湖北省2016-2017学年高一数学下学期期末试卷-理(含解析)

湖北省武汉市部分重点中学2016-2017学年高一（下）期末数学试卷（理科）　一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．）1．设a，b∈R，若a﹣|b|＞0，则下列不等式中正确的是（　　）　A．b﹣a＞0B．a3+b3＜0C．a2﹣b2＜0D．b+a＞0　2．若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（　　）　A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2　C．若a＜b，则＞D．若a＞b＞0，则＞　3．规定记号“⊙”表示一种运算，定义a⊙b=+a+b（a，b为正实数），若1⊙k2＜3，则k的取值范围为（　　）　A．﹣1＜k＜1B．0＜k＜1C．﹣1＜k＜0D．0＜k＜2　4．不等式ax2﹣（a+2）x+2≥0（a＜0）的解集为（　　）　A．B．C．D．　5．一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′=1，那么原△ABO的面积是（　　）1　A．B．C．D．2　6．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM与ED平行②CN与BE是异面直线③CN与BM成60°角④DM与BN是异面直线以上四个命题中，正确的命题序号是（　　）　A．①②③B．②④C．③④D．②③④　7．如图，取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R的半球放在同一水平面α上．用一平行于平面α的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）．设截面面积分别为S圆和S圆环，那么（　　）　A．S圆＞S圆环B．S圆=S圆环C．S圆＜S圆环D．不确定　28．已知一个棱锥的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个棱锥的侧面积是（　　）　A．4cm2B．12cm2C．8+4cm2D．4+4+2cm2　9．已知x＞，则函数y=4x+取最小值为（　　）　A．﹣3B．2C．5D．7　10．若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为（　　）①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线．②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线．④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．　A．①③B．②③C．②④D．①④　11．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M，N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：①平面MENF⊥平面BDD′B′；②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；③四边形MENF周长L=f（x），x∈[0，1]是单调函数；3④四棱锥C′﹣MENF的体积V=h（x）为常函数；以上命题中假命题的序号为（　　）　A．①④B．②C．③D．③④　12．设函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的增函数，实数a使得f（1﹣ax﹣x2）＜f（2﹣a）对于任意x∈[0，1]都成立，则实数a的取值范围是（　　）　A．（﹣∞，1）B．[﹣2，0]C．（﹣2﹣2，﹣2+2）D．[0，1]　　二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分）13．已知四面体OABC各棱长为1，D是棱OA的中点，则异面直线BD与AC所成角的余弦值是　　　　　　．　14．若正实数a使得不等式|2x﹣1|+|3x﹣2|≥a2对于任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是　　　　　　．　415．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB=AD=2，AA1=3，棱AD在平面α内，则长方体在平面α内的射影所构成的图形面积的取值范围是　　　　　　．　16．若x＞0，y＞0，且+=2，则6x+5y的最小值为　　　　　　．　　三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知A={x|﹣x2+3x﹣2＞0}，B={x|x2﹣（a+1）x+a≤0}（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若A⊊B时，求实数a的取值范围．　18．如图，在水平放置的直径与高相等的圆柱内，放入两个半径相等的小球（球A和球B），圆柱的底面直径为2+，向圆柱内注满水，水面刚好淹没小球B（Ⅰ）求球A的体积；（Ⅱ）求圆柱的侧面积与球B的表面积之比．　519．如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点，（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）求证：PA∥平面MBD；（3）试问：在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN⊥平面PQB？若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．　20．如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．　21．如图所示，在多面体A1B1D1﹣ABCD，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F（Ⅰ）证明：EF∥B1C；（Ⅱ）求二面角E﹣A1D﹣B1的正切值；6（Ⅲ）求直线A1C与平面B1CD1所成角的余弦值．　22．设关于x的一元二次方程ax2+x+1=0（a＞0）有两个实根x1，x2．（1）求（1+x1）（1+x2）的值；（2）求证：x1＜﹣1，且x2＜﹣1；（3）如果，试求a的最大值．　　7湖北省武汉市部分重点中学2016-2017学年高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析　一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．）1．设a，b∈R，若a﹣|b|＞0，则下列不等式中正确的是（　　）　A．b﹣a＞0B．a3+b3＜0C．a2﹣b2＜0D．b+a＞0考点：不等关系与不等式．专题：压轴题．分析：由题意可以令a=1，b=0分别代入A，B，C，D四个选项进行一一排除．解答：解：利用赋值法：令a=1，b=0b﹣a=﹣1＜0，故A错误；a3+b3=1＞0，故B错误；a2﹣b2=1＞0，故C错误；排除A，B，C，选D．点评：此题利用特殊值进行代入逐一排除错误选项，方法简洁、直观，此题为基础题．　2．若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（　　）　A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2　C．若a＜b，则＞D．若a＞b＞0，则＞考点：不等式的基本性质．专题：不等式的解法及应用．8分析：A．c=0时不成立；B．利用不等式的基本性质由a＜b＜0，可得a2＞ab＞b2；C．取a=﹣1，b=﹣2时，即可判断出；D．由a＞b＞0，可得＜．解答：解：A．c=0时不成立；B．∵a＜b＜0，∴a2＞ab＞b2，正确；C．取a=﹣1，b=﹣2时，=﹣1，=﹣，则＞不成立；D．若a＞b＞0，则＜，因此不正确．故选：B．点评：本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力，属于基础题．　3．规定记号“⊙”表示一种运算，定义a⊙b=+a+b（a，b为正实数），若1⊙k2＜3，则k的取值范围为（　　）　A．﹣1＜k＜1B．0＜k＜1C．﹣1＜k＜0D．0＜k＜2考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由于定义a⊙b=+a+b（a，b为正实数），因此1⊙k2＜3化为＜3，（|k|+2）（|k|﹣1）＜0，解出即可．解答：解：∵定义a⊙b=+a+b（a，b为正实数），1⊙k2＜3，∴＜3，化为（|k|+2）（|k|﹣1）＜0，∴|k|＜1，∴﹣1＜k＜1．9故选：A．点评：本题考查了“新定义”、一元二次不等式的解法，属于基础题．　4．不等式ax2﹣（a+2）x+2≥0（a＜0）的解集为（　　）　A．B．C．D．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：根据a＜0，把不等式化为（x﹣）（x﹣1）≤0，求出解集即可．解答：解：不等式ax2﹣（a+2）x+2≥0可化为（ax﹣2）（x﹣1）≥0，∵a＜0，∴原不等式可化为（x﹣）（x﹣1）≤0，解得≤x≤1，∴原不等式的解集为[，1]．故选：A．点评：吧考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．　5．一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′=1，那么原△ABO的面积是（　　）10　A．B．C．D．2考点：斜二测法画直观图．专题：计算题；作图题．分析：可根据直观图和原图面积之间的关系求解，也可作出原图，直接求面积．解答：解：由题意，直观图的面积为，因为直观图和原图面积之间的关系为，故原△ABO的面积是故选C点评：本题考查斜二测画法及斜二测画法中原图和直观图面积之间的联系，考查作图能力和运算能力．　6．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM与ED平行②CN与BE是异面直线③CN与BM成60°角④DM与BN是异面直线以上四个命题中，正确的命题序号是（　　）11　A．①②③B．②④C．③④D．②③④考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据恢复的正方体可以判断出答案．解答：解：根据展开图，画出立体图形，BM与ED垂直，不平行，CN与BE是平行直线，CN与BM成60°，DM与BN是异面直线，故③④正确．故选：C点评：本题考查了空间直线的位置关系，属于中档题．　7．如图，取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R的半球放在同一水平面α上．用一平行于平面α的平面去截这两个几何体，截面分别为12圆面和圆环面（图中阴影部分）．设截面面积分别为S圆和S圆环，那么（　　）　A．S圆＞S圆环B．S圆=S圆环C．S圆＜S圆环D．不确定考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据图形得出，S截面圆=π（R2﹣d2），r=d，S圆环=π（R2﹣d2），即可判断．解答：解：根据题意：∵①半球的截面圆：r=，S截面圆=π（R2﹣d2），②∵取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，∴r=d，S圆环=π（R2﹣d2），根据①②得出：S截面圆=S圆环，故选：B点评：本题考查了球有关的截面问题，判断图形结构，求出半径即可，属于中档题．　8．已知一个棱锥的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个棱锥的侧面积是（　　）13　A．4cm2B．12cm2C．8+4cm2D．4+4+2cm2考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，计算出各个侧面的面积，相加可得答案．解答：解：由已知的三视图可得：该几何体直观图如下：其中PA⊥底面ABCD，PA=AB=AD=2cm，BC=4cm，底面ABCD是以AB为直角角的直角梯形，故S△PAB=S△PAD=×2×2=2cm2，PB=PD=CD=2cm，AC=2cm，PC=cm，故PB⊥BC，S△PBC=××4=4cm2，等腰△PCD底边PC上的高为：=cm，14故S△PCD=××=2cm2，故棱锥的侧面积S=2×2+4+2=4+4+2cm2，故选：D．点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．　9．已知x＞，则函数y=4x+取最小值为（　　）　A．﹣3B．2C．5D．7考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵x＞，∴4x﹣5＞0．则函数y=4x+=4x﹣5++5+5=7，当且仅当x=时取等号．∴函数y=4