选修2-2导数及其应用----函数的单调性教案

§1.3.1函数的单调性教学目标知识与技能：借助函数的图象了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性；过程与方法：通过本节的学习，掌握利用导数判断函数单调性的方法；情感、态度与价值观：通过实例探究函数的单调性与导数的关系的过程，体会知识间的相互联系和运动变化的观点，提高理性思维能力.教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性；教学难点：利用导数的符号判断函数的单调性；判断复合函数的单调区间及应用.教学过程一、自学导航1．情境：(1)必修一中，如何定义函数单调性的？（2）如何用定义判断一些函数的单调性？一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．2．问题：能否用定义法讨论函数的单调性？学生活动1．讨论函数的单调性.解：取x1＜x2，x1、x2∈R，取值f(x1)－f(x2)＝(x12－4x1+3)－(x22－4x2+3)作差＝(x1－x2)(x1＋x2－4)变形当x1＜x2＜2时，x1＋x2－4＜0，f(x1)＞f(x2)，定号∴y＝f(x)在(－,2)单调递减．判断当2＜x1＜x2时，x1＋x2－4＞0，f(x1)＜f(x2)，∴y＝f(x)在(2,＋∞)单调递增．综上所述y＝f(x)在(－,2)单调递减，y＝f(x)在(2,＋∞)单调递增.2.研究函数的导函数值的符号与单调性之间的关系.二、探究新知1.导数符号与函数单调性之间的关系我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数的图像可以看到：在区间（2，）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即0时，函数y=f(x)在区间（2，）内为增函数；在区间（，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即0时，函数y=f(x)在区间（，2）内为减函数.定义：一般地，设函数y=f(x)在某个区间内有导数.如果在这个区间内0，那么函数y=f(x)在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内0，那么函数y=f(x)在为这个区间内的减函数.说明：（1）如果某个区间内恒有=0，则f(x)等于常数；（2）0（或0）是函数在(a，b）上单调增（或减）的充分不必要条件.2.利用导数确定函数的单调性的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求出函数的导数；(3)解不等式f(x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f(x)＜0，得函数的单调递减区间．三、例题精讲：例1求函数的单调区间.解：=3x2－x－2=0，得x=1，.在（－∞，－）和［1，+∞)上0，f（x）为增函数；在［－，1］上（x）0，f（x）为减函数.所以所求f（x）的单调增区间为（－∞，－]和［1，+∞)，单调减区间为［－，1］.变式题1：求函数的单调区间．答案：增区间为，减区间为变式题2：设函数．求函数的单调区间；解：由，得，若，则当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m若，则当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减..w.k.s.5.u.c.o点评：（1）注意定义域和参数对单调区间的影响；（2）同一函数的两个单调区间不能并起来；（3）求函数的单调区间，求导的方法不是唯一的方法，也不一定是最好的方法，但它是一种一般性的方法.例2若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是.答案：变式题1:若函数有三个单调区间，则实数的取值范围是.答案：变式题2:若函数在（0,1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，则实数的值是.答案：-5变式题3：若函数在上既不是单调递增函数也不是单调递减函数，则整数的值是.答案：-1.m变式题4：若函数的单调递减区间是，则则实数的值是.答案：-8例3设函数在定义域内可导，的图象如图1所示，则导函数可能为答案：④变式题1：如果函数的导函数的图象如下图所示，给出下列判断：①函数在区间内单调递增；②函数在区间内单调递减；③函数在区间内单调递增；④函数的单调递增区间是则上述判断中正确的是____________．答案：③变式题2：已知函数的图象如右图所示(其中是函数的导函数)，下面四个图象中的图象大致是答案：③备选例题：已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，对于任意的，函数在区间上总不是单调函数，求的取值范围；(3)求证：．解：(1)xyO图1xyO①xyO②xyO③yO④xO-22xy1-1-212Oxy-2-221-112O-24xy1-1-212O-22xy-124①②③④当时，的单调增区间为，减区间为；当时，的单调增区间为，减区间为；当时，不是单调函数(2)得，∴，∴∵在区间上总不是单调函数，且∴由题意知：对于任意的，恒成立，所以，，∴(3)令此时，所以，由(Ⅰ)知在上单调递增，∴当时，即，∴对一切成立，∵，则有，∴四、课堂精练1.设f(x)=x2(2-x),则f(x)的单调增区间是.答案：(0,2.已知函数在定义域内可导，其图象如图，记的导函数为，则不等式的解集为.3.若函数在（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围为.答案：a≥34.讨论函数的单调性.答案：函数在上单调递增；在上单调递增五、回顾小结1.判断函数单调性的方法；2.导数符号与函数单调性之间的关系；3.利用导数确定函数的单调性的步骤.分层训练1.函数y=8x2-lnx的单调递增区间是.答案：2．已知，奇函数在上单调，则字母应满足的条件是．答案：a=c=0,3.已知函数在（－∞，+∞）上是增函数，则m的取值范围是.答案：2＜m＜44.若函数在定义域内的一个子区间内不是单调函数,则实数k的取值范围是.答案：5.已知函数,,设．求函数的单调区间；解：，（1）若，由，∴在上单调递增.由，∴在上单调递减.∴的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）若，则在上恒成立，∴在上单调递增.6.已知函数．若函数在区间（-1,1）上不单调．．．，求a的取值范围．答案：（-5，-1）六、拓展延伸1.已知函数在上是增函数，在（0，2）上是减函数，且方程f(x)=0有三个根，它们分别是.(1)求c的值；（2）求证：；（3）求的取值范围.（1）解：，由条件知，.（2）证明：由得，∵f(x)在（0，2）上是减函数，即，又.（3）解：由f(x)=0有三个根分别是，是方程的两根，由（2）可知.2.已知,函数.（1）当a=1时，求函数f(x)的单调递增区间；（2）函数f(x)是否在R上单调递减，若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由；（3）若函数f(x)在上单调递增，求a的取值范围.解:(1)当a=1时,,.令即,即，解得.所以函数f(x)的单调递增区间是.(2)若函数f(x)在R上单调递减,则对都成立,所以对都成立,即对都成立.,解得.当时,函数f(x)在R上单调递减.(3)解法一：∵函数f(x)在[-1,1]上单调递增,对都成立,对都成立.令，则，解得.解法二：函数f(x)在上单调递增,对都成立,对都成立.即对都成立.令,则.当时，；当时，.在上单调递减,在上单调递增.，在上的最大值是1..七、课后作业八、教学后记：