11-12第二学期概率复习题1

4.设随机变量X的数学期望2EX,方差4DX,则2EX_______________.84.设随机变量X的数学期望为EXu、方差2DX，则由切比雪夫不等式有2PXu__________.145.设随机变量X的数学期望EX,方差02DX,则由切比雪夫不等式,有3-XP________.1/93．设随机变量X的密度函数)(1)(2xxkxp，则k的值是1一台机床有31的时间加工零件A，其余的时间加工零件B，加工零件A时，停机的概率是0.3，加工零件B时，停机的概率是0.4。(1)求这台机床停机的概率；(2)发现停机了，求它是在加工零件B的概率。解令A表示“机床加工零件A”,B表示“机床加工零件B”,C表示“这台机床停机”,则.32)(,31)(BPAP.4.0)|(,3.0)|(BCPACP73.011830/114.032|)(|237.030114.0323.031||1）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（CPBCPBPCBPBCPCPACPAPCP5若nXXX,,21是来自总体的一个样本,则统计量2122322)1(XnXXXn~)1,1(nF设随机变量X的分布函数为1,1,10,,0,0)(2xxAxxxF试求(1)系数A;(2)X落在)21,1(内的概率;(3)X的概率密度由于)(xF的连续性，有11lim),1()(lim211AAxFxFxx410)21()1()21()211()2(2FFXP(3)其它，010,2)()(xxxFxf4.设二维随机向量YX,的联合分布列为（1）求X与Y的边缘分布率；（2）判定X与Y是否相互独立；（3）求X与Y的数学期望.解(1)X的边缘分布率为：X012XP1/21/61/3Y的边缘分布率为:Y-102YP1/21/125/12(2)不难验证：)2()1()2,1(YXPPP所以，X与Y是不相互独立的。（3）65312611210)(XE；2112521210311)(YE.5.设二维随机向量YX,的联合概率密度为其它,00,),(yxeyxfy（1）求YX,分别关于X和Y的边缘概率密度);(),(yfxfYX（2）判断X与Y是否相互独立，并说明理由.（3）计算)1(YXP随机变量(X,Y)的联合概率密度为215010xyxypxy，，，其它（1）求边缘概率密度Xpx和Ypy；（2）判断X与Y是否相互独立.YX-1020120012500121316101）随机变量(X,Y)的边缘分布密度为Xpxpxydy，01x1222151512xxydyxx)即221510120Xxxxpx，，其它Ypypxydx，01y23400151553yyxydxxyy即45010Yyypy，，其它，（2）当0101xy，时),(5)1(215)()(422yxpyxxypxpYX.故随机变量X与Y不相互独立.5.解（1）边缘概率密度为,0,00,),()(xxedyedyyxfxfxxyX0,00,),()(0yyyedxedxyxfyfyyyY)（2）由于)()(),(yfxfyxfYX,故X与Y不独立。2112101121),()1()3(eedyedxdxdyyxfYXPxxyyx设随机变量X的概率密度是.,010,2)(其他xxxf求X的数学期望及方差..322)()(10xdxxdxxxfXEdxxfxdxxfxExXD)()32()())(()(22.181|)94982(2)32(10234102xxxxdxx设随机变量X的概率密度是）（xkexfx,)(||,求常数k、数学期望)(XE及方差)(XD.解由1)(dxxf，有21121||kkdxkex11||021)()(dxexdxxxfXExdxxfxdxxfxExXD)()())(()(22.2|)22(0202xxedxexxx设连续型随机变量X的概率密度是0,00,)1(2)(2xxxxf求函数XYln的概率密度.5.解Y的分布函数为ydxxeXPyXPyYPyFyeyY,)1(2}{}{ln}{)(02从而得Y的概率密度为yeeyFyfyyYY)1(2)()(26.某保险公司的老年人寿保险有10000人参加,每人每年交200元.若老人在该年内死亡,公司付给家属10000元.设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年的这项保险中亏本的概率.(注:93.1211.167,99.0(2.320))解设随机变量Y表示一年中投保老人的死亡数,则Y服从二项分布B(10000,0.017)已知983.0,017.0,10000qpn,所以有11.167,170npqnp所以由棣莫佛-拉普拉斯定理,得.01.0)320.2(1}320.211.167170{}11.167170-20011.167170{200}2001000010000{YPYPYPYP设总体),(~2NX，12,,nXXX为来自总体的一个简单随机样本，则的矩法估计量为X。4.设321,,XXX是总体X的一个简单随机样本，3218141XkXX是总体期望)(XE的无偏估计量，则k.5/8设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布)3,0(2N，而921,,,XXX和921,,,YYY分别是来自总体X和Y的简单随机样本，则统计量921921YYYXXXU服从分布.；)9(t设总体X的概率密度为121(,)(,0),,,,2xnxexXXX为总体X的一个样本，求参数的最大似然估计量。设总体X的概率密度为,0,0,0,);(1xxexxpx其中0是未知参数,0是已知常数,试根据来自总体X的简单随机样本nxxx,,21,求的最大似然估计量ˆ.设总体X的概率密度为121(,)(,0),,,,2xnxexXXX为总体X的一个样本，求参数的最大似然估计量。解：1212111()21lnln2ln101ˆnxxxnniiniiniiLeLnxdLnxdxxn似然函数取对数得似然方程解得的极大似然估计为：设总体X的概率密度为.,0;1x0,);(1其它xxf其中0．如果取得样本nXXX,,,21，求参数的极大似然估计量．似然函数为niiniixxL111),()(，取对数，有niixL1]ln)1([ln)(ln．令0ln)ln1()(ln11niiniixnxdLd，求得的极大似然估计值为niixn1lnˆ．设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5，样本标准差为15分，问在显著水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程.(注:0301.235025.0）＝（t).解设该次考试的考生成绩为X,则),N(~2X.要检验的假设是.70:;70:10HH构造统计量t,在0H成立下)1(~/0ntnSXt由0301.2)35(,15,5.66,36025.0tsxn,算得0301.24.136/15|705.66|||t所以接受0H,即在显著水平0.05下，可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分设工厂A和工厂B的次品率分别为1%和2%,现从由A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品由A生产的概率是多少?五、设X的分布函数为.0,0,0,1)(xxBexFx求:(1)B的值;(2)}12{XP(3)X的概率密度)(xf.六、已知随机变量(X,Y)只取(0,0),(-1,1),(-1,2)及(2,0)四对值,相应的概率依次为1253161121，，，（1）写出(X,Y)的概率分布;(2)求X与Y的边缘分布率；（3）判定X与Y是否相互独立.七、设连续型随机变量X的密度函数其它,010,)(2xaxxf求：（1）a(2))(),(XDXE(3)分布函数)(xF.八、设连续型随机变量X的概率密度是0,00,2)(23xxexxfx求函数Y＝lnX的概率密度.九、将一枚硬币投掷49次,求出现20~25次正面的概率.(注:(3.5)≈1,(1.29)≈0.8830)十、为了估计灯泡使用时数的均值,共测试了10个灯泡,得hshx20,1500.如果已知灯泡使用时数是服从正态分布的,求出的置信区间(置信度为0.95)(注:26.29025.0）＝（t)十一、某市居民上月平均伙食费为235.5元,随机抽取49个居民,他们本月的伙食费平均为236.5元,由这49个样本算出的标准差S=3.5元.假定该市居民月伙食费X服从正态分布,试分别在水平01.0＝下,检验“本月该市居民平均伙食费较之上月无变化”的假设.(注:96.1)48(025.0025.0ut)四、解设事件A、B分别表示所抽出的产品是由A、B工厂生产的,事件C表示产品是次品,则.1002)|(1001)|(10040)(10060)(BCPACPBPAP，，，应用全概率公式,有.100014100210040100110060)|()()|()()(BCPBPACPAPCP再应用贝叶斯公式,有.731406010000140100110060)|()()|()()|()()|(BCPBPACPAPACPAPCAP五、解(1)由)(xF的连续性有)0()00(FF,得1+B=0,B=-1,即.0,0,0,1)(xxexFx(2).10)1()2()1(}12{11eeFFXP.0,0,0,)()3(xxexfx六、解(1)(X,Y)的概率分布如下表YX012ip-10206131121001250021121125jp216131(2)X的边缘分布率为：X-102XP1/21/125/12Y的边缘分布率为:Y012YP1/21/61/3(3)不难验证：)1()2()1,2(YXPPP所以，X与Y是不相互独立的。七、解(1).33)(1102aadxaxdxxf从而其它,010,3)(2xxxf(2).433)()(102dxxxdxxxfXEdxxfxdxxfxExXD)()43()())(()(22.8033)43(1022dxxx(3)其它,010,)(3xxxF八、解Y的分布函数为ydxexeXPyXPyYPyFyexyY,2}{}{ln}{)(032从而得Y的概率密度为yeeyFyfyeyYY242)()(九、解以X表