的正交轨线的微分方程为Fδu+Gδv=0.7.在曲面上一点,含du,dv的二次方程P2du+2Qdudv+R2dv＝０，确定两个切方向微分几何主要习题解答16（du：dv）和（δu：δv），证明这两个方向垂直的充要条件是ER-2FQ+GP=0.证明因为du,dv不同时为零，假定dv0，则所给二次方程可写成为P2)(dvdu+2Qdvdu+R=0,设其二根dvdu,vu,则dvduvu=PR，dvdu+vu=PQ2……①又根据二方向垂直的条件知Edvduvu+F(dvdu+vu)+G=0……②将①代入②则得ER-2FQ+GP=0.8.证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为E2du=G2dv.证用分别用δ、、d表示沿u－曲线，v－曲线及其二等分角线的微分符号，即沿u－曲线δu０，δv＝０，沿v－曲线u＝０，v０．沿二等分角轨线方向为du:dv,根据题设条件,又交角公式得222222)()(dsvGvGdvvFdudsuEuFdvvEdu，即GGdvFduEFdvEdu22)()(。展开并化简得E(EG-2F)2du=G(EG-2F)2dv,而EG-2F0，消去EG-2F得坐标曲线的二等分角线的微分方程为E2du=G2dv.9．设曲面的第一基本形式为I=2222)(dvaudu，求曲面上三条曲线u=av,v=1相交所成的三角形的面积。解三曲线在平面上的图形（如图）所示。曲线围城的三角形的面积是S=10220122auaaaudvduaudvduau=21022auadvduau=2duauaua022)1(uvV=1u=-avu=avo微分几何主要习题解答17=aauuaauuaua0222222322|)]ln()(32[=)]21ln(322[2a。10．求球面r=}sin,sincos,sincos{aaa的面积。解r=}cos,sinsin,cossin{aaa，r=}0,coscos,sincos{aaE=2r=2a,F=rr=0,G=2r=22cosa.球面的面积为：S=22222222024224|sin2cos2cosaadadad.11.证明螺面r={ucosv,usinv,u+v}和旋转曲面r={tcos,tsin,12t}(t1,02)之间可建立等距映射=arctgu+v,t=12u.分析根据等距对应的充分条件,要证以上两曲面可建立等距映射=arctgu+v,t=12u,可在一个曲面譬如在旋转曲面上作一参数变换使两曲面在对应点有相同的参数,然后证明在新的参数下,两曲面具有相同的第一基本形式.证明螺面的第一基本形式为I=22du+2dudv+(2u+1)2dv,旋转曲面的第一基本形式为I=dtdttt2222)11(,在旋转曲面上作一参数变换=arctgu+v,t=12u,则其第一基本形式为:2222222)11)(1(1)11(2dvduuuduuuuu=2222222)1(211)11(dvududvduuduuu=22du+2dudv+(2u+1)2dv=I.微分几何主要习题解答18所以螺面和旋转曲面之间可建立等距映射=arctgu+v,t=12u.§3曲面的第二基本形式1.计算悬链面r={coshucosv,coshusinv,u}的第一基本形式,第二基本形式.解ur={sinhucosv,sinhusinv,1},vr={-coshusinv,coshucosv,0}uur={coshucosv,coshusinv,0},uvr={-sinhusinv,sinhucosv,0},vvr={-coshucosv,-coshusinv,0},2urE=cosh2u,vurrF=0,2vrG=cosh2u.所以I=cosh2u2du+cosh2u2dv.n=2FEGrrvu=}sinsinh,sincosh,coscosh{cosh12vuvuvuu,L=11sinhcosh2u,M=0,N=1sinhcosh2u=1.所以II=-2du+2dv。2.计算抛物面在原点的22212132452xxxxx第一基本形式,第二基本形式.解曲面的向量表示为}225,,{22212121xxxxxxr,}0,0,1{}25,0,1{)0,0(211xxrx,}0,1,0{}22,1,0{)0,0(212xxrx,}5,0,0{11xxr,}2,0,0{21xxr,}2,0,0{22xxr,E=1,F=0,G=1,L=5,M=2,N=2,I=2221dxdx,II=222121245dxdxdxdx.3.证明对于正螺面r={uvcos,uvsin,bv},-∞u,v∞处处有EN-2FM+GL=0。解},cos,sin{},0,sin,{cosbvuvurvvrvu，uur={0,0,0},uvr={-uucosv,cosv,0},vvr={-ucosv,-usinv,0},12urE，0vurrF，微分几何主要习题解答19222burGv，L=0,M=22bub,N=0.所以有EN-2FM+GL=0.4.求出抛物面)(2122byaxz在(0,0)点沿方向(dx:dy)的法曲率.解}0,0,1{},0,1{)0,0(axrx,}0,1,0{},1,0{)0,0(byry,},0,0{arxx,}0,0,0{xyr},0,0{bryy,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向dx:dy的法曲率2222dydxbdyadxkn.5.已知平面到单位球面(S)的中心距离为d(0d1),求与(S)交线的曲率与法曲率.解设平面与(S)的交线为(C),则(C)的半径为21d,即(C)的曲率为211dk,又(C)的主法向量与球面的法向量的夹角的余弦等于21d,所以(C)的法曲率为nkk21d=1.6.利用法曲率公式IIIkn,证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、第二类基本量成比例。证明因为在球面上任一点处，沿任意方向的法截线为球面的大圆，其曲率为球面半径R的倒数1/R。即在球面上，对于任何曲纹坐标(u,v)，沿任意方向du: