【新步步高】2017版高考数学(文江苏专用)大二轮总复习与增分策略专题二函数与导数 第4讲导数的热点

第4讲导数的热点问题专题二函数与导数栏目索引高考真题体验1热点分类突破2高考押题精练3(2016·课标全国乙)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2有两个零点．(1)求a的取值范围；高考真题体验解析答案(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1＋x22.证明不妨设x1x2，由(1)知，x1∈(－∞，1)，x2∈(1，＋∞)，2－x2∈(－∞，1)，f(x)在(－∞，1)上单调递减，所以x1＋x22等价于f(x1)f(2－x2)，即f(2－x2)0.由于f(2－x2)＝－x2＋a(x2－1)2，而f(x2)＝(x2－2)＋a(x2－1)2＝0，所以f(2－x2)＝－x2－(x2－2).设g(x)＝－xe2－x－(x－2)ex，则g′(x)＝(x－1)(e2－x－ex)，所以当x1时，g′(x)0，而g(1)＝0，故当x1时，g(x)0，从而g(x2)＝f(2－x2)0，故x1＋x22.解析答案22ex2ex22ex2ex利用导数探求函数的极值、最值是函数的基本问题，高考中常与函数零点、方程根及不等式相结合，难度较大．考情考向分析返回热点一利用导数证明不等式用导数证明不等式是导数的应用之一，可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值，以及构造函数解题的能力．热点分类突破例1已知函数f(x)＝ex－x2＋a，x∈R，曲线y＝f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为y＝bx.(1)求函数y＝f(x)的解析式；解根据题意，得f′(x)＝ex－2x，则f′(0)＝1＝b.由切线方程可得切点坐标为(0,0)，将其代入y＝f(x)，得a＝－1，故f(x)＝ex－x2－1.解析答案解析答案证明令g(x)＝f(x)＋x2－x＝ex－x－1.由g′(x)＝ex－1＝0，得x＝0，当x∈(－∞，0)时，g′(x)0，g(x)单调递减；当x∈(0，＋∞)时，g′(x)0，g(x)单调递增．∴g(x)min＝g(0)＝0，∴f(x)≥－x2＋x.(2)当x∈R时，求证：f(x)≥－x2＋x；解析答案思维升华(3)若f(x)kx对任意的x∈(0，＋∞)恒成立，求实数k的取值范围．解析答案证明设φ(x)＝f(x)－1－a1－1x＝alnx－a1－1x(x0)，则φ′(x)＝ax－ax2.跟踪演练1已知函数f(x)＝alnx＋1(a0)．(1)当x0时，求证：f(x)－1≥a1－1x；令φ′(x)＝0，则x＝1，当0x1时，φ′(x)0，所以φ(x)在(0,1)上单调递减；当x1时，φ′(x)0，所以φ(x)在(1，＋∞)上单调递增，故φ(x)在x＝1处取到极小值也是最小值，故φ(x)≥φ(1)＝0，即f(x)－1≥a1－1x.解析答案令g(x)＝x－1lnx(1xe)，则g′(x)＝lnx－x－1xlnx2.(2)在区间(1，e)上f(x)x恒成立，求实数a的取值范围．解由f(x)x得alnx＋1x，即ax－1lnx.故h(x)在区间(1，e)上单调递增，所以h(x)h(1)＝0.因为h(x)0，所以g′(x)0，即g(x)在区间(1，e)上单调递增，令h(x)＝lnx－x－1x(1xe)，则h′(x)＝1x－1x20，则g(x)g(e)＝e－1，即x－1lnxe－1，所以a的取值范围为[e－1，＋∞)．热点二利用导数讨论方程根的个数方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的走势，通过数形结合思想直观求解．解析答案例2已知函数f(x)＝(ax2＋x－1)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R.(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；解当a＝1时，f(x)＝(x2＋x－1)ex，所以f′(x)＝(x2＋x－1)ex＋(2x＋1)ex＝(x2＋3x)ex，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为k＝f′(1)＝4e.又因为f(1)＝e，所以所求切线的方程为y－e＝4e(x－1)，即4ex－y－3e＝0.思维升华(2)若a＝－1，函数y＝f(x)的图象与函数g(x)＝13x3＋12x2＋m的图象有3个不同的交点，求实数m的取值范围．解析答案跟踪演练2已知函数f(x)＝2lnx－x2＋ax(a∈R)．(1)当a＝2时，求f(x)的图象在x＝1处的切线方程；解当a＝2时，f(x)＝2lnx－x2＋2x，f′(x)＝2x－2x＋2，切点坐标为(1,1)，切线的斜率k＝f′(1)＝2，则切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.解析答案(2)若函数g(x)＝f(x)－ax＋m在1e，e上有两个零点，求实数m的取值范围．解析答案热点三利用导数解决生活中的优化问题生活中的实际问题受某些主要变量的制约，解决生活中的优化问题就是把制约问题的主要变量找出来，建立目标问题即关于这个变量的函数，然后通过研究这个函数的性质，从而找到变量在什么情况下可以达到目标最优．解析答案例3某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；思维升华(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．解因为V(r)＝π5(300r－4r3)，故V′(r)＝π5(300－12r2)，令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因为r2＝－5不在定义域内，舍去)．当r∈(0,5)时，V′(r)0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r∈(5,53)时，V′(r)0，故V(r)在(5,53)上为减函数．由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．解析答案解析答案跟踪演练3经市场调查，某商品每吨的价格为x(1x14)百元时，该商品的月供给量为y1万吨，月需求量为y2万吨，当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量，该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积．y1＝ax＋72a2－a(a0)；y2＝－1224x2－1112x＋1.(1)若a＝17，问商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？解析答案返回(2)记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，求实数a的取值范围．解设f(x)＝y1－y2＝1224x2＋(1112＋a)x＋72a2－1－a，因为a0，所以f(x)在区间(1,14)上是增函数，若该商品的均衡价格不低于6百元，即函数f(x)在区间[6,14)上有零点，所以f6≤0，f140，即7a2＋10a－117≤0，72a2＋13a0，解得0a≤17.押题依据高考押题精练已知函数f(x)＝12x2－(2a＋2)x＋(2a＋1)lnx.解析答案(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间；(3)对任意的a∈32，52，x1，x2∈[1,2]，恒有|f(x1)－f(x2)|≤λ|1x1－1x2|，求正实数λ的取值范围．返回