第五章-控制系统的稳定性分析

1第五章控制系统的稳定性分析25.1稳定的基本概念和线性系统稳定的充要条件控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载和能源的波动、系统参数的变化、环境条件的改变等。这些因素总是存在的，如果系统设计时不考虑这些因素，设计出来的系统不稳定，那这样的系统是不成功的，需要重新设计，或调整某些参数或结构。稳定是控制系统的重要性能，也是系统能够正常运行的首要条件，控制系统在实际应用中应用的首要前提就是系统必须稳定，对系统进行各类品质指标的分析也必须在系统稳定的前提下进行。3如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动作用下偏离原来的平衡状态，并随时间的推移而发散。因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论的基本任务之一。稳定的基本概念：系统处于某一起始的平衡状态。在外作用的影响下，离开了该平衡状态。当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能回复到原来的起始平衡状态，则称这样的系统为稳定的系统。否则为不稳定的系统。4图5－1单摆的平衡bMcdFo在外界干扰的作用下，摆由原来的平衡点M偏到新的位置b。当外力去掉后，显然摆在重力的作用下，将围绕点M反复震荡，经过一定时间，当摆因受空气阻尼使其能量耗尽后，摆又停留在平衡点M。象这样的平衡点M就成为稳定的平衡点。对于一个倒摆，一旦离开了平衡点d，即使外力消失，无论经过多少时间，摆也不会回到平衡点d上来，对于这样的平衡点d，成为不稳定平衡点。5线性系统的稳定性取决于系统的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关。有关稳定性的定义和理论较多。设系统或元件的微分方程为：,(0~1);,0~)ijainbjm式中：x(t)—输入，y(t)—输出为常系数。将上式求拉氏变换，得(初始值不全为零）)()()()(01)1(1)(tyatyatyatynnn)()()()(01)1(1)(txbtxbtxbtxbmmmm),,0(,);1,,0(,mjbniaji5.2系统稳定的充要条件6+系数取决于初始条件的多项式)()()()(01110111sXbsbsbsbsYasasasmmmmnnn第二项为零输入解，对应于由初始状态引起的响应过程。这项相当于系统齐次微分方程的解。011101110111)()()(asasasasasassXbsbsbsbsYnnnnnnmmmm多项式系数取决于初始条件的)()()(21tytyty上式右边第一项为零状态解，对应与由输入引起的响应过程。7前面讨论的当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能回复到原来的起始平衡状态可看作第二项经过足够长的时间变为零。01112)(asasassYnnn多项式系数取决于初始条件的)2()()(2211212iiinjnijsspssY多项式系数取决于初始条件的211222121)(niiiiiiiiiinjjjssspsa令系统的闭环传递函数含有个实数极点和对复数极点，则上式可改写为:1n2nnnn2128teteetyniitiniitinjtpiiiij2211212121sin1cos)(系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具有负实部的共轭复根。或者说，特征方程的根应全部位于s平面的左半部。如果特征方程中有一对实部为正的共轭复根，它的对应项是发散的周期振荡；如果特征方程中有一个正实根，它所对应的指数项将随时间单调增长；上述两种情况下系统是不稳定的。线性系统稳定的充要条件：9如果特征方程中有一个零根，它所对应于一个常数项，系统可在任何状态下平衡，称为随遇平衡状态；如果特征方程中有一对共轭虚根，对应于等幅的周期振荡，称为临界平衡状态（或临界稳定状态）。从控制工程的角度认为随遇平衡状态和临界稳定状态属于不稳定。稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统本身的结构参数有关，与输入输出信号无关，与初始条件无关；只与极点有关，与零点无关。注意：稳定系统的极点分布图：10稳定区不稳定区临界稳定S平面S平面的左半部是稳定区mIeR11对于一阶系统，只要都大于零，系统是稳定的。对于二阶系统，只有都大于零，系统才稳定（负实根或实部为负）。对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。于是就有了以下描述的代数稳定性判据。001asa,101aas01,aa00122asasa2022112,124aaaaas012,,aaa各阶系统的稳定性分析：125.3代数稳定性判据5.3.1劳斯稳定性判据设线性系统的闭环特征方程为：则该系统稳定的充要条件为：特征方程的各项系数都不等于零；特征方程的各项系数的符号都相同；此两项为必要条件。由特征方程系数组成的劳斯阵的第一列的所有项均为正。01110nnnnasasasa)1,,0(niaiia13劳斯阵的前两行由特征方程的系数组成。第一行为1，3，5，…项系数组成，第二行为2，4，6，…项系数组成。劳斯阵的组成01110nnnnasasasa102113212321343212753116420fSeeSdddScccSabbbSaaaaSaaaaSnnnn14121211141713131512121311170613150412130211,,,,eeddefbbaabcbbaabcbbaabcaaaaabaaaaabaaaaab表中这样可求得n+1行系数15这种过程需一直进行到第n行被算完为止，系数的完整阵列呈现一个倒三角形。为简化计算，可用一个正整数去除或乘某一整个行，并不改变稳定性结论。注意：16劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符号的变化，去判别特征方程式根在S平面上的具体分布，过程如下：如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在S的左半平面，相应的系统是稳定的。如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。劳斯稳定判据17【例5-1】：特征方程为：，试判断稳定性。[解]：劳斯阵为：稳定的充要条件为：均大于零3210,,,aaaa且0322130asasasa3130213120aaaaaaaaaa0123ssss03021aaaa18已知一调速系统的特征方程式为0103.25175.41423SSS【例5-2】试用劳斯判据判别系统的稳定性。解：列劳斯表401423103.25.380103.25.4105171SSSS由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有二个根在S的右半平面，因而系统是不稳定的。19劳斯判据特殊情况之一劳斯阵某一行第一项系数为零，而其余系数不全为零[处理办法]：用很小的正数代替零的那一项，然后据此计算出劳斯阵列中的其他项。若第一次零（即）与其上项或下项的符号相反，计作一次符号变化。20【例5-3】：4322210ssss1112200()10220010043210sssss22令则故第一列不全为正，系统不稳定，s右半平面有两个极点。022222,21试用劳斯判据判别系统的稳定性。列劳斯表已知一系统的闭环特征方程式为21劳斯判据特殊情况之二劳斯表中出现全零行则表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。这种情况，可利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行。完成劳斯表的排列。这些大小相等、径向位置相反的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是偶数的。例如，一个控制系统的特征方程为：220161620128223456SSSSSS列劳斯表由上表可知，第一列的系数均为正值，表明该方程在S右半平面上没有特征根。令F(s)=0，求得两对大小相等、符号相反的根2,2jj显然这个系统处于临界稳定状态。【例5-4】：16038166248000161220161221620810123456SSSSSSS235.3.2劳斯判据的应用稳定判据只回答特征方程式的根在S平面上的分布情况，而不能确定根的具体数据。也即也不能保证系统具备满意的动态性能。换句话说，劳斯判据不能表明系统特征根在S平面上相对于虚轴的距离。但能判断是否所有特征根都落在虚轴的左半平面.若用S=Z-1带入特征方程中,求出的根的实部即为特征根距S=-1垂线的距离.可判断稳定程度.用劳斯判据检验下列特征方程041310223SSS是否有根在S的右半平面上，并检验有几个根在垂线的右方。1S例5-524解：列劳斯表42.121081304101320123SSSS第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。令1ZS代入特征方程：04)1(3)1(10)1(223ZZZ014223ZZZ式中有负号，显然有根在1S的右方。列劳斯表：12114120123SSSS第一列的系数符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直直线1S的右方。255.3.3赫尔维茨（Hurwitz)稳定性判据以4阶系统为例使用赫尔维茨判据赫尔维茨行列式为：系统稳定的充要必要条件是：主行列式及其对角线上的各子行列式均有正值。即：043223140asasasasa4203142031000000aaaaaaaaaa011a020312aaaan121,,,n00031420313aaaaaaa0426有时称为赫尔维茨行列式。由于这个行列式直接由系数排列而成，规律简单而明确，使用也比较方便。但对六阶以上的系统，由于行列式计算麻烦，较少应用。n【例5-6】：设控制系统的特征方程为：，试用赫尔维茨稳定判据判断系统的稳定性。0516178234ssss[解]：首先，由方程系数均为正可知已满足稳定的必要条件。各系数排列成如下的行列式：4203142031000000aaaaaaaaaa27由于：08101711682016805171016830151710016800517100168故系统稳定。劳斯判据和赫尔维茨判据都是利用特征根与系数的关系来判别稳定性的，它们之间有一致性，所以有时侯，称为劳斯-赫尔维茨判据。又由于它们的判别式均为代数式，故又称这些判据为代数判据。劳斯判据和赫尔维茨判据对于带延迟环节等系统形成的超越方程式无能为力，这是代数判据的局限性，而下面介绍的乃魁斯特稳定性判据能够判别带延迟环节系统的稳定性，应用更为广泛。285.3.4劳斯-赫尔维茨稳定性判据的应用判定控制系统的稳定性[例5-7]系统的特征方程为：，判断系统的稳定性。43223450ssss[解]：排列劳斯阵如下：43210135240150600500sssss因为，，且劳斯阵第一列不全为正，所以，系统不稳定。由于劳斯阵第一列有两次符号变化，所以系统在s右半平面有两个极点。0,(0~4)iai29[例5-8]系统的特征方程为：该系统稳定吗？求出每一个极点并画出极点分布图。54322244823460sssss[解]：劳斯阵如下5431242324846000sss543210124232242311201223010002300ssssss行全为零。由前一行系数构成辅助方程得3s4242()24846()2423QsssQsss其导数为：将4,48或1,12代替行，可继续排列劳斯阵如下：3()448Qsss••因为行全为零，所以特征方程必有特