《等差数列》公开课教案

《等差数列》教案授课时间：授课班级：教材：广东省中等职业技术学校文化基础课课程改革实验教材《数学》下册课题等差数列课型新授课教学目标知识与技能目标：理解等差数列的定义；会根据等差数列的通项公式求某一项的值；会根据等差数列的前几项求数列的通项公式。过程与方法目标：通过启发、讨论、引导、边教边练边反馈的方法提高学生思考问题、解决问题的能力。情感、态度、价值观目标：培养学生的逻辑推理能力；培养学生在探索中学习知识的精神，增强学生相互合作交流的意识。教学重点会求等差数列的通项公式。教学难点等差数列的通项公式的推导。教学手段多媒体辅助教学教学过程：一、创设情境，引入课题①如图1所示：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，这个V形架的铅笔从最下面一层往上面排起的铅笔支数组成数列：1，2，3，4，……②某个电影院设置了20排座位，这个电影院从第1排起各排的座位数组成数列：38，40，42，44，46，……③全国统一鞋号中，成年女鞋的各种尺码（表示以cm为单位的鞋底的长度）由大到小可排列为：25,24.5,24,23.5,23,22.5,22,21.5.二、师生互动，探索新知[设计说明：职校生的数学基础差，采用边教学边反馈的方式，有利于教师及时了解学生理解新知识的程度,增强学生学好数学的信心]教师引导学生观察上面的数列①、②、③的特点与变化规律。数列①从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于；数列②从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于；数列③从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于；提出问题1：上面三个数列的共同特点是什么？学生：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数。一等差数列的定义:如果一个数列从它的第2项起每一项与它的前一项的差都等于同一图1面自动注2个常数，则这个数列叫做等差数列；这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。等差数列的公差d的数学表达式为：1(,1)nnaadnNN且。基础训练：1、上面数列①的公差d=;数列②的公差d=;数列③的公差d=[教学说明:有利于学生扫除语言与符号转换的障碍]2、下面的数列中，哪些是等差数列？若是，求出它的公差；若不是，则说明理由。(1)6,10,14,18,22,……；(2)9,8,7,6,5,4,3,2;(3)3,3,3,3,3,3;(4)1,0,1,0,1,0,1,0.提出问题2:任何一个数列一定是等差数列吗?如果是等差数列,公差一定是正数吗?师生讨论得出结论:(1)、一个数列是等差数列必须具有这样的特点:从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；（2）等差数列的公差d可能是正数、负数、零。[设计说明:从具体数列入手，有利于较多基础差的学生理解等差数的定义，判断数列是否为等差数列转换成具体的步骤：求后面一项与前面一项的差，看这些差是否相等]提出问题3：等差数列{}na的公差d的数学表达式为：1(,1)nnaadnNN且，揭示了求公差d可以用哪些式子表示？师生共同活动：213243121,,,,,nnnndaadaadaadaadaa等，变式：213243121,,,,,nnnnaadaadaadaadaad提出问题4：如果等差数列{}na只知道首项1a，公差d，那么这个数列的其他项如何表示？师生共同活动：1()21,aad个1()2()32112,aadaddad个个3()1()2()432113,aadaddadddad个个个…,3()1()1()2()12311(1)nnnnnaadaddadddadddand个个个个[设计说明:问题3、问题4的提出训练学生的变形思想、递归思想，从而引出等差数列的通项公式及学生容易理解通项公式的变形公式]＜二＞等差数列的通项公式:等差数列{}na的任一项为na，则它可以表示为：1(1)naand，这就是等差数列的通项公式。（说明：通项公式即对于等差数列的每一项都适用的公式，包括第一项：1a）提出问题5：213243121,,,,,nnnndaadaadaadaadaa有个等式？3如果将上述等式相加会得到等式：213243121(1)()()()()()nnnnndaaaaaaaaaa，1(1)nndaa，可求出等差数列的通项公式：1(1)naand（叠加法）由提出问题4的师生活动可知通项公式的变形：1()2()1222nnnnaadaddad个个，3()1()2()12333nnnnnaadaddadddad个个个，,()nmaanmd小结：等差数列的通项公式：1(1)naand①，变形公式：()nmaanmd(n、)mN②（注意n不一定大于m）公式的认识与理解：1、通项公式含有四个量，根据公式之间的联系，由方程的思想，知三可求一；2、与1,naa两项直接相关时一般用公式①，与,mnaa两项直接相关时一般用公式②三、合作交流，熟练技能例1求等差数列5，7，9，11，……的通项公式与第10项。[分析]这个数列第一项（首项1a）是5，知第一、二、三、四项，易求公差d，写出通项公式，再利用通项公求出第10项。解：因为15,a752d，所以这个等差数列的通项公式是52(1),nan即23,nan10210323a。例2数列{}na是等差数列.（1）已知1612,1,daa求；（2）已知3105,47,aad求。[分析]第（1）题与116,aa两项直接相关用公式①，第（2）题与310,aa两项直接相关用公式②解：（1）16115aad，1115(2)a，解方程得131a。（2）1037aad，4757d，解方程得6d。[设计说明:例1列出等差数列的前面四项，让学生学会观察数列的首项，学会直接求出等差数列的公差，增强感性认识；例2的分析是理性认识等差数列的通项公式及其变形公式]四、迁移应用，深化提高1、等差数列{}na中，已知512110,31,aaa求、d。42、在12和60之间插入3个数，使它们与这两个数成等差数列，求这3个数。[分析]第1题：与512,aa两项直接相关用公式②求出d，与15,aa两项直接相关或与112,aa两项直接相关用公式①求出1a。第2题：插入3个数，这个等差数列共有5个数，已知1512,60,5aan，求这3个数即是求234,,aaa，由等差数列的通项公式1(1)naand中的1,,,nadna四个量，将1512,60,5aan代入公式看成方程，先求出公差d，再代入通项公式可求得这3个数。解：（略）补充练习：P119练习A1、2[设计说明:目的是使学生灵活运用等差数列通项公式及其变形公式。尤其是第2题，不少学生不会分析60是第几项，所求的3个数是第几项，即将语言转换成符号的能力是学生的弱项]五、积累与总结1、知识梳理(1)等差数列的定义，公差d的数学表达式为：1(,1)nnaadnNN且;(2)等差数列的通项公式：1(1)naand①，变形公式：()nmaanmd(n、)mN②（注意n不一定大于m）.2、方法、技巧现规律总结如果等差数列的前面几项已列出，学会观察数列的首项，学会直接求出等差数列的公差；与1,naa两项直接相关时用通项公式，与,mnaa两项直接相关时用通项公式的变形公式；如果有关等差数列的题目语言文字或数字时，学会把语言转化为符号。六、作业P120习题11-21、（1），2（1）。七、【教学反思】：结合学生的实际情况，创设情境，引入图形，引入生活中学生熟悉的例子，创建数学模型，将生活中的实例转化为数学问题，引出等差数列的定义，通过启发、讨论、引导、边教边练边反馈的方法提高了学生思考问题、解决问题的能力，避免教师与学生的思维脱节的现象，从面提高了学生学好数学的信心。多媒体辅助教学节省不少板书时间，提高了教学的效率。比如：数列①从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于，如果教师只是用口头表达，学生思考，可能有些注意力不太集中的学生听不清楚，影响了学习的效果，而用多媒体辅助教学，学生耳朵、眼睛、脑一起用，学习效果明显增强。又如图形的板书可费时间了，多媒体辅助教学一展示就达到一目了然的效果。这节课看起来简单，只有两个公式，表面上看学生只要记住公式就行了，可是没有学生参与探索发现的知识，对于学生来说是无法内化的知识。这节课提出四个问题，学生能参与思考，尤其是学生能参与等差数列的通项公式的推导过程，对于培养今后良好的学习习惯起了一定的促进作用。