解析几何中的对称问题

1解析几何中对称问题的常见求解方法关键词：对称点、对称直线解析几何中的对称问题在现行中学数学材料中没有按章节进行系统编排，只是分散地穿插在直线、曲线部分的题型之中。但这部分知识是解析几何中重要的基础内容，也是近年来的高考热点之一。对称点、对称直线的求法，对称问题的简单应用及其解题过程中所体现的思想和方法是学生必须掌握的。这就要求教师在讲完直线、曲线部分后，需对对称问题进行适当的归纳、总结。使学生对这部分知识有一个较完整的、系统的认识，从而解决起对称问题才能得心应手。本人就此谈一下中学解析几何中常见的对称问题和解决办法。一、关于点对称。1、点关于点对称。①点(,)Pab关于原点的对称点坐标是(,)ab；②点(,)Pab关于某一点00(,)Mxy的对称点的坐标，利用中点坐标式求得为00(2,2)xayb。2、直线关于点对称。①直线L：0AxByC关于原点的对称直线。设所求直线上一点为(,)Pxy，则它关于原点的对称点为(,)Qxy，因为Q点在直线L上，故有()()0AxByC，即0AxByC；②直线1l关于某一点00(,)Mxy的对称直线2l。它的求法分两种情况：1、当00(,)Mxy在1l上时，它的对称直线为过M点的任一条直线。2、当M点不在1l上时，对称直线的求法为：解法（一）：在直线2l上任取一点(,)Pxy，则它关于M的对称点为00(2,2)Qxxyy，因为Q点在1l上，把Q点坐标代入直线在1l中，便得到2l的2方程。解法（二）：在1l上取一点11(,)Pxy，求出P关于M点的对称点Q的坐标。再由12llKK，可求出直线2l的方程。解法（三）：由12llKK，可设1:0lAxByC关于点00(,)Mxy的对称直线为'0AxByC且00002222'AxByCAxByCABAB求设'C从而可求的及对称直线方程。3、曲线关于点对称，曲线1:(,)0Cfxy关于00(,)Mxy的对称曲线的求法：设(,)Pxy是所求曲线的任一点，则P点关于00(,)Mxy的对称点为00(2,2)xxyy在曲线(,)0fxy上。故对称曲线方程为00(2,2)0fxxyy。二、关于直线对称1、点关于直线对称。⑴点(,)Pab关于x轴、y轴，直线xy，xy的对称点坐标可利用图像分别求设为(,),(,),(,),(,)ababbaba。⑵点(,)Pab关于某直线:0LAxByC的对称点'P的坐标。解法（一）：由'PP⊥L知，'PPBKA直线'PP的方程→()BybxaA由0()AxByCBybxaA可求得交点坐标，再由中点坐标公式求得对称点'P的坐标。解法（二）：设对称点'(,)Pxy由中点坐标公式求得中点坐标为(,)22axby把中点坐标代入L中得到022axbyABC；①再由'PPBKA得byBaxA②，联立①、②可得到'P点坐标。解法（三）：设对称点为'(,)Pxy，由点到直线的距离公式有00002222'AxByCAxByCABAB①，再由'PPBKA得byBaxA②由①、②可得到'P点坐标。32、直线1l关于直线l的对称直线2l。⑴当1l与l不相交时，则1l∥l∥2l。在1l上取一点00(,)Pxy求出它关于l的对称点Q的坐标。再利用12llPP可求出2l的方程。⑵当1l与l相交时，1l、l、2l三线交于一点。解法（一）：先解1l与l组成的方程组，求出交点A的坐标。则交点必在对称直线2l上。再在1l上找一点B，点B的对称点'B也在2l上，由A、'B两点可求出直线2l的方程。解法（二）：在1l上任取一点11(,)Pxy，则P点关于直线l的对称点Q在直线2l上，再由PQ⊥l，1PQLKK。又PQ的中点在l上，由此解得11(,),(,)xfxyygxy，把点11(,)xy代入直线1l的方程中可求出2l的方程。解法（三）：设1l关于l的对称直线为2l，则2l必过1l与l的交点，且2l到l的角等于l到1l的角，从而求出2l的斜率，进而求出2l的方程。3、曲线关于直线对称。曲线1C关于直线l的对称曲线2C的方程，在2C上任取一点(,)Pxy，可求出它关于l的对称点坐标，再代入1C中，就可求得2C的方程。综合上述，求对称问题通常采用变量替换、数形结合等解题思想。求对称问题的通法是：⑴求对称点一般采用，先设对称点(,)Pxy，再利用中点坐标公式或垂直、平分等条件，列出,xy的方程组，解方程组所得的解就是对称点的坐标，⑵求对称直线一般是：先设对称曲线上任一点(,)Pxy，再利用求对称点的方程求出P点的对称点Q点坐标，将Q点坐标代入已知曲线方程中，所得的关于,xy的关系式，就是所求对称曲线的方程。4通过上述研究，解析几何中的各种对称点，对称曲线（包括直线）列表如下：(,)Pab:0lAxByC:(,)0Cfxy原点（0，0）(,)ab()()0AxByC(,)0fxy00(,)Mxy00(2,2)xayb00(2)(2)0AxxByyC00(2,2)0fxxyyx轴(,)ab()0AxByC(,)0fxyy轴(,)ab()0AxByC(,)0fxy直线xy(,)ab0BxAyC(,)0fxy直线xy(,)ba()()0BxAyC(,)0fyx0xym(,)bmam()()0AymBxmC(,)0fymxm0xym(,)bmam()()0AymBxmC(,)0fymxm由此可见，熟练地记忆和掌握各种对称点和对称曲线的求法，将会对我们解决对称问题带来很大的方便。点、直线对称点(直线)对称轴(对称中)心