2015考研数学真题(数一)

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一12015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1、设函数()fx在（-,+）连续，其2阶导函数()fx的图形如下图所示，则曲线()yfx的拐点个数为（）（A）0（B）1（C）2（D）32、设21123xxyexe是二阶常系数非齐次线性微分方程xyaybyce的一个特解，则（）（A）3,1,1.abc（B）3,2,1.abc（C）3,2,1.abc（D）3,2,1.abc3、若级数1nna条件收敛，则3x与3x依次为幂级数11nnnnax的：（A）收敛点，收敛点（B）收敛点，发散点（C）发散点，收敛点（D）发散点，发散点4、设D是第一象限中曲线21,41xyxy与直线,3yxyx围成的平面区域，函数(,)fxy在D上连续，则(,)Dfxydxdy（A）12sin2142sin2(cos,sin)dfrrrdr（B）1sin22142sin2(cos,sin)dfrrrdr（C）13sin2142sin2(cos,sin)dfrrdr（D）1sin23142sin2(cos,sin)dfrrdr2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一25、设矩阵21111214Aaa，21bdd，若集合{1,2}，则线性方程组Axb有无穷多个解的充分必要条件为（A）,ad（B）,ad（C）,ad（D）,ad6、设二次型123(,,)fxxx在正交变换xPy下的标准形为2221232yyy，其中123(,,)Peee，若132(,,)Qeee，则123(,,)fxxx在正交变换xQy下的标准形为（A）2221232yyy（B）2221232yyy（C）2221232yyy（D）2221232yyy7、若,AB为任意两个随机事件，则（A）()()()PABPAPB（B）()()()PABPAPB（C）()()()2PAPBPAB（D）()()()2PAPBPAB8、设随机变量X,Y不相关，且2,1,3,EXEYDX则2EXXY（A）-3（B）3（C）-5（D）5二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.9、20lncoslimxxx10、2-2sin()1cosxxdxx11、若函数(,)zzxy由方程+cos2zexyzxx确定，则(0,1)dz.12、设是由平面1xyz与三个坐标平面所围成的空间区域，则(23)xyzdxdydz2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一313、n阶行列式2002-1202002200-1214、设二维随机变量(,)XY服从正态分布(1,0;1,1;0)N，则(0)PXYY.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、（本题满分10分）设函数()ln(1)sinfxxaxbxx，3()gxkx，若()fx与()gx在0x是等价无穷小，求a，b，k值。16、（本题满分10分）设函数在()fx定义域I上的导数大于零，若对任意的0xI，曲线()yfx在点00(,())xfx处的切线与直线0xx及x轴所围成的区域的面积为4，且(0)2f，求()fx的表达式.17、（本题满分10分）已知函数xyyxyxf),(，曲线3:22xyyxC，求),(yxf在曲线C上的最大方向导数.18、（本题满分10分）(Ⅰ)设函数(),()uxvx可导，利用导数定义证明[()()]'='()()()()'uxvxuxvxuxvx(Ⅱ)设函数12(),()...()nuxuxux可导，12()()()...(),nfxuxuxux写出()fx的求导公式.19、（本题满分10分）已知曲线L的方程为222,,zxyzx起点为(0,2,0)A，终点为(0,2,0)B，计算曲线积分2222()()()LIyzdxzxydyxydz2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一420、（本题满分11分）设向量组123,,是3维向量空间3的一个基，11322k，222，313(1)k。（Ⅰ）证明向量组123,,是3的一个基；（Ⅱ）当k为何值时，存在非零向量在基123,,与基123,,下的坐标相同，并求出所有的。21、（本题满分11分）设矩阵02-3-1331-2Aa相似于矩阵1-2000031Bb.（Ⅰ）求,ab的值.（Ⅱ）求可逆矩阵P，使得1PAP为对角阵.22、（本题满分11分）设随机变量X的概率密度为-2ln20()=00xxfxx对X进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y为观测次数.（Ⅰ）求Y的概率分布；（Ⅱ）求EY.23、（本题满分11分）设总体X的概率密度为11(;)=10xfx其他其中为未知参数，12.....nXXX，为来自该总体的简单随机样本.2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一5（Ⅰ）求的矩估计.（Ⅱ）求的最大似然估计.