离散型随机变量的方差精品教案

2.3离散型随机变量的方差【课题】：2.3离散型随机变量的方差【教学时间】：高二下学期【学情分析】：（适用于平行班）教学对象是高二理科学生，学生已经初步学会利用离散型随机变量均值解决实际问题。本课时要结合均值的概念讲解方差的概念,与均值进行对比和联系,要通过具体的例题讲清求方差的一般步骤。本节课的教学难点是复杂的方差问题的求解，在教学中要加强对学生运算能力的培养。在教学中要注意和实际问题相结合，使学生真正理解方差的意义。【教学目标】：（1）通过实例使学生理解离散型随机变量均值的定义；（2）会运用方差解决实际问题。【教学重点】：1.离散型随机方差的定义；2.离散型随机变量方差的求法；3.运用方差解决实际问题。【教学难点】：1.复杂的方差问题的求解，；2.运用均值解决实际问题。【教学突破点】：通过一个实际问题结合均值引入均值，与均值进行对比和联系，帮助学生理解方差的定义；通过对典型例题的分析，使学生掌握运用解决问题的方法和步骤。【教法、学法设计】：在具体教学过程中，教师可在教材的基础上适当拓展具体的实际例子，使得内容更为丰富．教师可以运用和学生共同探究式的教学方法，学生可以采取自主探讨式的学习方法．【课前准备】：课件【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图及师生活动一、设问引入思考探究:要从两名学生中挑选一名，代表班级参加射击比赛。根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数，第一名同)8.0,10(~1BX学击中目标靶的环数，其中。请问应该派哪名42YX)8.0,5(~BY同学参赛？利用二项分布均值的计算公式，有848.054,88.01021EYEXEX这说明两名学生的平均射击水平没有差异。思考：除用均值外，还有其他可以刻画两名学生射击特点的指标吗？比较分布列图，可以发现：第二名同学的射击成绩更集中于8环，即第二名同学的射击成绩更稳定。引入新知：能否用一个与样本方差类似的量来刻画随机变量的稳定性？教师提出问题,引导学生回忆上节课内容.引导学生与反映样本数据的指标相类比，并将分布列用柱形图表示出来，帮助学生观察对比二、探究新知1、离散型随机变量方差的定义一般地,若离散型随机变量X的分布列为X1x2x…ix…nxP1p2p…ip…np则描述了相对于均值EX的偏离程度。而2)(EXxi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量XiniipEXxDX21)(与其均值EX的偏离程度。称DX为随机变量X的方差，其算术平方根DX为随机变量X的标准方差，记作σX.注意：１．随机变量的方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差越小，稳定性越高，波动越小。２．随机变量的方差是常数，样本方差是变量，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差．2、离散型随机变量均值的性质DXabaXD2)(练习1.已知随机变量X的分布列是X01234P0.20.20.30.20.1试求(1)DX;(2)D（2X-1）解析:(1)EX=8.11.042.033.022.012.0056.11.0)8.14(2.0)8.13(3.0)8.12(2.0)8.11(2.0)8.10(22222DX(2)24.656.144)12(DXXD练习2.设在15个同类型的零件中有2个是次品，每次任取1个，共取3次，并且每次取出不再放回。若以ζ表示取出次品的个数，求ζ的期望和方差.分析:首先求出各种情况的概率,写出概率分布,注意零件取后不放回.解:351)2(3512)1(3522)0(3151132231521312315213CCCPCCCPCCP推导过程不要求掌握推导过程不要求掌握故ξ的分布列是ξ012P352235123515235123512135220E17552351)522(3512)521(3522)520(222D练习3.已知随机变量ξ的数学期望为Eξ,方差为Dξ,随机变量,则的值为()DE解析:D1)()1()(2EDDDED归纳求方差的步骤:(1)根据题意找出随机变量(2)求出分布列(3)运用公式求出数学期望(4)求出方差3、特殊分布的均值(1)若X服从两点分步,则DX=)1(pp(2)若X～(,则),pn)1(pnpDX三、例题分析例1.已知某运动员投篮命中率为6.0p(1)求一次投篮命中次数ξ的期望和方差(2)求重复5次投篮时,命中次数η的期望和方差分析:投篮一次可能投中,也可能不中,命中次数ξ服从两点分布;重复5次投篮,每次命中的概率都是一样的,所以命中次数η服从二项分布.解:(1)一次投篮命中次数ξ服从两点分布24.04.06.0)1(6.0ppDpE(2)重复5次投篮时,命中次数η服从二项分布,即)6.0,5(~B2.14.06.0536.05DE例2.有甲乙两个单位都愿意聘请你,而你获得如下的信息:甲单位不同职位月工资/元1X1200140016001800获得相应职位的概率P0.40.30.20.1巩固知识，培养技能.乙单位不同职位月工资/元2X1000140018002000获得相应职位的概率P0.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位?解:根据月工资的分布列,14001.018002.016003.014004.012001EX400001.)14001800(2.0)14001600(3.0)14001400(4.0)14001200(22221DX14001.020002.018003.014004.010002EX1120001.)14002000(2.0)14001800(3.0)14001400(4.0)14001000(22222DX因为,所以两家单位的工资平均水平相当,但甲单位不同职位的工资相对集中,乙单位不同职位的工资相对分散.这样,如果希望不同职位的工资差距小一些,就选择甲单位;否则就选择乙单位.例3.若随机事件A在一次实验中发生的概率为,用随机变量)10(ppξ表示A在一次实验中发生的次数.(1)求方差的最大值(2)求D的最大值.ED12解:随机变量ξ的所有可能取值是0,1,并且有pPpP)1(,1)0(所以DX==)1(pp41)21(22ppp10p当时,有最大值为21p41(2)221210)12(21)(2122ppppppppED当,即时取”=”pp1222p四、小结离散随机变量方差的定义1．样本方差和随机变量方差的区别与联系2．随机变量方差的求法3．随机变量方差的应用反思归纳五、课后练习与测试1．已知随机变量ξ服从二项分布ξ～B(n，P)，且Eξ=7，Dξ=6，则P等于（）A．B．C．D．716151412．设随机变量ξ的概率分布为P(ξ=k)=（k=0，1），则1(1)kkppEξ、Dξ的值分别是（）A．0和1B．P和P2C．P和1－PD．P和(1－P)P3.的值为())(DDA．无法求B．0C．D．DD24.一牧场的10头牛,因误食疯牛病毒污染的饲料被感染,已知疯牛发病的概率为0.02,若发病的牛数为X头,则DX=()A．0.2B．0.196C．0.8D．0.8125.已知随机变量的的分布列为则DE等于（）A．0B．0.8C．2D．16．某人有资金10万元，准备用于投资经营甲、乙两种商品，据资料统计，经营甲商品获利2万元的概率为0.4，获利3万元的概率为0.3，亏损1万元的概率为0.3；经营乙商品获利2万元的概率为0.6，获利4万元的概率为0.2，亏损2万元的概率为0.2，则投资者应经营商品·7．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中率为0.6，现在共有4颗子弹，命中后尚余子弹数目ξ的期望为8.设一次实验成功的概率为,进行100次独立重复实验,当=时,成pp功次数的标准差最大,最大值是·9．有10张卡片，其中8张标有数字2，有2张标有数字5，从中随即地抽取3张卡片，设3张卡片上的数字之和为随机变量ξ，求Eξ、Dξ.10．A、B两个试验方案在某科学试验中成功的概率相同，已知A、B两个方案至少一个成功的概率为0.36，（1）求两个方案均获成功的概率；（2）设试验成功的方案的个数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望．11.设是一个离散型岁随机变量,其分布列如下表,试求DE,ξ123P0.40.20.4ζ-101P21q212q12.由以往的统计资料表明，甲乙两运动员在比赛中得分情况如下：　　　　　　现有一场比赛，派哪位运动员参加比较好？答案：１．Ａ　２．Ｄ　３．Ｃ　４．Ｂ　５．Ｂ　６．乙　７．２．３７６　８．，５21９．解：由题意可知，ξ的可能取值为２＋２＋２＝６，２＋２＋５＝９，２＋５＋５＝１２　　　　1578697108)6(P　　　　15738297108)9(P　　　　15138192108)12(P　　　　所以ξ的分布列为　　　　ξ６９１２Ｐ157157151　　　36.3151)8.712(157)8.79(157)8.76(8.71511215791576222DE１0.(1)设A方案和B方案独立进行科学实验成功的概率都为,则A,B方案x（甲得分）1０１２P0.２0.５0.３（乙得分）2０１２P0.３0.２0.５在实验中都未能成功的概率为2)1(x所以36.0)1(12x2.0x11.解;根据离散型随机变量分布列的性质,可得解得112101)21(2122qqqq221q所以ξ的分布列为ζ-101P2112223Eξ=-1×＋　0×()＋1×()=21122232112)223()]21(1[)12()21(21)]21(1[22D12.解:76.05.0)2.12(2.0)2.11(3.0)2.10(49.03.0)1.12(5.0)1.11(2.0)1.10(2.15.022.013.001.13.025.012.00222222212121DDEEEE尽管,但由于得分的均值,所以乙运动员的21DD21EE技术好一些,应选择乙参加比赛