平面向量高考复习(2)高品质版

考纲要求考情分析1.了解平面向量基本定理及其意义．2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示．3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.1.从考查内容看，本节重点考查平面向量的基本定理、向量的坐标运算及平面向量共线的坐标表示．另外，平面向量坐标运算的实质是把几何问题转化成代数问题，它是“数”和“形”结合的桥梁．2.从考查形式看，本节内容多以选择题、填空题的形式出现，属于低、中档题.一、两个向量的夹角定义范围已知两个向量a，b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角(如图)向量夹角θ的范围是[0，π]．当θ＝时，两向量共线；当θ＝π2时，两向量垂直，记作a⊥b非零0或π二、平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理定理：如果e1，e2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任意向量a，一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组．2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个的向量，叫做把向量正交分解．不共线有且只有基底互相垂直3．平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yi，把有序数对叫做向量a的坐标，记作a＝，其中x叫做a在x轴上的坐标，叫做a在y轴上的坐标．(2)设OA→＝xi＋yj，则向量OA→的坐标(x，y)就是的坐标，即若OA→＝(x，y)，则A点坐标为，反之亦成立(O是坐标原点)．(x，y)(x，y)y点A(x，y)1．向量的坐标与点的坐标有何不同？2．平面的基底唯一吗？提示：平面的基底不唯一，平面内任意两个不共线的向量都可作为平面的一个基底．提示：向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同．只有以原点O为起点的向量OA→的坐标与点A的坐标相同．三、平面向量的坐标运算1．加法、减法、数乘运算向量aba＋ba－bλa坐标(x1，y1)(x2，y2)(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)2.向量坐标的求法已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝．即向量的坐标等于该向量点的坐标减去点的坐标．3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a与b共线⇔a＝λb⇔.(x2－x1，y2－y1)终起x1y2－x2y1＝03．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件能表示成x1x2＝y1y2吗？提示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成x1x2＝y1y2，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.同时，a∥b的充要条件也不能错记为：x1x2－y1y2＝0，x1y1－x2y2＝0等．对平面向量基本定理的理解(1)平面内任意两个不共线的向量都可以作为这个平面的基底，单位正交基底是最简单的一组基底．(2)平面内任一向量都可以表示为给定基底的线性组合，并且表示方法是唯一的，但同一向量用不同的基底表示的结果是不同的．(3)用基底表示向量的实质是向量的线性运算．1．若已知e1、e2是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是()A．e1与－e2B．3e1与2e2C．e1＋e2与e1－e2D．e1与2e1解析：由题意知向量e1与2e1共线，故不能作为平面的基底．答案：D2．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c＝()A．3a＋bB．3a－bC．－a＋3bD．a＋3b解析：设c＝xa＋yb，则x－y＝4，x＋y＝2，∴x＝3，y＝－1.∴c＝3a－b.答案：B3．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝()A.14B．12C．1D．2解析：∵a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)，∴a＋λb＝(1,2)＋(λ，0)＝(1＋λ，2)．又∵(a＋λb)∥c，∴1＋λ3＝24，解得λ＝12.答案：B4．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则D点的坐标为________．解析：设D点的坐标为(x，y)，由题意知BC→＝AD→，即(2，－2)＝(x＋2，y)，所以x＝0，y＝－2，∴D(0，－2)．答案：(0，－2)5．(理)已知△ABC中，点D在BC边上，且CD→＝2DB→，CD→＝rAB→＋sAC→，则r＋s的值是________．解析：CD→＝AD→－AC→，DB→＝AB→－AD→，∴CD→＝AB→－DB→－AC→＝AB→－12CD→－AC→，∴32CD→＝AB→－AC→，∴CD→＝23AB→－23AC→.又CD→＝rAB→＋sAC→，∴r＝23，s＝－23，∴r＋s＝0.答案：05．(文)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若AC→＝a，BD→＝b，则用a，b表示AF→可得AF→＝________.解析：如图所示，由△DEF∽△BEA知AF→＝AC→＋CF→＝a＋23CD→＝a＋13(b－a)＝23a＋13b.答案：23a＋13b【考向探寻】1．选择合适的基底表示平面内的向量．2．平面内任意向量都能在基底方向上分解．平面向量基本定理及其应用【典例剖析】(1)下列各组向量：①e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)，②e1＝(3,5)，e2＝(6,10)，③e1＝(2，－3)，e2＝12，－34，能作为表示它们所在平面内所有向量基底的是A．①B．①③C．②③D．①②③(2)如图所示，在△OAB中，OC→＝14OA→，OD→＝12OB→，AD与BC交于点M，设OA→＝a，OB→＝b，以a、b为基底表示OM→.题号分析(1)判断每组中的向量e1，e2是否共线即可．(2)设OM→＝ma＋nb，AD→＝λ1AM→，CB→＝λ2CM→，由向量共线得到m、n的方程组，求得m，n即可.(1)解析：①中的两向量不共线；②中e1＝12e2，故两向量共线；③中e1＝14e2，故两向量共线．综上，只有①中的两向量可作为平面的一组基底．答案：A(2)解：设OM→＝ma＋nb(m，n∈R)，则AM→＝OM→－OA→＝(m－1)a＋nb，AD→＝OD→－OA→＝12b－a＝－a＋12b.因为A，M，D三点共线，所以m－1－1＝n12，即m＋2n＝1，而CM→＝OM→－OC→＝m－14a＋nb，CB→＝OB→－OC→＝b－14a＝－14a＋b.因为C，M，B三点共线，所以m－14－14＝n1，即4m＋n＝1.由m＋2n＝1，4m＋n＝1，解得m＝17，n＝37，所以OM→＝17a＋37b.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．(1)由于基向量不共线，所以0不能作为基向量．(2)基底一旦确定，则已知向量按基底的分解是唯一的．【活学活用】1．已知G是△ABC的重心，直线EF过点G且与边AB、AC分别交于点E、F，AE→＝αAB→，AF→＝βAC→，则1α＋1β的值为________．解析：连结AG并延长交BC于D，∵G是△ABC的重心，∴AG→＝23AD→＝13(AB→＋AC→)，设EG→＝λGF→，∴AG→－AE→＝λ(AF→－AG→)，∴AG→＝11＋λAE→＋λ1＋λAF→，∴13AB→＋13AC→＝α1＋λAB→＋λβ1＋λAC→，∵AB→与AC→不共线，∴α1＋λ＝13λβ1＋λ＝13，∴1α＝31＋λ1β＝3λ1＋λ，∴1α＋1β＝3.答案：3【考向探寻】1．向量的坐标表示．2．向量的加、减及数乘的坐标表示．3．平面向量坐标运算的综合运用．平面向量的坐标运算【典例剖析】(1)(2013·枣庄模拟)已知点A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，给出下面的结论：①直线OC与直线BA平行；②AB→＋BC→＝CA→；③OA→＋OC→＝OB→；④AC→＝OB→－2OA→.其中正确结论的个数是A．1个B．2个C．3个D．4个(1)求得相应向量的坐标，利用向量的坐标逐一验证即可．(2)利用向量的坐标运算求解即可．(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB→＝a，BC→＝b，CA→＝c，且CM→＝3c，CN→＝－2b，①求：3a＋b－3c；②求满足a＝mb＋nc的实数m，n；③求M、N的坐标及向量MN→的坐标．(1)解析：由题意得OC→＝(－2,1)，BA→＝(2，－1)，故OC→∥BA→，又OC→，BA→无公共点，故OC∥BA，①正确；∵AB→＋BC→＝AC→，故②错误；∵OA→＋OC→＝(0,2)＝OB→，故③正确；∵OB→－2OA→＝(－4,0)，AC→＝(－4,0)，故④正确．所以选C.答案：C(2)解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．①3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．②∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)，∴－6m＋n＝5－3m＋8n＝－5，解得m＝－1n＝－1.③设O为坐标原点，∵CM→＝OM→－OC→＝3c，∴OM→＝3c＋OC→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M(0,20)．又∵CN→＝ON→－OC→＝－2b，∴ON→＝－2b＋OC→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)．∴MN→＝(9，－18)．(1)向量的坐标运算主要是利用运算法则进行的．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列出方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用．(3)向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，使很多几何问题的解答转化数的运算．向量的坐标与点的坐标不同：向量平移后，其起点和终点的坐标都变了，但向量的坐标不变．【活学活用】2．已知O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及OP→＝OA→＋tAB→，试问：(1)t为何值时，P在第三象限？(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值，若不能，请说明理由．解：(1)∵OA→＝(1,2)，AB→＝(3,3)，OP→＝OA→＋tAB→＝(1＋3t,2＋3t)．若点P在第三象限，则1＋3t＜0，2＋3t＜0.解得t＜－23.即当t－23时，点P在第三象限．(2)若四边形OABP能成为平行四边形，则OP→＝AB→，即1＋3t＝3，2＋3t＝3.∵该方程组无解，∴四边形OABP不能成为平行四边形.【考向探寻】共线向量的坐标表示及综合应用．平面向量共线的坐标表示【典例剖析】(12分)平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)求满足a＝mb＋nc的实数m、n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；(3)若向量d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝5，求d.(1)由两向量相等的充要条件可求得实数m、n的值；(2)由两向量平行的充要条件列出关于k的方程，进而求得k的值；(3)由两向量平行及向量的模列方程组求解．(1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)，……………………………………2分∴－m＋4n＝3，2m＋n＝2，解得m＝59，n＝89.…………………………………………4分(2)∵a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，…………………………………………6分又∵(a＋kc)∥(