信号与系统(第三版)西安电子科技大学出版社陈生潭第1-5章-第5章

第五章离散信号与系统的时域分析5.1离散时间基本信号5.2卷积和5.3离散系统的描述5.4离散系统零状态响应5.5离散系统零状态响应5.6差分方程的经典解法5.1离散时间基本信号5.1.1离散时间信号1.定义连续信号是连续时间变量t的函数，记为f(t)。离散信号是离散时间变量tk（k为任意整数）的函数，记为f(tk)。2.表示（a）图形表示f(tk)……t-3t-2t-1t1ot2t3tk(a)f(kT)……－3TokT(b)－2T－TT2T3Tf(k)……－3ok(c)－2－1123（tk－t(k－1)）图a中为变数；在图b，c中为常数。序列序列值序号（b）解析表示0001kkk)()(kk5432101其余10)(kekfk（c）集合表示，，，，，，，043210k＝05.1.2离散基本信号1.单位脉冲序列0001kkk)((k)－1ok－2121位移单位脉冲序列00001kkkkkk)(2.正弦序列)cos()(kAkf0)(:或度相位：）：数字角频率（振幅radradA0连续正弦信号是周期信号，但正弦序列不一定是周期序列。])(cos[cos)cos()cos()(NkAmkAmkAkAkf0000022式中，m、N均为整数，只有满足02mN为整数，或者mN02当为有理数时，正弦序列才是周期序列；否则为非周期序列。如果正弦序列是由连续正弦信号通过抽样得到，设正弦。则，抽样周期为的周期为sTTt00cos)cos(cos)cos()(kkTTtkfskTts0002式中：002TTs代入式mN02得：mNTTs002才为周期序列。为有理数时要求)(tfTTs03.复指数序列，则有：，且，设复数rejeAAj0)sin()[cos()()()()(kjkrAerAeeAeeAAekfkkjkjkkjjk00000可见，复指数序列的实部和虚部均为幅值按指数规律变化的正弦序列。如下页图所示r1时，f(t)的实虚部均为指数增长的正弦序列。r1时，f(t)的实虚部均为指数减小的正弦序列。r＝1时，f(t)的实虚部均为正弦序列。4.Z序列kzkf)(z为复数连续、离散基本信号对应关系单位冲激信号正弦信号虚指数信号复指数函数单位脉冲序列正弦序列虚指数序列复指数序列)()cos()cos()()(00kkstkjtjzeeAeAekAtAkt或5.2卷积和5.2.1卷积和的定义连续信号卷积积分dtfftftftf)()()()()(2121离散信号卷积和iikfifkfkfkf)()()()()(2121显然，按定义有02121iikfifkfkkf)()()()()(kiikfifkkfkf)()()()()(2121kiikfifkkfkkf02121)()()()()()(因果序列5.2.2图解机理iikfifkfkfky)()()()()(2121步骤：翻转、平移、相乘、求和。。步得卷积序列、变化，重复到＋由－令的卷和值。相乘、求和得序号。－得平移－将。－得翻转的图形。、画出)(..)()(.)()(.)()(.kykstepkstepikfkifstepififstepififstep4354318021222221例：*)()()()()()()()()()()()()()()()(.21122122110020102010212123kkkfkkfkkfkkfkkfkkfkkfkkfkkfkfkkfkkfkfkfkfkf，则若)()()()()(.kfkfkkkf2有限长序列的卷和计算*中间累加结果不进位。*任一乘积项结果序号等于f1(i)中i与f2(k-i)中(k-i)两序号之和。1.代数性质：交换律、结合律、分配律。卷积和性质5.2.3常用序列卷积和公式卷积积分卷积和)()()(tfttf。1tdxxftttf02)()()()(。)()()()()()()()()()()()(kakkakakekkekekkkkkkkkkk111)()()(kfkkf)()()()()()(tettetettttttt。3kiifkkkf0)()()()()()1(01)()()()(1)()(4212121tetteteetetetttttt。)()()()()()()()(kaakkakaaaakakakkkkkk1111112112121)(111)()()(1)()()1()1()1(212121keekkekeeeekekekkkkkk5.3离散系统的描述一.LTI离散时间系统1.输入输出模型离散系统f(k)y(k)设k0为初始观察时刻，则可将系统的输入区分为两部分，称k0以前的输入为历史输入信号，称k0及k0以后的输入为当前输入信号或简称输入信号。根据引起系统响应的原因不同，可将输出响应区分为零输入响应yx(k)零状态响应yx(k)和完全响应y(k)。tnkxkxkxkx)()()()(21，，，)()()()(002010kxkxkxkxn，，，)()()(00kykkfkkkx的输出时刻唯一确定上的输入，区间数据2.状态和状态变量系统在k0时刻的状态是一组最少数目的数据：同时满足：而不必具体知道k0以前的输入情况。系统阶数＝独立数据数目n状态变量是描述系统状态变化的变量，记为：初始观察时刻（通常设k0=0）的状态称为初始状态，记为x(0),代表全部历史输入信号对系统的作用效果。22112211221121212121yyyffyyfyyfyffffff＝，并且：＝＝满足，响应、和常数、性：系统对任意激励线共同激励、单独激励单独激励21212211212121yyyffyyfyyfyffffff＝，并且：＝＝满足，响应、励叠加性：系统对任意激共同激励、单独激励单独激励yfyfyf且满足，响应和常数励齐次性：系统对任意激3.线性和线性系统)()()()(00kkykkfkykfff，且若态呈线性对于历史输入或初始状)(kyx满足线性对于激励)()(kfkyf)()()(kykykyfx线性系统/非线性系统，满足以下三个条件的系统是线性系统，否则是非线性系统。（1）响应的可分解性：（2）零输入线性：（3）零状态线性：4.时不变性和时不变系统时不变性：时不变系统：具有时不变性或参数不随时间改变的系统。5.因果性和因果系统因果性：响应不会出现在激励作业之前。因果系统：满足因果性的系统。二.差分方程描述LTI连续系统：N阶线性常系数微分方程；LTI离散系统：N阶线性常系数差分方程（后向）。)()()1()(nkfkfEkfkEfEn；：超前算子)()1()1()()()2()1()(011021mkfbmkfbkfbkfbnkyakyakyakymmnn初始条件历史条件：y(-1)、y(-2)、…、y(-n)当前条件：y(0)、y(1)、…、y(n-1)三.算子方程描述1.差分算子)()()1()(11nkfkfEkfkfEEn－；－：滞后算子－－－)()()()1(0221102211kfEbEbEbbkyEaEaEammmmnnn2.算子方程或写成：)()()()(1)(011011kfEAEBkfEaEaEbEbbkynnmmm)()()(EHEAEB差分方程。，相应差分方程为后向中应用滞后算子1)(EEH式中称为系统传输算子。四.框图、信号流图表示例1：LTI离散系统差分方程)()2(3)1(2)(kfkykyky（二阶系统）解：算子方程：)()()321(21kfkyEE)(3)(2)()(21kyEkyEkfky或传输算子：213211)(EEEH方框图、信号流图见下页信号流图方框图)()654()(21kxEEky)(3)(2)()()()()321(2121kxEkxEkfkxkfkxEE)2()1()()()()()()(kxEBkykfkxEA)()(1)()()()()()()(kfEAkxkxEBkfEAEBky例2：LTI二阶离散系统：)2(6)1(5)(4)2(3)1(2)(kfkfkfkykyky算子方程：)()654()()321(2121kfEEkyEEA(E)B(E)或写成：等效方程：由(1)式得：由(2)式得：信号流图)2(0)()(1krckyrEEAkxrkykyxx)()1()1(00)()(kkyEAx)()()()(kfEBkyEA5.4离散系统零输入响应一.零输入响应满足方程系统算子方程按定义，零输入响应yx(k)是f(k)=0时，仅由初始状态X(0)或历史输入产生的响应。故有yx(k)应满足方程和初始条件yx(0),yx(1)，…，yx(n-1)的解。二.简单系统的零输入响应1.A(E)=E-ryx(k)满足方程(E-r)yx(k)=0即yx(k+1)-ryx(k)=0公比为r的等比级数0)(1krckykx结论0)(2211krcrcrckykggkkxgikyrExi,,3,2,10)()()())(()(21grErErEEA)5()()()()(101110kdjjjkddxdrkcrkckcckyrEEA)4()()())(()(121gikiixgrckyrErErEEA2.yx(k)满足方程：)3(0)()())((21kyrErErExg由于方程必定也是方程(3)的解，依据差分方程解的结构定理有结论3.drEEA)()(（证明见page225）结论：gikyrEiixdi,,2,10)()(0)()(1kyrExgidiigirkckyiidjkijijx,,2,1)()(10式(2)、(4)、(5)中待定系数均由yx(k)的初始条件确定。Step2求解方程得到各极点相应的零输入响应分量Step3写出系统的零输入响应三.一般系统的零输入响应由离散系统传输算子H(E)求yx(k)的步骤：Step1求解方程A(E)=0,得到H(E)的相异极点r1,r2,...,rg及相应的阶数d1,d2,…,dg,写出yx(k)求解方程kkxkxkxkccckykcckycky)5.0)(()2.0()()5.0)(()()2.0()(21201021201021gigidjkijijxxkrkckykyii11100)()()(22)5.0)(2.0(15.0)(EEEEEHijcStep4由yx(k)初始条件确定诸待定系数例：已知离散系统传输算子初始条件yx(0)=2，yx(1)=0.2，yx(2)=－0.21，求yx