材料力学第9章-应力状态分析

材料力学第9章应力状态分析第九章应力状态分析材料力学第9章应力状态分析•本章主要内容•应力状态的概念•二向应力状态分析的解析法•二向应力状态分析的图解法•三向应力状态简介•广义胡克定律•复杂应力状态下的应变比能材料力学第9章应力状态分析②只存在t：自由扭转、梁截面中性轴处zyNFF一、为什么要研究一点的应力状态§9-1应力状态的概念1、sa和ta是a的函数，需要研究一点处不同方位上的应力情况，找到smax和tmax2、全面进行强度计算的需要2cossin22aasssata一点处的应力状态：受力构件内一点处不同方位上应力的集合。①只存在s：轴向拉压、梁截面上下边缘③同时存在s和t：梁截面其它各点maxss≤maxtt≤maxattmaxass如何进行强度计算，强度条件如何建立？αFFσNFFασaτaaσαταpaσmaxτmaxτmin材料力学第9章应力状态分析二、研究一点应力状态的方法ddd0xyz①单元体各个面上的应力是均匀分布的；②两个平行面上的应力大小相等。（一个面的两侧）§9-1应力状态的概念单元体：为了研究一点的应力状态，通常是围绕该点取一个无限小的微体，称为单元体。（正六面体，三棱柱）单元体的特点：tyztzytzxtyxtxyxyztxysxsysyszszsxtxztxztzxtyxtzytyz只要知道单元体三对相互平行面上的应力，其它任意截面上的应力均可用截面法求出，因此可用单元体三个互相垂直平面上的应力来表示一点的应力状态。FFAdzdydxA材料力学第9章应力状态分析三、主平面、主应力与主单元体主单元体：三对相互垂直的平面均为主平面的单元体。主平面：切应力为零的截面（t=0）。主应力：主平面上的正应力。123sss且可以证明，通过一点处的各不同方位的截面中，一定存在三对相互垂直的截面，这些截面上的切应力t=0，只有正应力s。三个主应力记为：123sss、、50MPa0MPa100MPa123MPaMPaMPasss500100例：已知三个主应力数值为：1σ1σσ2σ2σ3σ3xσxσσzσzσyσy材料力学第9章应力状态分析四、应力状态分类1、单向应力状态三个主应力只有一个不等于02、二向应力状态3、三向应力状态三个主应力有两个不等于0三个主应力全不等于0简单应力状态复杂应力状态单向应力状态二向应力状态三向应力状态平面应力状态空间应力状态1σ1σ1σ1σ1σ1σσ2σ21σ1σσ2σ21σ1σσ2σ2σ3σ3材料力学第9章应力状态分析yxacbd§9-2平面应力状态分析1、正负号规定：一、斜截面上的应力σ：拉为正压为负，τ：绕单元体内部一点顺时针转为正，逆时针为负。α逆时针为正，顺时针为负。aast求、截面法dAasdcosxAtadAatdcosxAsadsinyAtadsinyAsa2、解：应力平衡（×）力平衡（√）cossinefdAebdAbfdAaa设的面积为，则的面积为的面积为xyxssta已知、、、，各面上的力efnfebntσyτyσxτxaaaantxyσxτxσyτyσxτxτyσyaaaaσατα材料力学第9章应力状态分析§9-2平面应力状态分析一、斜截面上的应力xyxaasstast已知、、、，求、解：0nF0tF(dcos)sin(dco(dsin)cos(dsin)sids)cos0nxxyyAAAAAataasaastaasaa(dcos)cos(dco(dsin)sin(dsin)cods)sin0sxxyyAAAAAataasaattaasaadAasdcosxAtadAatdcosxAsadsinyAtadsinyAsaaaaantxyyxacbdefnσxτxσyτyσxτxτyσyaafebntσyτyσxτxaaσατα材料力学第9章应力状态分析(dcos)sin(dco(dsin)cos(dsin)sids)cos0nxxyyAAAAAataasaastaasaa(dcos)cos(dco(dsin)sin(dsin)cods)sin0sxxyyAAAAAataasaattaasaa数学整理关系式22=sin22sincos1cos21cos2cossin22xyttaaaaaaa(负号已包含在指向中）；；；aast、计算公式cos2sin222sin2cos22xyxyxxyxaasssssatasstata材料力学第9章应力状态分析9090aast计算、3、讨论：9090cos2sin222sin2cos22xyxyxxyxaasssssatasstata9090xyaaaasssstt常数结论：任意两个相互垂直截面上的正应力之和为常数，切应力符合切应力互等定理。cos2sin222sin2cos22xyxyxxyxaasssssatasstatafebntσyτyσxτxaaσατα材料力学第9章应力状态分析tyztzytzxtyxtxyxyztxysxsysyszszsxtxztxztzxtyxtzytyz空间应力状态（弹性力学）应力张量的第一、第二和第三不变量。1I+xyzsss2222I-xyyzzxxyyzzxssssssttt3Ixxyxzyxyyzzxzyzstttsttts材料力学第9章应力状态分析二、应力圆cos2sin222sin2cos22xyxyxxyxaasssssatasstatacos2sin222sin2cos22xyxyxxyxaasssssatasstata2222()()22xyxyxaassssstt2aasta、均以为参变量圆的方程22(,0)22xyxyxaassststsst、在直角坐标系内的轨迹是以为圆心，（）为半径的圆，此圆称为应力圆，或莫尔圆。德国1895年提出febntσyτyσxτxaaσατα材料力学第9章应力状态分析1、应力圆的绘制②:确定点D1(sx,tx)③:确定点D2(sy,ty)tx=-ty④:连接D1D2与s轴交于C点⑤:以C为圆心，CD1（CD2）为半径画圆。试作图示单元体的应力圆①:建立σ-τ坐标系02xyCss圆心点坐标为（，）22()2xyxsst半径为otσCyxacbdσxτxσyτyσxτxτyσyσxB1τxσx,τx()D1σyB2τyσy,τyD2()二、应力圆材料力学第9章应力状态分析证明：12=2OBOBOC=2xyss221111=CDCBBD11CBOBOC=2xyxsss=2xyss11xBDt221=()2xyxCDsst2222()()22xyxyxaassssstt该圆即为方程所表示的圆。02xyss圆心：(，)22()2xyxsst半径：yxacbdσxτxσyτyσxτxτyσyotσCσxB1τxσx,τx()D1σyB2τyσy,τyD2()1、应力圆的绘制试作图示单元体的应力圆二、应力圆材料力学第9章应力状态分析otσCσxB1τxσx,τx()D1σyB2τyσy,τyD2()2、应力圆求斜截面上的应力试求图示单元体α截面上的应力2、以CD1为起始半径，按α的旋转方向旋转2α，得到E点。yxacbdefnσxτxσyτyσxτxτyσyaaσατα1、作单元体的应力圆cos2sin222=xyxyxOFasssssatasin2cos22=xyxEFasatatsE点的坐标即为：aast（，）只需证明：Eσατα(，)2aF材料力学第9章应力状态分析otσCσxB1τxσx,τx()D1σyB2τyσy,τyD2()2、应力圆求斜截面上的应力证明0==+cos(2+2)OFOCCFOCCEaa00=+cos2cos2sin2sin2OCCECEaaaa=2xyOCss式中：0101cos2cos2=2xyCECDCBssaa01011sin2sin2=xCECDBDaatcos2sin222xyxyxOFssssatasin2cos22xyxssataas0=sin(2+2)EFCEaa1010=cos2sin2sin2cos2CDCDaaaaatyxacbdefnσxτxσyτyσxτxτyσyaaσαταFEσατα(，)2a2a试求图示单元体α截面上的应力材料力学第9章应力状态分析2、应力圆求斜截面上的应力作应力圆应注意的几点：①σ、τ正负号，与应力圆上点的象限关系。②点面对应关系：应力圆上一点对应于单元体中某一截面；单元体上A、B面夹角α，应力圆上弧长AB的圆心角为2α角,且转向一致。yxacbdefnσxτxσyτyσxτxτyσyaaσαταBAoCστ③起始半径选择：需视α角从哪一个轴开始度量；④α与2α对应：单元体上斜截面方位角α，对应于应力圆上为2α角，自起始半径旋转，且与α转向一致；AB2a试求图示单元体α截面上的应力otσCσxB1τxσx,τx()D1σyB2τyσy,τyD2()Eσατα(，)2a材料力学第9章应力状态分析otσCσxB1τxσx,τx()D1σyB2τyσy,τyD2()Eσατα(，)2a3、主应力、主平面与主单元体图解法注意A1、A2点111=OAOCCAs222=OAOCCAs数值yxacbdefnσxτxσyτyσxτxτyσyaaσατα22()=22xyxyxsssst22()=22xyxyxsssst1222()2=2xyxyxsssssts方位A1点如何得到？以CD1点为起始半径，顺时针旋转2α0至CA1即可。A1A2σ2,0()σ1,0()2a材料力学第9章应力状态分析3、主应力、主平面与主单元体图解法注意A1、A2点数值yxacbdefnσxτxσyτyσxτxτyσyaaσατα1222()2=2xyxyxsssssts方位A1点如何得到？以CD1点为起始半径，顺时针旋转2α0至CA1即可。1101ta(2)2nxxyBDCBtssa02tan2xxytass将负号放在分子上，以此确定的2α0的象限，α0为σ1与σx之间的夹角。0tan21a0();tan2aaa0;tan2()aaaotσCσxB1τxσx,τx()D1σyB2τyσy,τyD2()Eσατα(，)2aA1A2σ2,0()σ1,0()2a材料力学第9章应力状态分析otσCσxB1τxσx,τx()D1σyB2τyσy,τyD2()Eσατα(，)2aA1A2σ2,0()σ1,0()2a3、主应力、主平面与主单元体图解法注意A1、A2点数值yxacbdefnσxτxσyτyσxτxτyσyaaσατα1222()2=2xyxyxsssssts方位02tan2xxytass主点法作D1K⊥σ轴，交圆与K点，则A2K方向即为σ1方向。K点称为主点。11111010,2DAAKDAAKaa对应的圆心角为，故对应的圆周角为主单元体K1s的方位axσ1aσσσ212材料力学第9章应力状态分析3、主应力、主平面与主单元体解析法方位0tan22xxysats可得：主单元体cos2sin222sin2cos22xyxyxxyxaasssssatasstata12asss、为的极值d()sin22cos20dxyxasssataa令由数值yxacbdefnσxτxσyτyσxτxτyσyaaσατα1222()2=2xyxyxssssstsxσ1aσσσ212如何直观判断σ1的方位？aσσσσ2112材料力学第9章应力状态分析3、主应力、主平面与主单元体主单元体yxacbdefnσxτxσyτy