双曲型方程的差分方法

第五章双曲型方程的差分方程第一节一阶线性常系数双曲型方程xfxuxxuatu0,0设一阶线性方程为为了讨论方便，设常数0a。对流方程的特征方程是常微分方程0dxadt，求解出此微分方程，得到一组解，xat。很显然，它们是一组相互平行的直线（如下图所示），称这组直线为对流方程的特征线。P10xt(x0,t0)x–at=(x0-at0,0)0采用对流方程开始研究双曲型方程的数值解法的原因：第一、对流方程非常简单，对它的研究是探讨更复杂的双曲型方程（组）的基础。第二、尽管对流方程简单，但是通过它可以看到双曲方程在数值计算中特有的性质和现象。第三，利用它的特殊的、复杂的初值给定，完全可以用来检验数值方法的效果和功能。第四、它的差分格式可以推广到变系数双曲方程（组）以及非线性双曲方程领域。几种典型的差分格式•迎风格式•Lax-Friedrichs格式•Lax-Wendroff格式•Courant-Friedrichs-Lewy条件•利用特征线构造差分格式•隐式格式•蛙跳格式迎风格式的思想:在对微商进行近似的时候,关于空间导数用在特征线方向一侧的单边差商来代替，于是有如下格式：111100,1nnnnjjjjnnnjjjauuuuahuauau1111001nnnnjjjjnnnjjjauuuuauauaunn+1jj+1j-2j-1j+2ABCDP1njatxatxa0Qnn+1jj+1j-2j-1j+2ABCDP1njatxatxa0Q1、迎风格式000210,minaaaaaaa000210,maxaaaaaaa:若引入111nnnnnnjjjjjjuuauuauu111122nnnnnjjjjjuaauuaauu迎风格式可统一成：适用于变系数的情形1110,nnnnnnjjjjjjuuuuuuaahh迎风格式的性质：1、满足相容性，一阶精度，截断误差为：2、条件稳定的，稳定性条件为：3、条件收敛的，收敛条件为：1||a1||a)(),(hOtxTnj中心差分格式02111huuauunjnjnjnjnnikjhjFourieruve用分析方法分析此格式的稳定性。设于是有11-sin)nnviakhv（所以此格式绝对不稳定.2、Lax-Friedrichs格式khakhiakG222sin1|sin1||),(|1954axriedrichsLF年和分别提出格式：njnjnjnjnjuuauuu111112121即：22()hOhO此格式的截断误差为：111111202nnnnnjjjjjuuuuuah格式稳定。时，故当FriedrichsLa-ax1而且其增长因子为：11[]22cossinnnikjhjnikhikhikhikhnnuveaveeeevkhiakhv令，有（）（）（）2222,11sinGkakh|sincos|),(khiakhkGLax-Friedrichs格式的性质：1、满足相容性，一阶精度，截断误差为：2、条件稳定的，稳定性条件为：3、条件收敛的，收敛条件为：(,)()jnTxtOh||1a||1a两种格式的比较:1、它们的精度都是一阶的精度,在实际应用中,L-F格式可以不考虑对应方程的特征线的走向,而迎风格式却要考虑其走向.注、如果迎风格式写成统一格式,也不必考虑特征线走向，但多了绝对值的计算。111112222nnnnnnnjjjjjjjauuuuuuuahahh迎风格式：(0)2、比较截断误差211111222huuuhhuuauuFriedrichsLaxnjnjnjnjnjnjnj格式改写为211221huuuahanjnjnj1112nnnnjjjjuuuuah左端相同2Oh它们都以（）趋近对流方程。211221huuuahanjnjnj截断误差大。格式的截断误差比迎风，则个式子相等。如果小于则上面的，，如果取由稳定性的限制条件FLaa1211L-F格式的右端项：222002huhx此格式也可以理解为在不稳定的中心差分格式的基础上适当的增加了一个起耗散作用的扩散项，（在固定，），从而提高稳定性，此格式也称为耗散中心差分格式。）（截断误差为：22222hOxuhR22312(,)(,)[][]()2nnjnjnjjuuuxtuxtOtt22222xuaxuattuxuatu）（利用微分方程有：3、Lax-Wendroff格式1960年Lax和Wendroff构造了一个二阶精度的二层格式。构造的思想是利用Taylor展开式及方程本身。代入上面的式子,于是有222312(,)(,)[][]()2nnjnjnjjuauuxtuxtaOxx22,uuxx并用中心差商近似)(2),(),(211hOhtxutxuxunjnjnj211222(,)2(,)(,)()njnjnjnjuxtuxtuxtuOhxh11122112122nnnnjjjjnnnjjjauuuuhauuuh（）21112222311(,)(,)(,)(,)()21(,)2(,)(,)2jnjnjnjnjnjnjnauxtuxtuxtuxtOhhauxtuxtuxtOhOh（）（）（）得到：略去高阶项得到差分方程：Lax-Wendroff格式1221111ax-Wendroff11222nnnnnnnjjjjjjjLuuauuauuu格式：khiakhakGsin2sin21,2222sin141,422222khaakG时，差分格式稳定。当1a22()Oh此格式具有二阶精度,.利用Fourier方法分析稳定性，得增长因子为：Lax-Wendroff格式的性质：1、满足相容性，二阶精度，截断误差为：2、条件稳定的，稳定性条件为：3、条件收敛的，收敛条件为：||1a22(,)()jnTxtOh||1a4、Courant-Friedrichs-Lewy条件00010,,,mjjljljnjuuuuu涉及到初值：，会差分格式中的一般的，双曲型方程的njnjnjnjmjljatxftxuuuxx,,x而的依赖区域，的解程内的节点，即是差分方轴上的那么ourantjjljnjmjxlhxxatxxmhC因此，必须有才能稳定，这就是保证稳定性的条件。由差分方程解的依赖区域与微分方程解的依赖区域的关系导出的差分方程收敛的必要条件注：即差分方程解的依赖区域包含微分方程解的依赖区域注、Courant条件是保证稳定性（收敛性）的必要条件，而非充分条件。例如：针对一维对流方程的差分格式的CFL条件（a0）右偏格式：000012,,,......,jjjjnuuuu差分方程的依赖区域njatx微分方程的依赖区域显然，微分方程的依赖区域在差分方程的依赖区域之外，不满足CFL条件，所以格式不稳定。左偏格式（迎风格式）：0000-1-2-,,,......,jjjjnuuuu差分方程的依赖区域jnjnjxatxx:CFL条件1a实际上也是稳定性的充分条件1a中心格式：0000000-n-2,-212,,....,,,,,......,jjjjjjjnuuuuuuu差分方程的依赖区域CFL:jnjnjnxxatx条件||1a格式不稳定,所以CFL条件不是稳定性的充分条件Lax-Wendroff格式：0000000-n-2,-212,,....,,,,,......,jjjjjjjnuuuuuuu差分方程的依赖区域CFL:jnjnjnxxatx条件||1a实际上也是稳定性的充分条件||1a5、利用特征线构造差分格式：点的值层上现计算已计算出。上得层上各网格点设11,,,njnnjnuPttuDCBAtt。点，则有于交向下作特征线，过设QUPUQttatxatxPannj0同的差分格式：用不同的插值，可得不对于QU这是迎风格式。得：两点进行线性差值，，若用njnjnjnjuuauu11CB)1(CUxtaxBUxtaQUPUBUhahDUhahQUPU22DB)2(有两点进行线性差值，，若用njnjnjuauau111121121njnjnjnjuuauu11112121格式：得FriedrichsLaxjjjjjjjjjjjjjjjjjjxxxxxxxxDUxxxxxxxxCUxxxxxxxxBUQUPUDCB111111111111,,)3(三点作抛物插值，有：若用DUCUBUaaBUCUaCU2121njnjnjnjnjnjnjuuuauuauuL112211122121Wendroff-ax格式：得njnjnjnjnjnjnjuuuaauuauuCBA21112121,,)4(二阶迎风格式：三点进行抛物插值，得若用22hOE此格式具有二阶精度：2sin11sinsin2sin41212sin21,2242khakhiakhkhaakharkG且增长因子：Beam-Warming格式。时，二阶迎风格式稳定故当2a，a0如果njnjnjnjnjnjnjuuuaaruuauu12112121二阶迎风格式为：2sin1241,442khaaakG6、隐式格式02111huuauunjnjnjnj11122njnjnjnjuuauua即：2hOE截断误差：khakhiakhiakG222sin1sin1sin11,1sin11,2222khakG①隐式中心格式无条件稳定。增长因子：隐式中心格式的性质：1、满足相容性，对时间一阶，对空间二阶精度，截断误差为：2、无条件稳定3、无条件收敛)(),(2hOtxTnj注、计算上需要人工边界条件②02221111111huuhuuauunjnjnjnjnjnj22hOE精度：，khaikhaikGsin21sin21,1,2kG格式：NicolsonCrank无条件稳定。Grank-Nicolson格式的性质：1、满足相容性，二阶精度，截断误差为：2、无条件稳定3、无条件收敛)(),(22hOtxTnj注、计算上需要人工边界条件7