必修1-第三章函数的应用经典例题讲解

第三章函数的应用1：函数的零点【典例精析】例题1求下列函数的零点。（1）y=32x2x；（2）y＝（2x－2）（2x－3x＋2）。思路导航：判断函数零点与相应的方程根的关系，就是求与函数相对应的方程的根。答案：（1）①当x≥0时，y=x2+2x－3，x2+2x－3=0得x=+1或x=－3（舍）②当x＜0时，y=x2－2x－3，x2－2x－3=0得x=－1或x=3（舍）∴函数y=x2+2|x|－3的零点是－1，1。（2）由（2x－2）（2x－3x＋2）＝0，得（x＋2）（x－2）（x－1）（x－2）＝0，∴x1＝－2，x2＝2，x3＝1，x4＝2。∴函数y＝（x2－2）（x2－3x＋2）的零点为－2，2，1，2。点评：函数的零点是一个实数，不是函数的图象与x轴的交点，而是交点的横坐标。例题2方程|x2－2x|=a2+1（a∈R+）的解的个数是______________。思路导航：根据a为正数，得到a2+1＞1，然后作出y=|x2－2x|的图象如图所示，根据图象得到y=a2+1的图象与y=|x2－2x|的图象总有两个交点，得到方程有两解。∵a∈R+∴a2+1＞1。而y=|x2－2x|的图象如图，∴y=|x2－2x|的图象与y=a2+1的图象总有两个交点。∴方程有两解。答案：2个点评：考查学生灵活运用函数的图象与性质解决实际问题，会根据图象的交点的个数判断方程解的个数。做题时注意利用数形结合的思想方法。例题3若函数f（x）＝ax＋b有一个零点为2，则g（x）＝bx2－ax的零点是（）A.0，2B.0，12C.0，－12D.2，－12思路导航：由f（2）＝2a＋b＝0，得b＝－2a，∴g（x）＝－2ax2－ax＝－ax（2x＋1）。令g（x）＝0，得x1＝0，x2＝－12，故选C。答案：C【总结提升】1.函数y=f（x）的零点就是方程f（x）=0的根，因此，求函数的零点问题通常可转化为求相应的方程的根的问题。2.函数与方程二者密不可分，二者可以相互转化，如函数解析式y＝f（x）可以看作方程y－f（x）＝0，函数有意义则方程有解，方程有解，则函数有意义，函数与方程体现了动与静、变量与常量的辩证统一。函数零点的求法：（1）解方程f（x）＝0，所得实数根就是f（x）的零点；（2）画出函数y＝f（x）的图象，图象与x轴交点的横坐标即为函数f（x）的零点。3.函数零点与方程的根的关系根据函数零点的定义可知：函数f（x）的零点，就是方程f（x）＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f（x）＝0是否有实数根，有几个实数根。4.函数y=f（x）的零点是函数图象与x轴交点的横坐标，如果一个函数能通过变换化为两个函数之差的形式，则函数的零点就是这两个图象交点的横坐标，可以通过画出这两个函数的图象，观察图象的交点情况，对函数的零点作出判断，这种方法就是数形结合法。2：二分法【考点精讲】1.函数零点的存在性判断——二分法如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f（a）·f（b）0，那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在x0∈（a，b），使f（x0）＝0，这个x0也就是方程f（x）＝0的根。2.逆定理：如果函数y=f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的曲线，且x0是函数在这个区间上的一个零点，却不一定有f（a）·f（b）0。如f（x）=x2，在区间[－1，1]上有零点x=0，但f（－1）·f（1）0。3.用二分法求函数零点的步骤：已知函数y=f（x）定义在区间D上，求它在D上的一个变号零点x0的近似值x，使它与零点的误差不超过正数ε，即使得|x－x0|≤ε。（1）在D内取一个闭区间［a，b］D，使f（a）与f（b）异号，即f（a）·f（b）＜0。令a0=a，b0=b。（2）取区间［a0，b0］的中点，则此中点对应的横坐标为x0=a0+21（b0－a0）=21（a0+b0）。计算f（x0）和f（a0）。判断：①如果f（x0）=0，则x0就是f（x）的零点，计算终止；②如果f（a0）·f（x0）＜0，则零点位于区间［a0，x0］内，令a1=a0，b1=x0；③如果f（a0）·f（x0）＞0，则零点位于区间［x0，b0］内，令a1=x0，b1=b0。（3）取区间［a1，b1］的中点，则此中点对应的横坐标为x1=a1+21（b1－a1）=21（a1+b1）。计算f（x1）和f（a1）。判断：①如果f（x1）=0，则x1就是f（x）的零点，计算终止；②如果f（a1）·f（x1）＜0，则零点位于区间［a1，x1］上，令a2=a1，b2=x1。③如果f（a1）·f（x1）＞0，则零点位于区间［x1，b1］上，令a2=x1，b2=b1。……实施上述步骤，函数的零点总位于区间［an，bn］上，当|an－bn|＜2ε时，区间［an，bn］的中点xn=21（an+bn）就是函数y=f（x）的近似零点，计算终止。这时函数y=f（x）的近似零点与真正零点的误差不超过ε。【典例精析】例题1对于函数f（x）＝x2＋mx＋n，若f（a）0，f（b）0，则函数f（x）在区间（a，b）内（）A.一定有零点B.一定没有零点C.可能有两个零点D.至多有一个零点思路导航：若函数f（x）的图象及给定的区间（a，b），如图（1）、图（2）所示，可知A错；若如图（3）所示，可知B错、D错。故C对。答案：C点评：结合二次函数的图象来判断给定区间根的情况。例题2用二分法研究函数f（x）＝x3＋3x－1的零点时，经第一次计算得f（0）＜0，f（0.5）＞0，可得其中一个零点x0∈______，第二次应计算________，这时可判断0x∈________。思路导航：由题意知x0∈（0，0.5），第二次计算应取x1＝0.25，这时f（0.25）＝0.253＋3×0.25－1＜0，故x0∈（0.25，0.5）。答案：（0，0.5）f（0.25）（0.25，0.5）例题3是否存在这样的实数a，使函数f（x）＝x2＋（3a－2）x＋a－1在区间[－1，3]上与x轴恒有一个零点，且只有一个零点。若存在，求出范围，若不存在，说明理由。思路导航：运用二分法可以求出a的范围，但是要注意检验。答案：∵Δ＝（3a－2）2－4（4－1）＝9a2－16a＋8＝9a－892＋89＞0，∴若实数a满足条件，则只需使f（－1）·f（3）≤0即可。f（－1）·f（3）＝（1－3a＋2＋a－1）·（9＋9a－6＋a－1）＝4（1－a）（5a＋1）≤0。所以a≤－15或a≥1。检验：（1）当f（－1）＝0时，a＝1。所以f（x）＝x2＋x。令f（x）＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1。方程在[－1，3]上有两根，不合题意，故a≠1。（2）当f（3）＝0时，a＝－15，此时f（x）＝x2－135x－65。令f（x）＝0，即x2－135x－65＝0，解之得x＝－25或x＝3。方程在[－1，3]上有两根，不合题意，故a≠－15。综上所述，a＜－15或a＞1。【总结提升】本部分内容是高中数学的重难点，也是高考考查的重点，对于本部分内容的备考需注意以下两个方面：一是准确理解函数零点的概念及其存在性定理，能通过特殊值的函数值判断函数零点所在的区间；二是熟记常见函数的图象，牢记图象的基本特征，灵活运用函数图象解决相关问题。高中阶段，研究函数零点的主要方法有：零点定理法、数形结合法。使用二分法求方程的近似解要注意：（i）要使第一步中的区间[a，b]长度尽量小；（ii）区间[a，b]的长度与一分为二的次数满足关系式||)21(nba。3：函数零点的应用【考点精讲】二次函数零点分布：设)0(,)(2acbxaxxf以下研究a0的情况，a0分析方法同理（a）二次方程)0(02acbxax的两个根21,xx满足21xrx函数)0(,)(2acbxaxxf两个零点为21,xx满足21xrx0)(rf（b）方程)0(,02acbxax的两个根21,xx满足rxx12二次函数)0(,)(2acbxaxxf两个零点21,xx满足rxx120)(2042rfrabacb（c）方程)0(,02acbxax的两个根21,xx满足qxxp21时，0)(0)(2-042qfpfqabpacb（d）二次方程)0(02acbxax的两个根满足qxpx21函数cbxaxxf2)(的零点满足qxpx210)(0)(qfpf（e）二次方程)0(02acbxax的两个根有且只有一个根在（p，q）内函数)0()(2acbxaxxf的两个零点有且只有一个在区间（p，q）内0)()(qfpf或检验f（p）=0，f（q）=0并检验另一根在（p，q）内。【典例精析】例题1已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0。（1）若方程有两根，其中一根在区间（－1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m的范围；（2）若方程两根均在区间（0，1）内，求m的范围。思路导航：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制。答案：（1）由条件，抛物线f（x）＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间（－1，0）和（1，2）内，如图（1）所示，得056)2(,024)1(02)1(012)0(mfmffmf，，.65,21m,,21mRmm即－56＜m＜－12。（2）抛物线与x轴交点均落在区间（0，1）内，如图（2）所示，列不等式组10,0,0)1(,0)0(mff⇒m＞－12，m＞－12，m≥1＋2或m≤1－2，－1＜m＜0.即－12＜m≤1－2。例题2对实数a和b，定义运算“○×”：a○×b＝a，a－b≤1，b，a－b＞1.设函数f（x）＝（x2－2）○×（x－1），x∈R。若函数y＝f（x）－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）A.（－1，1]∪（2，＋∞）B.（－2，－1]∪（1，2]C.（－∞，－2）∪（1，2]D.[－2，－1]思路导航：当（x2－2）－（x－1）≤1时，－1≤x≤2，所以f（x）＝x2－2，－1≤x≤2，x－1，x＜－1或x＞2，f（x）的图象如图所示。y＝f（x）－c的图象与x轴恰有两个公共点，即方程f（x）＝c恰有两个解，由图象可知当c∈（－2，－1]∪（1，2]时满足条件。答案：B点评：转化为两个函数交点个数问题，利用数形结合法求解。例题3已知关于x的函数y=（m+6）x2+2（m-1）x+m+1恒有零点．（1）求m的范围；（2）若函数有两个不同零点，且其倒数之和为-4，求m的值．思路导航:（1）当m+6=0时，即m=-6时，满足条件．当m+6≠0时，由≥0求得m≤95-且m≠-6．综合可得m的范围．（2）设x1，x2是函数的两个零点，由条件并利用一元二次方程根与系数的关系求得m的值．答案：：（1）当m+6=0时，m=-6，函数为y=-14x-5显然有零点．当m+6≠0时，m≠-6，由△=4（m-1）2-4（m+6）（m+1）=-36m-20≥0，得m≤95-．∴当m≤95-且m≠-6时，二次函数有零点．综上可得，m≤95-，即m的范围为（-∞，95-]．（2）设x1，x2是函数的两个零点，则有x1+x2=6)1m2m（，x1x2=61mm．∵2111xx=-4，即2121xxxx=-4，∴1)1m2m（=-4，解得m=-3．且当m=-3时，m+6≠0，△＞0，符合题意，∴m的值为-3