中考数学复习-圆的综合证明与计算

第一篇过教材·考点透析第六章圆概率1．(辽宁阜新中考)AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠ABC＝65°，那么∠OCA的度数是()A．25°B．35°C．15°D．20°A2．(重庆中考)如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC＝6，则PA的长为()A．4B．23C．3D．2.5A3．(山东德州中考)如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为()A．π2m2B．32πm2C．πm2D．2πm2A4．(2017·四川凉山中考)如图，一个半径为1的⊙O1经过一个半径为2的⊙O的圆心，则图中阴影部分的面积为()A．1B．12C．2D．22A5．(湖北荆门中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，A(4,0)、B(0,3)、C(4,3)，I是△ABC的内心，将△ABC绕原点逆时针旋转90°后，I的对应点I′的坐标为()A．(－2,3)B．(－3,2)C．(3，－2)D．(2，－3)A6．(浙江台州中考)如图，等边三角形ABC边长是定值，点O是它的外心，过点O任意作一条直线分别交AB、BC于点D、E.将△BDE沿直线DE折叠，得到△B′DE，若B′D、B′E分别交AC于点F、G，连接OF、OG，则下列判断错误的是()A．△ADF≌△CGEB．△B′FG的周长是一个定值C．四边形FOEC的面积是一个定值D．四边形OGB′F的面积是一个定值D7．(2019·江苏连云港中考)如图，在矩形ABCD中，AD＝22AB，将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G.下列结论：①△CMP是直角三角形；②点C、E、G不在同一条直线上；③PC＝62MP；④BP＝22AB；⑤点F是△CMP外接圆的圆心，其中正确的个数是()A．2B．3C．4D．5B8．(广西玉林中考)如图，大小不同的两个磁块，其截面都是等边三角形，小三角形边长是大三角形边长的一半，点O是小三角形的内心，现将小三角形沿着大三角形的边缘顺时针滚动，当由①位置滚动到④位置时，线段OA绕点O顺时针转过的角度是()A．240°B．360°C．480°D．540°C9．(2019·河南中考)如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．若OA＝2，则阴影部分的面积为__________.3＋π10．(2019·湖北鄂州中考)如图，在平面直角坐标系中，已知C(3,4)，以点C为圆心的圆与y轴相切，点A、B在x轴上，且OA＝OB，点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为______.1611．(浙江宁波中考)如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为__________.3或4312．(广西玉林中考)如图，正六边形ABCDEF的边长是6＋43，点O1、O2分别是△ABF，△CDE的内心，则O1O2＝__________.9＋4313．(江苏泰州中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sinA＝513，AC＝12，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，P为线段A′B′上的动点，以点P为圆心，PA′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为__________.15625或1021314．(2017·四川达州中考)如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作⊙O与AD相切于点P.若AB＝6，BC＝33，则下列结论：①F是CD的中点；②⊙O的半径是2；③AE＝92CE；④S阴影＝32.其中正确结论的序号是__________.①②④15．(2019·四川宜宾中考)如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A、C两点，BC＝1，AD为⊙O的弦，连接BD，∠BAD＝∠ABD＝30°，连接DO并延长交⊙O于点E，连接BE交⊙O于点M.(1)求证：直线BD是⊙O的切线；(2)求⊙O的半径OD的长；(3)求线段BM的长．(1)证明：∵OA＝OD，∠A＝∠B＝30°，∴∠A＝∠ADO＝30°，∴∠DOB＝∠A＋∠ADO＝60°，∴∠ODB＝180°－∠DOB－∠ABD＝90°.又∵OD是半径，∴BD是⊙O的切线．(2)解：∵∠ODB＝90°，∠DBC＝30°，∴OD＝12OB．∵OC＝OD，∴BC＝OC＝1，∴⊙O的半径OD的长为1.(3)解：∵OD＝1，∴DE＝2，BD＝3，∴BE＝BD2＋DE2＝7.连接DM.∵DE为⊙O的直径，∴∠EMD＝∠BMD＝90°.∵∠BDE＝90°，∴∠BMD＝∠BDE＝90°.∵∠DBM＝∠EBD，∴△BDM∽△BED，∴BDBE＝BMBD，∴BD2＝BM·BE，∴BM＝37＝377.16．(2019·四川雅安中考)如图，已知AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，OE∥AC交BC于E，过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长交BA的延长线于点F.(1)求证：DC是⊙O的切线；(2)若∠ABC＝30°，AB＝8，求线段CF的长．(1)证明：如图，连接OC．∵OE∥AC，∴∠1＝∠ACB．∵AB是⊙O的直径，∴∠1＝∠ACB＝90°，∴OD⊥BC．由垂径定理，得OD垂直平分BC，∴DB＝DC，∴∠DBE＝∠DCE.又∵OC＝OB，∴∠OBE＝∠OCE，∴∠DBO＝∠OCD．∵DB为⊙O的切线，OB是半径，∴∠DBO＝90°，∴∠OCD＝∠DBO＝90°，即OC⊥DC．∵OC是⊙O的半径，∴DC是⊙O的切线．(2)解：∵AB＝8，∴OA＝OC＝4.在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∴∠3＝60°.又OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠COF＝60°.在Rt△COF中，tan∠COF＝CFOC＝3，∴CF＝43.17．(2019·四川遂宁中考)如图，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF＝2OD，连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AG∥BC，连接OC，若cos∠BAC＝13，BC＝6.(1)求证：∠COD＝∠BAC；(2)求⊙O的半径OC；(3)求证：CF是⊙O的切线．(1)解：∵AG是⊙O的切线，AD是⊙O的直径，∴∠GAF＝90°.∵AG∥BC，∴AE⊥BC，∴CE＝BE，∴∠BAC＝2∠EAC．∵∠COE＝2∠CAE，∴∠COD＝∠BAC．(2)解：∵∠COD＝∠BAC，∴cos∠BAC＝cos∠COE＝OEOC＝13，∴可设OE＝x，OC＝3x.∵BC＝6，∴CE＝3.∵CE⊥AD，∴OE2＋CE2＝OC2，∴x2＋32＝9x2，∴x＝324(负值舍去)，∴OC＝3x＝924，∴⊙O的半径OC为924.(3)证明：∵DF＝2OD，∴OF＝3OD＝3OC，∴OEOC＝OCOF＝13.∵∠COE＝∠FOC，∴△COE∽△FOC，∴∠OEC＝∠OCF＝90°，∴CF是⊙O的切线．18．(广东深圳中考)如图，在⊙O中，BC＝2，AB＝AC，点D为AC︵上的动点，且cos∠ABC＝1010.(1)求AB的长度；(2)求AD·AE的值；(3)过A点作AH⊥BD，求证：BH＝CD＋DH.(1)解：如图，过点A作AM⊥BC于点M.∵AB＝AC，AM⊥BC，BC＝2，∴BM＝CM＝12BC＝1.∵cos∠ABC＝BMAB＝1010，∴AB＝BMcos∠ABC＝10.(2)解：连接DC．∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC．∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠ADC＋∠ABC＝180°.∵∠ACE＋∠ACB＝180°，∴∠ADC＝∠ACE.又∵∠CAE是公共角，∴△EAC∽△CAD，∴ACAD＝AEAC，∴AD·AE＝AC2＝10.(3)证明：在BD上取一点N，使得BN＝CD．在△ABN和△ACD中，∵AB＝AC，∠3＝∠1，BN＝CD，∴△ABN≌△ACD(SAS)，∴AN＝AD．又∵AH⊥BD，∴NH＝HD．∵BN＝CD，NH＝HD，∴BN＋NH＝CD＋HD＝BH.即BH＝CD＋DH.19．(2019·四川攀枝花中考)如图1，有一个残缺的圆，请做出残缺圆的圆心O(保留作图痕迹，不写做法)．如图2，设AB是该残缺圆⊙O的直径，C是圆上一点，∠CAB的平分线AD交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交AC的延长线于点E.(1)求证：AE⊥DE；(2)若DE＝3，AC＝2，求残缺圆的半圆面积．解：作图如下，点O即为所求．(1)证明：连接OD交BC于H.∵DE为⊙O的切线，∴OD⊥DE.∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠DAB．∵OD＝OA，∴∠DAB＝∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AE，∴AE⊥DE.(2)解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵OD∥AE，∴OD⊥BC，∴BC＝2CH，四边形CHDE为矩形，∴CH＝DE＝3，∴BC＝6.∵AC＝2，∴AB＝210，∴OA＝10，∴S半圆＝12π·OA2＝5π.20．(广西中考)如图，△ABC内接于⊙O，∠CBG＝∠A，CD为直径，OC与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为点F，延长CD交GB的延长线于点P，连接BD．(1)求证：PG与⊙O相切；(2)若EFAC＝58，求BEOC的值；(3)在(2)的条件下，若⊙O的半径为8，PD＝OD，求OE的长．(1)证明：如图，连接OB．∵OB＝OD，∴∠BDC＝∠OBD．∵∠BAC＝∠BDC，∴∠OBD＝∠BAC．又∠BAC＝∠CBG，∴∠CBG＝∠OBD．∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC＝90°，∴∠OBD＋∠OBC＝90°，∴∠CBG＋∠OBC＝90°，∴∠GBO＝90°，∴PG与⊙O相切．(2)解：如图，过点O作OM⊥AC于点M，连接OA，则∠AOM＝∠COM＝12∠AOC．易知∠ABC＝12∠AOC，∴∠ABC＝∠AOM.又∵EF⊥BC，∴∠EFB＝∠OMA＝90°，∴△BEF∽△OAM，∴EFAM＝BEOA.∵AM＝12AC，OA＝OC，∴EF12AC＝BEOC.又∵EFAC＝58，∴BEOC＝2×EFAC＝2×58＝54.(3)解：∵PD＝OD，∠PBO＝90°，∴BD＝OD＝8.在Rt△DBC中，BC＝DC2－BD2＝83.又∵OD＝OB，∴△DOB是等边三角形，∴∠DOB＝60°.∵∠DOB＝∠OBC＋∠OCB，OB＝OC，∴∠OCB＝30°，∴EFCE＝12，FCEF＝3.可设EF＝x，则EC＝2x，FC＝3x，∴BF＝83－3x.在Rt△BEF中，∵BE2＝EF2＋BF2，∴100＝x2＋(83－3x)2，解得x＝6±13.∵6＋13＞8，舍去，∴x＝6－13，∴EC＝12－213，∴OE＝8－(12－213)＝213－4.