全国数学竞赛二次函数试题精选

10四三二一y=x+1y=-x-12yx全国数学竞赛二次函数试题精选函数部分1、如图,点A，C都在函数33(0)yxx的图象上，点B，D都在x轴上，且使得△OAB，△BCD都是等边三角形，则点D的坐标为．2、如图，点A，B为直线y=x上的两点，过A，B两点分别作y轴的平行线交双曲线xy1（x0）于C，D两点。若BD=2AC，则224ODOC的值为________。3、如图，双曲线xy2（x＞0）与矩形OABC的边CB，BA分别交于点E，F，且AF=BF，连接EF，则△OEF的面积为.4、如图，直线l1l：y=x+1与直线2l：12yx把平面直角坐标系分成四个部分，点31(,)42在（）（A）第一部分（B）第二部分（C）第三部分（D）第四部分第（9）题25、如果正比例函数y=ax（a≠0）与反比例函数y=bx（b≠0）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（）．（A）（2，3）（B）（3，－2）（C）（－2，3）（D）（3，2）6、在平面直角坐标系中，满足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整数点坐标（x，y）的个数为（）．（A）10（B）9（C）7（D）57、已知点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数233yxax的图象与线段AB恰有一个交点，则a的取值范围是8、如果关于x的方程x2+kx+34k2－3k+92=0的两个实数根分别为，，那么2011120122xx的值为9、二次函数cbxxy2的图象与x轴正方向交于A，B两点，与y轴正方向交于点C．已知ACAB3，30CAO，则c．10、二次函数cbxxy2的图象的顶点为D，与x轴正方向从左至右依次交于A，B两点，与y轴正方向交于C点，若△ABD和△OBC均为等腰直角三角形（O为坐标原点），则cb2．3Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线2yx上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（）（A）1h（B）1h（C）21h（D）2h11、设cba、、是ABC的三边长，二次函数2)2(2bacxxbay在1x时取最小值b58．则△ABC是()．(A)等腰三角形(B)锐角三角形(C)钝角三角形(D)直角三角形12、已知二次函数2yxaxb的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为m，n，且1mn.设满足上述要求的b的最大值和最小值分别为p，q，则pq________13、已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P是抛物线214yx上的一个动点．（1）判断以点P为圆心，PM为半径的圆与直线1y的位置关系；（2）设直线PM与抛物线214yx的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：PNMQNM．414、已知抛物线1C：234yxx和抛物线2C：234yxx相交于A，B两点.点P在抛物线1C上，且位于点A和点B之间；点Q在抛物线2C上，也位于点A和点B之间.（1）求线段AB的长；（2）当PQ∥y轴时，求PQ长度的最大值．15、在直角坐标系xOy中，一次函数bkxy0k（）的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，且使得△OAB的面积值等于3OAOB．（1）用b表示k；（2）求△OAB面积的最小值．516、已知221ab，对于满足条件01x的一切实数x，不等式(1)(1)()0axxaxbxbxbx（1）恒成立.当乘积ab取最小值时，求,ab的值.17、设nm、为正整数，且,2m二次函数mtxmtxy3)3(2的图像与x轴的两个交点间的距离为1d，二次函数ntxntxy2)2(2的图像与x轴的两个交点间的距离为2d．如果21dd对一切实数t恒成立，求nm、的值。618、设a是正整数，二次函数axaxy38)17(2反比例函数xy56．如果两个函数的图像的交点都是整点(横、纵坐标都是整数的点)，求a的值19、已知二次函数，当时，恒有；关于x的方程的两个实数根的倒数和小于．求的取值范围．720、如图，在平面直角坐标系xOy中，AO=8，AB=AC，sin∠ABC=．CD与y轴交于点E，且S△COE=S△ADE.已知经过B，C，E三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式.21、已知pnm,,为正整数，nm．设(,0)Am，(,0)Bn，(0,)Cp，O为坐标原点．若90ACB，且)(3222OCOBOAOCOBOA．（1）证明：3pnm；（2）求图象经过CBA,,三点的二次函数的解析式．822、已知二次函数2(0)yxbxcc的图象与x轴的交点分别为A、B，与y轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.（1）证明：⊙P与y轴的另一个交点为定点.（2）如果AB恰好为⊙P的直径且2ABCS△＝，求b和c的值.23、已知关于x的一元二次方程20xcxa的两个整数根恰好比方程20xaxb的两个根都大1，求abc的值.已知二次函数2yxbxc的图象经过两点P(1,)a，Q(2,10)a.（1）如果,,abc都是整数，且8cba，求,,abc的值.（2）设二次函数2yxbxc的图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C.如果关于x的方程20xbxc的两个根都是整数，求△ABC的面积.924、如图，点A为y轴正半轴上一点，AB，两点关于x轴对称，过点A任作直线交抛物线223yx于P，Q两点.（Ⅰ）求证：∠ABP=∠ABQ；（Ⅱ）若点A的坐标为（0，1），且∠PBQ=60º，试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式.25、已知抛物线2yx与动直线cxty)12(有公共点),(11yx，),(22yx，且3222221ttxx.（1）求实数t的取值范围；（2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值.1026、如图，抛物线2yaxbx（a0）与双曲线kyx相交于点A，B.已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.（1）求实数a，b，k的值；（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.