现代控制理论总结

现代控制理论复习一、线性系统的状态空间描述状态：状态是指系统的运动状态。1.1状态空间描述状态变量：系统状态是由描述系统的最小一组变量来确定，这组最小变量就是系统的状态变量[x1(t),x2(t),…,xn(t)].状态向量：12()()()()nxtxttxtx由状态变量组成的列矩阵。状态空间表达式：状态方程是描述状态变量与输入信号之间关系的一阶微分方程组。状态方程：输出方程：描述系统输出量与状态变量、输入信号之间关系的数学表达式。()()()ttutxAxb()()()yttutcxd1根据系统机理建立状态空间表达式2根据传递函数(微分方程)建立状态空间表达式1.2建立状态空间表达式2根据传递函数（微分方程）建立状态空间表达式()(1)(2)()12100...nnnmnnmyayayayaybubuy输出u输入考虑单入单出的线性定常系统：相应的传递函数为：11101110()mmmmnnnbsbsbsbGssasasamn相应的微分方程为：传递函数没有零点()(1)(2)12100...nnnnnyayayayaybu01110()nnnbGssasasa011010100000110100nnnnuaaabyxxx能控标准形传递函数有零点11101110()mmmmnnnbsbsbsbGsmnsasasa11101110()nnnnnnssGsbsasasaN()()nsbDsmn当先考虑这种情况：11101110()()()()()()()1.()nnnnnYsZsYsGsUsUsZssssasasa01111asasasnnn0111ssnnuzy0nb当时:11101110()()()nnnnnssYsGsUssasasaN()()sDs（1）串连分解120111nnnxxxxy,xAxbuycxA——友矩阵A，b——可控标准型写向量-矩阵形式的动态方程AbxxC011101000001101nnnnuaaaxx0nb当时:bny2+01111asasasnnn0111ssnnuzyy1+)()()()()()(11sZsYsUsZsUsY1()()()nYsYsbUs状态方程不变，A，b阵不变nbuycx1122110110100000100101nnnnnxxxxuxxxaaax120111nnnnxxybuxxN()()sDs（2）并联分解法12()()()()nDssss12()()()()()()()()()nYsNsNsGsUsDssss1212nncccsss1()()niiicYsUss令1()()iixsUss()()()iiisxsxsUs()()()iiisxsxsUs()()()iiixtxtut111()()()xtxtut展开，得222()()()xtxtut()()()nnnxtxtut11()()()niiiniiicYsUsscxt1122()()()nnycxtcxtcxt1112224111nnxxxxuxx1212nnxxycccx化成了n个彼此独立的系统－－解耦N()()sDs（3）含重极点314()()()()nDssss131112324111()()()()()()niiiccccNsGsDsssss若其它变量选取与单实极点相同状态变量选取:123211111111()()()()()()()()xsUsUsxsssss23211111111()()()()()()()()xsUsUsxsssss311()()()xsUss1111112112131134441010111nnnxxxxxxuxxxx1112134[]nycccccx约当标准型二、线性定常连续系统状态方程的解0()()(0)ttxAxxx1.齐次状态方程的解2211()()(0)2!(0)kktttttkeAxIAAAxx2201112!!tkkkkkettttkkAIAAAA『定义』：矩阵指数teA()tteA(0)x()tx又称为状态转移矩阵，记为teA11()[()]tteLsAIA求解的关键：求状态转移矩阵()t根据拉普拉斯矩阵法：2.状态转移矩阵的运算性质(1)(0)I(2)()()()tettAtAAA是下面微分方程的唯一解()t()()ttA(0)I上式表明：(0)A(3)1212()1212()()()tttttteeettAAA121221()()()()()tttttt(4)100()()tttt(5)2211()()()ttttxx(6)211020()()()tttttt(7)()()ktkt3.非齐次状态方程的解()()()tttxAxBu在输入作用下的响应。()00()(0)()()(0)()()ttttteedttdAAxxBuxBu对输入作用的响应对初始状态的响应三、传递矩阵1.传递矩阵()()()()()()ttttttxAxBuyCxDu初始条件为零时，进行拉氏变换()()()ssssXAXBu()()()sssYCXDu1()[()]()()()sssssYCIABDUGU1()()ssGCIABD1111211221222212()()()()()()()()()()()()()()()ppqqqqppYsGsGsGsUsYsGsGsGsUsYsGsGsGsUs()sY－－q维()sU－－p维()sG－－qxp维对于多输入多输出系统：2.特征方程和特征值0sIA令为特征方程0sIA的根为特征值(1,2,,)iin3.特征向量(1,2,,)iPin设A阵具有不相同的特征值(λi)，如果一个非零的向量pi，满足下式：iiiPPA称pi为特征向量。4.状态方程的线性变换选取不同的状态变量有不同形式的状态方程，两组状态变量之间存在着线性变换。xAxbuycxxAxbuycxxpxP变换，12npppp变换矩阵：11ApApbpb这里ycxcpxcxccp对系统作线性非奇异变换，其特征值不变。化A阵为对角阵a)A阵具有不相同的实数特征值，即λi121nΛpAp12nppppP阵由A阵的实数向量Pi组成iiiPPA特征向量满足：b)若A阵为友矩阵，且有n个互不相同的实数特征值λi01101000011nAaaa122221212111nnnnnnP则范德蒙特矩阵使A对角化:四、线性离散系统状态空间表达式的建立及其解(1)从差分方程状态方程1100()(1)(1)()()nyknayknaykaykbuk4.1离散系统状态空间表达式建立0110010000010(1)()()10nkkkaaabxxu1()()100()ykxkkx(2)从脉冲函数状态方程11101110()()()nnnnnnnbzbzbzbYzGzUzzazaza11101110nnnnnnzzbbzazaza011010000010(1)()()101nkkkaaaxxu1011()()()()nnykxkkbukx(1)()()()()()kkkkkkxGxhuycxdu离散系统状态方程：4.2定常连续系统状态方程离散化微分形式状态方程差分形式状态方程离散化(1)()((1))kTkTGTkTdB()()tTTt()()()ykkkCxDu(1)()()()()kTkGTkxxu离散化状态方程：4.3定常离散系统状态方程的解(1)()()()()kTkGTkxxu110()()(0)()()()kkkiixkTxTGTui离散状态方程的解如果()0(0,1,,1)uiik()()(0)()(0)()(0)kxkTxkTxkx()k离散状态转移矩阵输出方程：110()()(0)()()()()kkkiiykTxTGTuikCCDu()()()ykkkCxDu如果系统所有状态变量的运动都可以由输入来影响和控制而由任意的初态达到任意期望的状态，则系统是完全可控的，或者状态完全可控；否则，就称系统是不完全可控的。如果系统所有状态变量的运动都可以由输出来完全反映，则称系统是状态完全可观测的；否则，就称系统是不完全可观的。状态完全可控：状态完全可观：五、可控与可观测性判别准则1[][]nranksranknBABABn为矩阵A的维数。5.1线性定常连续系统的可控性可控标准型011101000001101nnnnuaaaxx只要系统状态可控，一定可以变换到“可控标准型”对角线规范型12nxxBu111212122212ppnnnprrrrrrrrrBi互不相同充要条件：当A为对角阵时，可控充要条件是：B阵中任何行向量不是零向量。A阵是约当阵J111111212313444111pnnpnnnrrxxxxxxuxxrrxxJ矩阵中约当块，最后一行对应B阵中的行向量不是零向量。判定准则：5.2输出可控性定义：如果存在一个无约束控制函数u(t)，在有限时间间隔(t0~tf)内，将输出由任意初始状态Y(t0)转移到终端状态Y(tf)，则称系统是输出完全可控的，简称输出可控。判别准则10[][]nranksrank