现在控制理论-第五章-状态反馈与状态观测器

第五章状态反馈与状态观测器闭环系统性能与闭环极点位置密切相关。经典控制理论经常利用串联、并联校正装置及调整开环增益使系统具有希望的闭环极点位置；现代控制理论利用状态变量揭示系统内部特性以后，建立了利用状态反馈这一新方式来配置极点，显出更多的优越性。为利用状态变量进行反馈必须测量状态变量，但不是所有状态变量在物理上都能测量，于是进一步提出用状态观测器给出状态估值的问题。因此，极点配置与状态观测器设计是设计系统的主要内容，它们以能控性、能观测性为条件，能构应用在许多复杂的控制系统，如导弹的大迎角控制。导弹大迎角控制第一节状态反馈与极点配置uxAxbyCx(5-1)一、状态反馈系统的动态方程以单输入-多输出受控对象动态方程为例：状态反馈系统动态方程为：vvxAxbkxAbkxbyCx(5-3)(5-4)将对象状态向量通过待设计的参数矩阵即状态反馈行矩阵，负反馈至系统的参考输入，于是存在uvkx(5-2)式中v为纯量，为维向量，为维矩阵，为维向量，为维行矩阵，为维向量，为维矩阵。为闭环状态阵，为闭环特征多项式。二、用状态反馈使闭环极点配置在任意位置上的充要条件是：受控对象能控证明：若式(5-1)所示对象可控，定可通过变换化为能控标准形，有x1nAnnbk1ny1qCqnAbkIAbk1n0100010111,10000020212,100010101,10121nnaaaaqqqnnAbC若在变换后的状态空间内引维状态反馈矩阵：其中分别为由状态变量引出的反馈系数，则变换后的状态反馈系统动态方程为：01kkn，，1xxn，，1nk011kkknk(5-5)xAbkxbv(5-6)yCx(5-7)01000010000100112211akakakaknnAbk式中：该式与仍为能控标准形，故引入状态反馈后，系统能控性不变。特征方程为：显见，任意选择阵的个元素，可使特征方程的个系数满足规定要求，能保证特征值（即闭环极点）任意配置。kn01kkn，，121122111000nnakakaknnakIAbk(5-9)将逆变换代入式(5-6)，可求出原状态空间内的状态反馈系统状态方程：与式(5-3)相比，式(5-10)所示对象应引入状态反馈阵为：需指出，当受控对象可控时，若不具有能控标准形形式，并不必象如上证明那样去化为能控标准形，只要直接计算状态反馈系统闭环特征多项式，这时，其系数为的函数，与给定极点的特征多项式系数相比较，便可确定。xAbkPxbv(5-10)xPxkkkP(5-11)IAbk,,01kknk能控的多输入-多输出系统，经如上类似分析可知，实现闭环极点任意配置的状态反馈阵K为维。若受控对象不稳定，只要有能控性，完全可由状态反馈配置极点使系统稳定。状态变量受控情况下，引入状态反馈表示增加一条反馈通路，它能改变反馈所包围环节的传递特性，即通过改变局部回路的极点来改变闭环极点配置。不能控状态变量与控制量无关，即使引入状态反馈，对闭环极点位置也不会产生任何影响，这是因为传递函数只与系统能控、能观测部分有关的缘故。若不能控状态变量是稳定的状态变量，那么系统还是能稳定的，否则，系统不稳定。pn经典控制理论中用调节开环增益或串、并联校正装置配置极点时，其可调参数有限，而状态反馈的待选参数多了，能使系统性能改善得更好，不过实现状态反馈也是相当复杂的，尤其在系统阶次较高时，测量全部状态变量是需要克服的障碍。三、状态反馈系统的其它特性单输入-多输出或单输出系统，引入状态反馈后，系统闭环零点没有改变，但该性质不适用于多输入-多输出系统。如式(5-1)所示对象经变换后传递矩阵为：1P11110111,11111001,1111,,11110111101,,110snsnnsasasanqqqnnsnssnnnsasasannssqnqqGCIAb(5-12)而引入状态反馈阵后的传递函数阵为：k2G1[()1110111,111()()11110001,1111,,1111011()()111100,,1sIAbknsnnsaksaksaknnqqqnnsnssnnnsaksaksaknnqnGCb110nssqq（5-13）显见式（5-12）与式(5-13)的分子部分相同。要注意到，闭环零点对系统动态性能影响很大，在规定待配置的极点时，必须充分考虑零点的影响。状态反馈不一定能保持受控对象原有的能观测性。不难想象，当任意配置极点导致零、极点相消时，可将原有的能观测性变为不能观测的；也有能能使原有的不能观测性变为能观测的。若受控对象不含零点，状态反馈自然能保持原有能观测性。选择状态反馈阵元素时，要防止数值过大，以免对动态性能产生不良影响及物理实现不易。配置极点时也并非离虚轴愈远愈好，以免造成频带过宽使抗干扰性降低。例5-1设受控对象传递函数为：试用状态反馈使闭环极点配置在。1012ysussss2,1j解：传递函数无零、极点对消，故可控。写出能控标准形实现010011001022023133xxxxuxx1000yx状态反馈阵012kkkk状态反馈系统特征方程：根据两特征方程同次项系数相等的条件，可求出由引出的反馈系数为：故322114640jj123xxx、、441012kkk，，441k例5-2试研究下列受控对象采用状态反馈使闭环极点仅次于位于的可能性。10112sysussss2,1j解：传递函数存在零、极点对消，若通过选状态变量使系统能控（但不能观测），可以配置极点，计算方法同例5-1（略）。若使系统不可控（但可观测），则不能采用状态反馈配置极点，验证如下。将受控对象写成不可控但可观测的实现。01010110021022013033xxxxuxx－状态反馈系统闭环状态阵：闭环特征多项式为：1010100101001200210110102100120120130013kkkkkkkkkAbk－3210103304010201012203010012kkkkkkkkIAbk给定闭环极点的闭环特征多项式为：经比较同次项系数给出：⑵－⑶：与⑴矛盾，故无解，表示不可控系统不能采用状态反馈实现极点配置。32464010120121010113040104220301043kkkkkkkk0110100kk第二节输出反馈与极点配置分两种情况讨论如下：一、输出至状态微分的反馈以多输入-单输出受控对象为例，结构图见图5-3。反馈系统动态方程为：将式(5-15)代入式(5-14)有：yxAxhBu(5-14)xAhcxBu(5-16)ycx(5-15)式中为维向量，为维向量，为纯量，有相应维数，输出反馈阵任意为维列矩阵。用输出至状态微分的反馈阵任意配置极点的充要条件是：受控对象，能观测。x1nu1pyAB、、Ch1nhxAxBuycx证明：当受控对象能观测时，定可通过变换化为能观测标准形，有：若在变换后的状态空间内引入输出反馈阵：0111211212222121010000001000001ppnpnnnaaaaABc则反馈系统状态方程为：011Tnhhhh(5-17)xAhcxBu(5-18)00112211000100010001nnahahahahAhc式中该式与仍为能观测标准形，故引入输出至状态微分的反馈后，系统能观测性不变。特征方程为：由于的元素可任意选择，故特征值可任意配置。当系统中存在不能观测状态变量时，对这些变量不能用输出反馈改变其极点位置，但只要这些变量是稳定的，系统是能稳定的。c11110010nnnnahahahIAhc(5-19)二、输出至输入的反馈以多输入-单输出受控对象为例，结构图见图5-4。反馈系统动态方程为：将式(5-22)代入式(5-21)有：yxAxBvh(5-21)xABhcxBv(5-23)ycx(5-22)式中为维向量，为维矩阵。该式与状态反馈系统动态方程(5-3)相比，若把年看作某特殊的状态反馈阵，便可按状态反馈情况一样处理；但同结构图变换可知，比例状态反馈变换为输出反馈时，输出反馈中必含有各阶微分项阵不是常数矩阵，这在实现时会带来技术上的困难。由此推知，阵是常数矩阵时，便不能任意配置极点，且因此使其应用受到限制。输出至输入的反馈不会改变受对象的能控性和能观测性。v1ph1phckhh第三节状态观测器当确定受控对象是可控的，利用状态反馈配置极点时，需用传感器测量出状态变量以便形成反馈，但传感器通常用来测量输出，许多中间状态变量不易测得，于是提出利用输出量和输入量通过状态观测器（又称状态估计器、重构器）来重构状态的问题。一、状态观测器构成方案设受控对象动态方程为：xAxBuyCx，xy、uxxxABC、、xx式中分别为模拟系统的状态向量估值和输出向量。只要模拟系统与受控对象的初始状态向量相同，在同一输入量作用下，便有，可用作为状态反馈需用的状态信息。但是，受控对象的初始状态可能不相同，模拟系统中积分器初始条件的设置只能预估，因而两个系统的初始状态总有差异，即使两个的阵完全一样，也必存在估计状态与受控对象实际状态的误差，难以实现所需的状态反馈。可建造一个与受控对象