【课堂新坐标】2018版高中数学(人教A版必修4)同步必考部分第2章2.22.2.2向量减法运算及其

上一页返回首页下一页学业分层测评阶段一阶段二阶段三2．2.2向量减法运算及其几何意义上一页返回首页下一页1．理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量相减的意义．(难点)2．掌握向量减法的运算及其几何意义，能熟练地进行向量的加减运算．(重点)3．能将向量的减法运算转化为向量的加法运算．(易混点)上一页返回首页下一页[基础·初探]教材整理1相反向量阅读教材P85探究以下至倒数第九行以上内容，完成下列问题．1．定义：如果两个向量长度______，而方向______，那么称这两个向量是相反向量．2．性质：(1)对于相反向量有：a＋(－a)＝0.(2)若a，b互为相反向量，则a＝____，a＋b＝___.(3)零向量的相反向量仍是________．相等相反零向量－b0上一页返回首页下一页设b是a的相反向量，则下列说法错误的有________．①a与b的长度必相等；②a∥b；③a与b一定不相等；④a是b的相反向量．【解析】因为0的相反向量是0，故③不正确．【答案】③上一页返回首页下一页教材整理2向量的减法阅读教材P85倒数第九行至P86例3以上内容，完成下列问题．1．定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的__________．2.作法：在平面内任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则向量a－b＝BA→，如图2­2­11所示．3．几何意义：a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．相反向量图2­2­11上一页返回首页下一页在△ABC中，D是BC的中点，设AB→＝c，AC→＝b，BD→＝a，AD→＝d，则d－a＝________.【解析】d－a＝d＋(－a)＝AD→＋DB→＝AB→＝c.【答案】c上一页返回首页下一页[小组合作型]向量减法及其几何意义(1)AC→可以写成：①AO→＋OC→；②AO→－OC→；③OA→－OC→；④OC→－OA→.其中正确的是()A．①②B．②③C．③④D．①④上一页返回首页下一页(2)化简：①AB→＋OA→－OB→＝________；②AB→＋(BD→＋CA→)＋DC→＝________；③OB→－OA→－OC→－CO→＝________.上一页返回首页下一页【精彩点拨】(1)用三角形法则求向量和的关键是“首尾相连”，用平行四边形法则求向量和的关键是“共起点”．(2)求两个向量的减法可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后用加法a＋(－b)即可，也可以直接用向量减法的三角形法则，即把减向量与被减向量的起点重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点．上一页返回首页下一页【自主解答】(1)因为AO→＋OC→＝AC→，OC→－OA→＝AC→，所以选D．(2)①AB→＋OA→－OB→＝AB→＋(OA→－OB→)＝AB→＋BA→＝0；②AB→＋(BD→＋CA→)＋DC→＝(AB→＋BD→)＋(DC→＋CA→)＝AD→＋DA→＝0；③OB→－OA→－OC→－CO→＝(OB→－OA→)－(OC→＋CO→)＝AB→.【答案】(1)D(2)①0②0③AB→上一页返回首页下一页1．向量加法与减法的几何意义的联系：如图所示，平行四边形ABCD中，若AB→＝a，AD→＝b，则AC→＝a＋b，DB→＝a－b.上一页返回首页下一页2．向量加减法化简的两种形式：(1)首尾相连且为和．(2)起点相同且为差．做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用．上一页返回首页下一页[再练一题]1．下列各式中不能化简为AD→的是()A．(AB→－DC→)－CB→B．AD→－(CD→＋DC→)C．－(CB→＋MC→)－(DA→＋BM→)D．－BM→－DA→＋MB→上一页返回首页下一页【解析】选项A中，(AB→－DC→)－CB→＝AB→＋CD→＋BC→＝AB→＋BC→＋CD→＝AD→；选项B中，AD→－(CD→＋DC→)＝AD→－0＝AD→；选项C中，－(CB→＋MC→)－(DA→＋BM→)＝－CB→－MC→－DA→－BM→＝BC→＋CM→＋AD→＋MB→＝(MB→＋BC→＋CM→)＋AD→＝AD→.【答案】D上一页返回首页下一页利用已知向量表示其他向量如图2­2­12所示，已知OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，OD→＝d，OE→＝e，OF→＝f，试用a，b，c，d，e，f表示：图2­2­12(1)AD→－AB→；(2)AB→＋CF→；(3)BF→－BD→.上一页返回首页下一页【精彩点拨】运用三角形法则和平行四边形法则，将所求向量用已知向量a，b，c，d，e，f的和与差来表示．【自主解答】(1)∵OB→＝b，OD→＝d，∴AD→－AB→＝BD→＝OD→－OB→＝d－b.(2)∵OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，OF→＝f，∴AB→＋CF→＝(OB→－OA→)＋(OF→－OC→)＝b＋f－a－c.(3)∵OD→＝d，OF→＝f，∴BF→－BD→＝DF→＝OF→－OD→＝f－d.上一页返回首页下一页1．解决此类问题应搞清楚图形中的相等向量、相反向量、平行向量以及构成三角形三向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．2．通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决问题时，运算过程中，将“－”改为“＋”，只需把表示向量的两个字母的顺序颠倒一下即可，如“－AB→”改为“BA→”．上一页返回首页下一页[再练一题]2.如图2­2­13，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且AB→＝a，AC→＝b，AE→＝c，试用a，b，c表示向量BD→，BC→，BE→，CD→及CE→.【导学号：00680039】图2­2­13上一页返回首页下一页【解】∵四边形ACDE为平行四边形，∴CD→＝AE→＝c，BC→＝AC→－AB→＝b－a，BE→＝AE→－AB→＝c－a，CE→＝AE→－AC→＝c－b，∴BD→＝BC→＋CD→＝b－a＋c.上一页返回首页下一页[探究共研型]向量减法的三角不等式及其取等条件探究1若|AB→|＝8，|AC→|＝5，则|BC→|的取值范围是什么？【提示】由BC→＝BA→＋AC→及三角不等式，得|BA→|－|AC→|≤|BA→＋AC→|≤|BA→|＋|AC→|，又因为|BA→|＝|AB→|＝8，所以3≤|BC→|＝|BA→＋AC→|≤13，即|BC→|∈[3,13]．上一页返回首页下一页探究2已知向量a，b，那么|a|－|b|与|a±b|及|a|＋|b|三者具有什么样的大小关系？【提示】它们之间的关系为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.(1)当a，b有一个为零向量时，不等式显然成立．(2)当a，b不共线时，作OA→＝a，AB→＝b，则a＋b＝OB→，如图(1)所示，根据三角形的性质，有||a|－|b|||a＋b||a|＋|b|.同理可证||a|－|b|||a－b||a|＋|b|.上一页返回首页下一页(3)当a，b非零且共线时，①当向量a与b同向时，作法同上，如图(2)所示，此时|a＋b|＝|a|＋|b|.②当向量a，b反向时，不妨设|a||b|，作法同上，如图(3)所示，此时|a＋b|＝|a|－|b|.综上所述，得不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.上一页返回首页下一页已知菱形ABCD的边长为2，则向量AB→－CB→＋CD→的模为________；|AC→|的范围是________．【精彩点拨】画出平行四边形数形结合求解．【自主解答】因为AB→－CB→＋CD→＝AB→＋BC→＋CD→＝AD→，又|AD→|＝2，所以|AB→－CB→＋CD→|＝|AD→|＝2.又因为AC→＝AB→＋AD→，且在菱形ABCD中，|AB→|＝2，所以||AB→|－|AD→|||AC→|＝|AB→＋AD→||AB→|＋|AD→|，即0|AC→|4.【答案】2(0,4)上一页返回首页下一页利用“三角形法则、平行四边形法则”把向量问题转化为平面几何的问题，然后利用平面几何中的方法进行数量的计算或位置关系的判断也是本节的一个解题技巧，采用数形结合的方法常可以简化运算，达到巧解的目的.上一页返回首页下一页[再练一题]3．已知|a|＝6，|b|＝8，且|a＋b|＝|a－b|，求|a－b|.【解】如图，作OA→＝a，OB→＝b，再以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则有OC→＝a＋b，BA→＝a－b，即|a＋b|与|a－b|是平行四边形的两条对角线的长度，又因为|a＋b|＝|a－b|，所以该四边形为矩形，从而|a－b|＝62＋82＝10.上一页返回首页下一页1．在△ABC中，若BA→＝a，BC→＝b，则CA→等于()A．aB．a＋bC．b－aD．a－b【解析】CA→＝BA→－BC→＝a－b.故选D．【答案】D上一页返回首页下一页2．如图2­2­14，在四边形ABCD中，设AB→＝a，AD→＝b，BC→＝c，则DC→＝()图2­2­14A．a－b＋cB．b－(a＋c)C．a＋b＋cD．b－a＋c【解析】DC→＝DA→＋AB→＋BC→＝a－b＋c.【答案】A上一页返回首页下一页3．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()【导学号：70512026】A．EF→＝OF→＋OE→B．EF→＝OF→－OE→C．EF→＝－OF→＋OE→D．EF→＝－OF→－OE→【解析】因为O，E，F三点不共线，所以在△OEF中，由向量减法的几何意义，得EF→＝OF→－OE→，故选B．【答案】B上一页返回首页下一页4．已知OA→＝a，OB→＝b，若|OA→|＝5，|OB→|＝12，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝________.【解析】如图，在矩形OACB中，OA→－OB→＝BA→，则|a－b|＝|BA→|＝|a|2＋|b|2＝52＋122＝13.【答案】13上一页返回首页下一页5．化简(AB→－CD→)－(AC→－BD→)．【解】法一：(AB→－CD→)－(AC→－BD→)＝AB→－CD→－AC→＋BD→＝AB→＋DC→＋CA→＋BD→＝(AB→＋BD→)＋(DC→＋CA→)＝AD→＋DA→＝0.法二：(AB→－CD→)－(AC→－BD→)＝AB→－CD→－AC→＋BD→＝(AB→－AC→)＋(DC→－DB→)＝CB→＋BC→＝0.