数值代数试卷

本试卷共6页第1页本试卷共6页第2页河南师范大学数学与信息科学学院2013―2014学年度第2学期2012级信息与计算科学专业期末考试《数值线性代数》A卷题号一二三四总分得分1.设nnRA，用列主元Gauss消去法得到PALU，则当1jin时，,ijl_____.2.设是定义在nnR上的一种矩阵范数.对任意的矩阵nnRA，则()A_______.3.设nnRA是对称正定，则二次泛函1()2TTxxAxbx的极小值点是.4.求解对称正定方程组Axb的最速下降法的第k(0)步迭代中，下降方向1kp___________．5.求解线性方程组Ax=b的SOR迭代法收敛的必要条件是___________。567896.设nnRA,则存在排列矩阵nnRP使得PA具有非零对角元。7.和是nR上任意两个范数,则存在正常数1c和2c使对一切nRx有12ccxxx.8.线性方程组Ax=b的最小二乘解总是存在的。9.求解Ax=b的单步线性定常迭代法收敛的充分必要条件是()1.A10.设,,nnijaRA且,,1(1,2,,)nkkkjjjkaakn,则A是弱严格对角占优的。得分评卷人三、计算题（每小题10分，共40分）11.设16484324108426,.8812103844101230Ab用Gauss消元法求解.Axb12.确定一个Householder阵H和正数，使(1,0,1,1,1,1)TH(1,,0,0,0,0)T.[解]得分评卷人一、填空题（每空3分，共15分）得分评卷人二、判断对错（每小题3分，共15分）姓名:________学号:__________年级:______________专业:_____________…….……………………….密…………………封…………………线…………………………本试卷共6页第3页本试卷共6页第4页13.已知线性方程组1231231238233461332714xxxxxxxxx（1）试给出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解该方程组的分量形式。（2）两种迭代法是否收敛？为什么？[解]14.给出求解对称正定线性方程组Axb的共轭梯度法的前两步迭代过程。得分评卷人四、综合题（每小题10分，共30分）15.下列程序是最速下降法求解正定方程组Axb（,nnnARbR）的C程序，请补充算法中涉及到的两个C函数。#includemath.hdoubleProduct(double*x,double*y,intn);doubleAProduct(double**A,double*x,double*y,intn);intGrad(double**A,double*b,double*x,intn,doubleeps=1.0e-6,intCND=100000);intGrad(double**A,double*b,double*x,intn,doubleeps,intCND){double*r=newdouble[n];doublealph,norm;inti,k;for(i=0;in;i++)x[i]=0.0;for(i=0;in;i++)r[i]=b[i]-Product(A[i],x,n);norm=sqrt(Product(r,r,n));k=0;while(normeps&&kCND){alph=Product(r,r,n)/AProduct(A,r,r,n);for(i=0;in;i++)x[i]+=alph*r[i];for(i=0;in;i++)r[i]=b[i]-Product(A[i],x,n);k++;norm=sqrt(Product(r,r,n));}if(k=CND)printf(迭代次数超限！结果可能失真！);return(k);}本试卷共6页第5页本试卷共6页第6页16.用Gauss-Seidel迭代法求解Axb的C程序如下。请你将它改造成SOR迭代法的C程序。intG_Seidel(double**B,double*g,double*x,intn,doubleeps,intCND){doubley,norm;inti,j,k;for(i=0;in;i++){for(j=0;ji;j++)B[i][j]/=-B[i][i];for(j=i+1;jn;j++)B[i][j]/=-B[i][i];g[i]/=B[i][i];B[i][i]=0.0;}k=0;do{for(norm=0.0,i=0;in;i++){y=x[i];for(x[i]=g[i],j=0;jn;j++)x[i]+=B[i][j]*x[j];if(normfabs(y-x[i]))norm=fabs(y-x[i]);}k++;}while(normeps&&kCND);if(k=CND)printf(迭代次数已达到最大值,结果可能失真！\n)return(k);}（注：把需要增、删、或改动的内容，在下边空白处说明。）[解]17.众所周知Gauss变换(2)nnkLRkn做为行（列）变换仅改变后nk行（列）。请你根据运用Gaus变换设计一个能把,nnijAaR约化为上Hessenberg型矩阵的算法。[解]