反比例函数的图像和性质的综合应用

1反比例函数的图像和性质的综合应用【基础知识精讲】1、反比例函数：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=kx（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数．反比例函数y=kx（k≠0）还可以写成：①1kxy（k≠0）②kxy（k≠0）.2、反比例函数的概念需注意以下几点：（1）k为常数，k≠0；（2）kx中分母x的指数为1；(3)自变量x的取值范围是x≠0的一切实数；（4）因变量y的取值范围是y≠0的一切实数．3、反比例函数的图象．4、反比例函数y=kx具有如下的性质:性质1、反比例函数kyx（0k）（1）当0k时，图象在一、三象限；在每个象限内，y随x增大而减小；（2）、当0k时，图象在二、四象限；在每个象限内，y随x增大而增大；性质2、反比例函数kyx（0k）的图象是中心对称图形，也是轴对称图形；因此，当点P（a，b）在图象上时，Q（－a，－b）和R（b，a）也在图象上。5、反比例函数y=kx（k≠0）中k的几何意义：过函数y=kx（k≠0）的图像上任一点),(yxp作PM⊥x轴，PN⊥y轴，所得矩形PMON的面积S矩形=∣xy∣=∣k∣,S△POM=21∣k∣。XYOP(x,y)MN2一、【基础训练】1.反比例函y=5mx的图象的两个分支分别在第二、四象限内,那么m的取值范围是()A.m0B.m0C.m5D.m52.设A(x1,y1)、B(x2,y2)是反比例函数y=-2x图象上的两点,若x1x20,则y1与y2之间的关系是()A.y2y20B.y1y20C.y2y10D.y1y203.函数y=(2m2-7m-9)2919mmx是反比例函数,且图象在每个象限内y随x的增大而减小,则m=_____.4.如图,A、B是函数y=1x的图象上关于原点O对称的任意两点,AC平行于y轴,BC平行于x轴,则△ABC的面积为________.5.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，A、B、C在双曲线xy6上，BDx轴于D,CEy轴于E,点，F在x轴上，且AO=AF,则图中阴影部分的面积之和为.6．如图，已知矩形OABC的面积为1003，它的对角线OB与双曲线y=kx交于点D，且OB：OD=5：3，则k=________．7.如图，平行四边形AOBC中，对角线交于点E，双曲线kyx=(k0)经过A、E两点，若平行四边形AOBC的面积为18，则k=.8.如图,直线l和双曲线(0)kykx交于A、B亮点,P是线段AB上的点（不与A、B重合）,过点A、B、P分别向x轴作垂线,垂足分别是C、D、E,连接OA、OB、OP,设△AOC面积是S1、△BOD面积是S2、△POE面积是S3、则（）A.S1＜S2＜S3B.S1S2S3C.S1=S2S3D.S1=S2S39.如图，正方形A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数y＝2x（x＞0）的图像上，顶点A1、B1分别在x轴和y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数y＝2x（x＞0）的图象上，顶点A3在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为xyOCBADxyOCAByFEECBAxO310.如图，已知动点A在函数4(0)yxx的图象上，ABx轴于点B，ACy轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点E，使AE=AC。直线DE分别交x轴于点P，Q。当49QEDP：：时，图中阴影部分的面积等于_______.11．如图所示，已知菱形OABC，点C在x轴上，直线y=x经过点A，菱形OABC的面积是2．若反比例函数的图象经过点B，求此反比例函数表达式。12.如图，一次函数3ykx的图象与反比例函数myx（x0）的图象交于点P，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、点D，且S△DBP=27，12OCCA。（1）求点D的坐标；（2）求一次函数与反比例函数的表达式；（3）根据图象写出当x取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？OABCxyy=xxyAOPBCD413.如图，已知反比例函数)0(kxky的图象经过点（21，8），直线bxy经过该反比例函数图象上的点Q(4，m)．(1)求上述反比例函数和直线的函数表达式；(2)设该直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连结0P、OQ，求△OPQ的面积．14.如图，正比例函数12yx的图象与反比例函数kyx(0)k在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PAPB最小.OMxyA(第14题)5二、【精讲精炼】考点一:与几何图形有关的问题例1如图，已知点1,3在函数0kyxx的图象上，矩形ABCD的边BC在x轴上，E是对角线BD的中点，且该函数图象也经过A、E两点，E点横坐标为m.⑴求k的值；⑵求点C的横坐标；⑶当45ABD时，求m的值.[实战演练]：（1）如图所示，矩形AOCB的两边OC、OA分别位于x轴、y轴上，点B的坐标为5,320B，D是AB边上的一点，将ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在一反比例函数图象上，求该函数解析式.考点二、两图像的交点问题例2．如图，A、B分别是x、y轴上的一点，且OA=OB=1，P是函数y=12x(x0)图象上的一动点，过P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，M、N分别为垂足，PM、PN分别交AB于E、F．(1)证明AF·BE=1．(2)若平行于AB的直线与双曲线只有一个公共点，求公共点的坐标．yOABCDExyOABCDExBAONMEFPCD6xyABCO[实战演练]：1．如图，已知反比例函数y=kx（k0）的图象经过点A（-3，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为3．（1）求k和m的值；（2）若一次函数y=ax+1的图象经过点A，并且与x轴相交于点C，求∠ACO的度数和│AO│：│AC│的值．考点3：相似在反比例函数中的应用例3、如图，已知反比例函数xky1的图象与一次函数bxky2的图象交于A、B两点，)2,1(),,2(BnA．(1)求反比例函数和一次函数的关系式；(2)在直线AB上是否存在一点P，使APO∽AOB，若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由．yOxBAPEDCyOxBA7[实战演练3]如图，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线y＝mx（x＞0）交于点B(2，1)，过点P(p，p－1)（p＞1）作x轴的平行线分别交曲线y＝mx（x＞0）和y＝－mx（x＜0）于M，N两点.（1）求m的值及直线l的解析式；（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；（3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△APM？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由.考点四：反比例函数与方程和不等式例4.如图，已知nA，4，4,2B是一次函数bkxy的图象和反比例函数xmy的图象的两个交点.（1）求反比例函数和一次函数的解析式.（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及AOB△的面积.（3）求方程0xmbkx的解（请直接写出答案）；（4）求不等式0＜xmbkx的解集（请直接写出答案）.8[实战演练4]1.如图，直线bxky1与反比例函数xky2的图象交于A)6,1(，B)3,(a两点．（1）求1k、2k的值；（2）直接写出021xkbxk时x的取值范围；（3）如图，等腰梯形OBCD中，BC//OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由．培优训练1.若M(11,2y),N21(,)4y,P31(,)2y三点都在(0)kykx的图象上,则1y,2y,3y的大小关系为()A.2y3y1yB.2y1y3yC.3y1y2yD.3y2y1y2、如图，已知动点A在函数4(0)yxx的图象上，ABx轴于点B，ACy轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点E，使AE=AC。直线DE分别交x轴于点P，Q。当:4:9QEDP时，图中阴影部分的面积等于_______ABDyECxOP93.如图，ABCD的顶点A，B的坐标分别是A（－1，0），B（0，－2），顶点C，D在双曲线kyx上，边AD交y轴于点E，且四边形BCDE的面积是△ABE面积的5倍，则k=4.如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=k/x的图象交于A、B、两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知A(a,b)，且a∶b=3∶1，OA=10，点B的坐标为（m，-2）。（1）求反比例函数的解析式（2）求一次函数的解析式（3）在y轴上存在一点P，是的△PDC与△ODC相似，请你求出P点的坐标。5.如图，在直角坐标平面内，函数myx（0x，m是常数）的图象经过(14)A，，()Bab，，其中1a．过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，连结AD，DC，CB．（1）若ABD△的面积为4，求点B的坐标；（2）求证：DCAB∥；（3）当ADBC时，求直线AB的函数解析式．xCODBAy106.如图，一次函数的图象与反比例函数（x＜0）的图象相交于A点，与y轴、x轴分别相交于B、C两点，且C（2，0），当x＜－1时，一次函数值大于反比例函数值，当x＞－1时，一次函数值小于反比例函数值．（1）求一次函数的解析式；（2）设函数（x＞0）的图象与（x＜0）的图象关于y轴对称，在（x＞0）的图象上取一点P（P点的横坐标大于2），过P点作PQ⊥x轴，垂足是Q，若四边形BCQP的面积等于2，求P点的坐标．11家庭作业第一部分：选择题1.已知一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限,则函数y=kbx的图象在()A.第一、三象限;B.第二、四象限C.第三、四象限;D.第一、二象限第二部分：填空题2、反比例函数y=21039nnx的图象在每一象限内，y随x的增大而增大，则n的值是______3.（2011贵州遵义）如图，已知双曲线011xxy，042xxy，点P为双曲线xy42上的一点，且PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA、PB分别次双曲线xy11于D、C两点，则△PCD的面积为。4．在平面直角坐标系中，有反比例函数y=1x与y=－1x的图象和正方形ABCD，原点O与对角线AC、BD的交点重叠，且如图所示的阴影部分面积为8，则AB=．第三部分：解答题5.如图，直线2yx与双曲线8yx交于点A、E，直线AB交双曲线于另一点B，与x轴、y轴分别交于点C、D.已知B（m,n），且m∶n=2∶1.直线EB交x轴于点F.⑴求A、B两点的坐标；⑵求证：△COD∽△CBF.