2018-2019学年人教版高中数学选修1-1：第三章-检测试题

2018-2019学年人教版高中数学选修1-1：第三章检测试题1/15第三章检测试题(时间:120分钟满分:150分)【选题明细表】知识点、方法题号导数的定义及其计算2,3,13导数的几何意义1,9,14,17函数的单调性4,5,10,15,18函数的极值与最值6,7,19不等式恒成立问题11导数的实际应用8,20导数的综合应用12,16,21,22一、选择题(每小题5分,共60分)1.曲线y=x2-2x在点(1,-)处的切线的倾斜角为(D)(A)-135°(B)45°(C)-45°(D)135°解析:y′=x-2,所以斜率k=1-2=-1,因此,倾斜角为135°.故选D.2.下列求导运算正确的是(B)(A)(x+)′=1+(B)(log2x)′=(C)(3x)′=3xlog3e(D)(x2cosx)′=-2xsinx2018-2019学年人教版高中数学选修1-1：第三章检测试题2/15解析:(x+)′=1-,所以A不正确;(3x)′=3xln3,所以C不正确;(x2cosx)′=2xcosx+x2·(-sinx),所以D不正确;(log2x)′=,所以B正确.故选B.3.若f′(x0)=-3,则等于(A)(A)-12(B)-9(C)-6(D)-3解析:因为=+3=f′(x0)+3f′(x0)=4f′(x0),所以=-12.故选A.4.设f(x)=x2(2-x),则f(x)的单调递增区间是(A)(A)(0,)(B)(,+∞)(C)(-∞,0)(D)(-∞,0)∪(,+∞)解析:f(x)=2x2-x3,f′(x)=4x-3x2,由f′(x)0得0x.故选A.5.如图是函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象,则下面判断正确的是(C)(A)在区间(-2,1)上f(x)是增函数(B)在(1,3)上f(x)是减函数2018-2019学年人教版高中数学选修1-1：第三章检测试题3/15(C)在(4,5)上f(x)是增函数(D)当x=4时,f(x)取极大值解析:由导函数y=f′(x)的图象知,f(x)在(-2,1)上先减后增,在(1,3)上先增后减,在(4,5)上单调递增,x=4是f(x)的极小值点,故A,B,D错误.故选C.6.函数y=x4-4x+3在区间[-2,3]上的最小值为(D)(A)72(B)36(C)12(D)0解析:y′=4x3-4,令y′=0,则4x3-4=0,x=1,当x1时,y′0;当x1时,y′0得y极小值=yx=1=0,得ymin=0.故选D.7.已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围为(D)(A)(-1,2)(B)(-3,6)(C)(-∞,-1)∪(2,+∞)(D)(-∞,-3)∪(6,+∞)解析:因为f(x)有极大值和极小值,所以导函数f′(x)=3x2+2ax+(a+6)有两个不等零点,所以Δ=4a2-12(a+6)0,得a-3或a6.故选D.8.设底为正三角形的直棱柱的体积为V,那么其表面积最小时,底面边长为(C)(A)(B)(C)(D)2解析:设底面边长为x,侧棱长为l,则V=x2·sin60°·l,所以l=,2018-2019学年人教版高中数学选修1-1：第三章检测试题4/15所以S表=2S底+3S侧=x2·sin60°+3·x·l=x2+,S′表=x-.令′S表=0,所以x3=4V,即x=.又当x∈(0,)时,S′表0;当x∈(,V),S′表0,所以当x=时,表面积最小.故选C.9.已知函数f(x)=ex-mx+1的图象是曲线C,若曲线C不存在与直线y=ex垂直的切线,则实数m的取值范围是(D)(A)(-∞,-)(B)[,+∞)(C)(-∞,)(D)(-∞,]解析:函数f(x)=ex-mx+1的导数为f′(x)=ex-m,设切点为(s,t),即有切线的斜率为es-m,若曲线C不存在与直线y=ex垂直的切线,则关于s的方程es-m=-无实数解,由于es0,即有m-≤0,解得m≤.故选D.10.已知向量a=(ex+,-x),b=(1,t),若函数f(x)=a·b在区间(-1,1)上单调递增,则t的取值范围是(A)(A)(-∞,-1](B)(e+1,+∞)2018-2019学年人教版高中数学选修1-1：第三章检测试题5/15(C)(-1,e+1)(D)(-∞,-1)解析:f(x)=ex+-tx,f′(x)=ex+x-t,由题意得ex+x-t≥0,即t≤ex+x在(-1,1)上恒成立,所以t≤-1.故选A.11.当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是(C)(A)[-5,-3](B)[-6,-](C)[-6,-2](D)[-4,-3]解析:显然x=0时,对任意实数a,已知不等式恒成立;令t=,若0x≤1,则原不等式等价于a≥--+=-3t3-4t2+t,t∈[1,+∞),令g(t)=-3t3-4t2+t,则g′(t)=-9t2-8t+1=-(9t-1)(t+1),由于t≥1,故g′(t)≤0,即函数g(t)在[1,+∞)上单调递减,最大值为g(1)=-6,故只要a≥-6;若-2≤x0,则a≤--+=-3t3-4t2+t,t∈(-∞,-],令g(t)=-3t3-4t2+t,则g′(t)=-9t2-8t+1=-(9t-1)(t+1),在区间(-∞,-]上的极值点为t=-1,且为极小值点,故函数g(t)在(-∞,-]上有唯一的极小值点,也是最小值点,故只要a≤g(-1)=-2.综上可知,若在2018-2019学年人教版高中数学选修1-1：第三章检测试题6/15[-2,1]上已知不等式恒成立,则a为上述三种情况的交集,即-6≤a≤-2.故选C.12.若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=-1,其导函数f′(x)满足f′(x)k1,则下列结论中一定错误的是(C)(A)f()(B)f()(C)f()(D)f()解析:因为f′(x)k1,构造函数g(x)=f(x)-kx,所以g(x)在R上单调递增,又0,所以g()g(0)即f()--1,得到f(),所以C选项一定错误.A,B,D都有可能正确.故选C.二、填空题(每小题5分,共20分)13.已知函数f(x)=(2x+1)ex,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(0)的值为.解析:f′(x)=2ex+(2x+1)ex=(2x+3)ex,所以f′(0)=3.答案:314.已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a=.解析:因为f(1)=2+a,f′(1)=3a+1,2018-2019学年人教版高中数学选修1-1：第三章检测试题7/15所以切线方程为y-(2+a)=(3a+1)(x-1),又切线过点(2,7),所以5-a=3a+1,得a=1.答案:115.函数y=x3+x2-5x-5的单调递增区间是.解析:由y′=3x2+2x-50得x-,或x1.答案:(-∞,-),(1,+∞)16.已知函数f(x)=x-,g(x)=x2-2ax+4,若对于任意x1∈[0,1],存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),则实数a的取值范围是.解析:由于f′(x)=1+0,因此函数f(x)在[0,1]上单调递增,所以x∈[0,1]时,f(x)min=f(0)=-1.根据题意可知存在x∈[1,2],使得g(x)=x2-2ax+4≤-1,即x2-2ax+5≤0,即a≥+能成立,令h(x)=+,则要使a≥h(x)在x∈[1,2]能成立,只需使a≥h(x)min,又函数h(x)=+在x∈[1,2]上单调递减,所以h(x)min=h(2)=,故只需a≥.2018-2019学年人教版高中数学选修1-1：第三章检测试题8/15答案:[,+∞)三、解答题(共70分)17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程;(2)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.解:(1)因为f′(x)=3x2+1,所以f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率k=f′(2)=13.所以切线的方程为y=13(x-2)+(-6),即y=13x-32.(2)因为切线与直线y=-+3垂直,所以切线的斜率为4.设切点的坐标为(x0,y0),则f′(x0)=3+1=4,所以x0=±1,所以或即切点坐标为(1,-14)或(-1,-18).切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.即y=4x-18或y=4x-14.18.(本小题满分12分)2018-2019学年人教版高中数学选修1-1：第三章检测试题9/15设函数f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性;(2)当x∈[0,1]时,求f(x)取得最大值和最小值时的x的值.解:(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)=1+a-2x-3x2.令f′(x)=0,得x1=,x2=,x1x2.所以f′(x)=-3(x-x1)(x-x2).当xx1或xx2时,f′(x)0;当x1xx2时,f′(x)0.故f(x)在(-∞,)和(,+∞)内单调递减,在(,)内单调递增.(2)因为a0,所以x10,x20.①当a≥4时,x2≥1.由(1)知,f(x)在[0,1]上单调递增.所以f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值.②当0a4时,x21.由(1)知,f(x)在[0,x2]上单调递增,在[x2,1]上单调递减.所以f(x)在x=x2=处取得最大值.又f(0)=1,f(1)=a,所以2018-2019学年人教版高中数学选修1-1：第三章检测试题10/15当0a1时,f(x)在x=1处取得最小值;当a=1时,f(x)在x=0处和x=1处同时取得最小值;当1a4时,f(x)在x=0处取得最小值.19.(本小题满分12分)给定函数f(x)=-ax2+(a2-1)x和g(x)=x+.(1)求证:f(x)总有两个极值点;(2)若f(x)和g(x)有相同的极值点,求a的值.(1)证明:因为f′(x)=x2-2ax+(a2-1)=[x-(a+1)]·[x-(a-1)],令f′(x)=0,解得x1=a+1,x2=a-1.当xa-1时,f′(x)0;当a-1xa+1,f′(x)0.所以x=a-1为f(x)的一个极大值点.同理可证x=a+1为f(x)的一个极小值点.所以f(x)总有两个极值点.(2)解:因为g′(x)=1-=.令g′(x)=0,则x1=a,x2=-a.因为f(x)和g(x)有相同的极值点,且x1=a和a+1,a-1不可能相等,所以当-a=a+1时,a=-;当-a=a-1时,a=.2018-2019学年人教版高中数学选修1-1：第三章检测试题11/15经检验,当a=-和a=时,x1=a,x2=-a都是g(x)的极值点.20.(本小题满分12分)某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费,预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时,一年的销售量为(12-x)2万件.(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式;(2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大,并求出L的最大值Q(a).解:(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为L=(x-3-a)(12-x)2,x∈[9,11].(2)L′(x)=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x).令L′=0,得x=6+a或x=12(不合题意,舍去).因为3≤a≤5,所以8≤6+a≤.在x=6+a两侧L′的值由正变负.所以①当8≤6+a9,即3≤a时,Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a).2018-2019学年人教版高中数学选修1-1：第三章检测试题12/15②当9≤6+a≤,即≤a≤