数学分析第二学期期末考试题及答案

数学分析第二学期考试题一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题4分，共32分）1、函数)(xf在[a,b]上可积的必要条件是（b）A、连续B、有界C、无间断点D、有原函数2、函数)(xf是奇函数，且在[-a,a]上可积，则（b）A、aaadxxfdxxf0)(2)(B、0)(aadxxfC、aaadxxfdxxf0)(2)(D、)(2)(afdxxfaa3、下列广义积分中，收敛的积分是（a）A、101dxxB、11dxxC、0sinxdxD、1131dxx4、级数1nna收敛是1nna部分和有界且0limnna的（c）A、充分条件B、必要条件C、充分必要条件D、无关条件5、下列各积分中可以直接运用牛顿-莱布尼兹公式求值的是（a）A、10arcsinxdxB、11lneedxxxC、12111dxxD、10sinxdxx6、下面结论错误的是（b）A、若)(xf在],[ba上可积，则)(xf在],[ba上必有界；B、若)(xf在),(ba内连续，则)(dxxfba存在；C、若)(xf在],[ba上可积，则)(xf在],[ba上必可积；D、若)(xf在],[ba上单调有界，则)(xf在],[ba上必可积。7、下列命题正确的是（d）A、)(1xann在[a，b]绝对收敛必一致收敛B、)(1xann在[a，b]一致收敛必绝对收敛C、若0|)(|limxann，则)(1xann在[a，b]必绝对收敛D、)(1xann在[a，b]条件收敛必收敛8、012121)1(nnnxn的和函数为（c）A、xeB、xsinC、)1ln(xD、xcos二、计算题：（每小题7分，共28分）9、914)(dxxf，求202)12(dxxxf。10、计算02221dxxx。11、计算11nnxn的和函数，并求1)1(nnn。12、计算xxdx22cossin三、讨论题与应用：（每小题10分，共20分）13、讨论221sin2)1(nnnnnx的敛散性14、抛物线xy22把圆822yx分成两部分，求这两部分面积之比。四、证明题：（每小题10分，共20分）15、设f(x)是以T为周期的函数，且在[0，T]上可积，证明TTaadxxfdxxf0)()(16、设)(xf在[a，b]连续，证明00)(sin2)(sindxxfdxxxf，并求02cos1sindxxxx参考答案一、1、B2、B3、A4、C5、C6、D7、D8、C9、C10、C二、1、2022202)12()12(21)12(xdxfdxxxf（3分）令122xu，912022)(21)12(duufdxxxf（3分）2、02221dxxx=4)1arctan(lim)1()1(11lim002AAAAxxdx（6分）3、解：令)(xf=11nnxn，由于级数的收敛域)1,1[（2分），)('xf=xxnn1111，)(xf=)1ln(110xdttx（2分），令1x，得2ln)1(1nnn4、解：两边对x求导02232xxxzzzz（3分）xzzzx2322（2分）2)1,1,1(xz（1分）5、解：xyxyx||0222（5分）0lim22200yxyxyx（1分）由于x=-2，x=2时，级数均不收敛，所以收敛域为（-2，2）（3分）三、1、解、000)(4),(22222222224yxyxyxyyxxyyxfx（2分）000)(4),(22222222224yxyxyxyyxxxyxfy(4分）1)0,0(),0(lim)0,0(02yfyfxyzxxy1)0,0()0,(lim)0,0(02xfxfyxzyyx（6分）2、解：由于xnxnnnnn221sin2|sin2)1(|lim（3分），即1sin22x级数绝对收敛1sin22x条件收敛，1sin22x级数发散（7分）所以原级数发散（2分）四、证明题（每小题10分，共20分）1、证明：因为)(1xf在[a，b]上可积，故在[a，b]上有界，即0M，使得]),[()(1baxMxf，（3分）从而)(|)(|)(12axMdttfxfxa一般来说，若对n有)!1()()(1naxMxfnn（5分）则)()!1()()(1nnabMxfnn，所以)}({xfn在[a，b]上一致收敛于0（2分）aaTaTdttfTtdTtftTxdxxf00)()()()(（2）（4分）将式（2）代入（1）得证（2分）2、yexzyx1，2yxeyzyx，（7分）则012yxyeyxeyzyxzxyxyx（3分）3、证明：令tx0000)(sin)(sin))(sin()()(sindtttfdttfdttftdxxxf得证（7分）8cos1sin2cos1sin20202dxxxdxxxx（3分）