待定系数法求特殊数列的通项公式

待定系数法求特殊数列的通项公式靖州一中蒋利在高中数学教学中，经常碰到一些特殊数列求通项公式，而这些问题在高考和竞赛中也经常出现，是一类广泛而复杂的问题，历届高考常以这类问题作为一道重大的试题。因此，在教学中，针对这类问题，提供一些特殊数列求通项公式范例，帮助同学们全面掌握这类问题及求解的一般方法。求数列的通项公式，最为广泛的的办法是：把所给的递推关系变形，使之成为某个等差数列或等比数列的形式，于是就可以由此推得所给数列的通项公式。求解的关健在于变形的技巧，而变形的技巧主要在于引进待定系数。其基本原理是递推关系两边加上相同的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差或等比数列。具体的求解过程详见示例。第一类别：an=Aan-1+B例1设x1=2,且xn=5x1n+7.求数列的通项公式解：所给的递推公式可变形为xn+m=5x1n+7+m=5(x1n+557m),令m=557m.则m=47于是xn+47=5(x1n+47)，{xn+47}是等比数列，其首项为x1+47=415,公比为q=5.于是xn+47＝415·51n所以xn＝415·51n－47例2设x1=1,且xn=52311nnxx（n=2，3，4，…）求数列｛xn｝的通项公式解：所给的递推公式可变为：323511nnxx)53521(3511mxmxnn,令m=5352m,则m=1于是)11(35111nnxx。{11nx}是等比数列，其首项是111x=2,公比是q=35于是11nx=2（35）n-1。所求的xn=1113523nnn第二类别：an=Aan-1+Ban-2例3设x1=1，x2=5,xn=13xn-1-22xn-2,（n=3,4,…）求数列｛xn｝的通项公式解：所给的递推公式可变为xn+mxn-1=（m+13）xn-1-22xn-2=（m+13）（xn-1-1322mxn-2）令m=-1322m，则m=－2,或m=－11于是xn-2xn-1=11（xn-1-xn-2）,xn-11xn-1=2(xn-1-xn-2)｛xn-2xn-1｝，｛xn-11xn-1｝都是等比数列，其首项与公比分别为x2-2x1=3,q=11。X2-11x1=-6,q=2。于是xn-2xn-1＝3·11n-2，xn-11xn-1=-6·2n-2。由此消去xn-1可得xn=(11n-1+2n)/3例4：设x1=1,x2=2。且xn=7xn-1+18xn-2（n=3,4,…）求数列｛xn｝的通项公式解：所给的递推公式可变为xn+mxn-1=(m+7)xn-1+18xn-2=(m+7)(xn-1+718mxn-2)令m=718m，则m=2,或m=-9xn+2xn-1=9(xn-1+2xn-2),xn-9xn-1=-2(xn-1-9xn-2)｛xn+2xn-1｝与｛xn-9xn-1｝都是等比数列，其首项与公比分别为x2+2x1=4，q=9。X2-9x1=-7，q=-2xn+2xn-1=4·9n-2，xn-9xn-1=-7(-2)n-2由此消去xn-1可得xn=（4·9n-1+7·(-2)n-1）/11第三类别：an=Aan-1+f(n)例5设x1=1，且xn=3xn-1＋5n＋1（n=2,3,…）……（1）求数列｛xn｝的通项公式解：x2=14，于是（1）把n改成n-1得xn-1=3xn-2＋5(n-1)＋1………（2）两式相减得xn-xn-1=3(xn-1-xn-2)+5xn-xn-1+m=3(xn-1-xn-2)+5+m=3(xn-1-xn-2+335m)令m=335m,则m=25。于是xn-xn-1+25=3(xn-1-xn-2+25)｛xn-xn-1+25｝是等比数列，其首项为x2-x1+25=231,其公比q=3。于是xn-xn-1+25=231·3n-2………（3）由（1）与（3）消去xn-1得xn=(31·3n-1-10n-17)/4例6：设x1=4，且xn=5xn-1＋7n－3（n=2,3,……）……（1）求数列｛xn｝的通项公式方法1解：x2=31,于是（1）把n改成n-1得xn-1=5xn-2＋7(n-1)－3………（2）两式相减得xn-xn-1=5(xn-1-xn-2)＋7xn-xn-1＋m=5(xn-1-xn-2)＋7＋m=5(xn-1-xn-2＋57m)令m=57m,则m=47。xn-xn-1+47=5(xn-1-xn-2＋47)｛xn-xn-1+47｝是等比数列，其首项为x2-x1+47=4115,其公比q=5。于是xn-xn-1+47=4115·5n-2……（3）由（1）与（3）消去xn-1得xn=161(23·5n-28n-23)方法2：所给的递推公式可变为xn＋An＋B=5(xn-1＋5375nBAn)设A(n-1)＋B=5375nBAn比较系数得A=57A，-A+B=53B由此求得A=47，B=1623。于是xn＋162328n=5(xn-1＋1623)1(28n)，于是｛xn＋162328n｝是等比数列，其首项为x1+1651=16115,其公比q=5。于是xn＋162328n=16115·5n-1所以xn=161(23·5n-28n-23)例7，设x1=2,且xn=3xn-1＋2n2＋1，求数列｛xn｝的通项公式解：所给的递推公式可变为xn＋An2＋Bn＋C=3(xn-1＋312322nCBnAn)设A(n-1)2＋B(n-1)＋C=312322nCBnAn比较系数得：A=32A，-2A+B=3B，A-B+C=31C。由此求得A=1，B=3，C=27。于是xn＋27622nn=3(xn-1＋27)1(6)1(22nn)｛xn＋27622nn｝是等比数列，其首项为x1+215=219,其公比q=3。于是xn＋27622nn=219·3n-1。所以xn=21(19·3n-1－2n2－6n－7)例8：设x1=1，且xn=-xn-1+3·2n，（n=2,3,…）………（1）求数列｛xn｝的通项公式解：x2=-x1＋12=11。于是（1）把n改成n-1得xn-1=-xn-2+3·2n-1，2xn-1=-2xn-2+3·2n………………（2）（1）－（2）得xn-2xn-1=-xn-1+2xn-2。即xn=xn-1+2xn-2xn＋mxn-1=(m+1)(xn-1＋12mxn-2)。令m=12m，则m=1,m=-2于是：xn+xn-1=2(xn-1+xn-2)；xn-2xn-1=-(xn-1-2xn-2)｛xn+xn-1｝与｛xn-2xn-1｝都是等比数列，其首项与公比分别为首项x2+x1=12，公比q=2。首项x2-2x1=9，公比q=-1。于是xn+xn-1=12·2n-2，xn-2xn-1=9(-1)n-2由此消去xn-1得xn=2n+1+3(-1)n练习：1设x1=5，且xn=7xn-1+8n+3，（n=2,3,…）求数列｛xn｝的通项公式答案xn=(151·7n-1-24n-37)/182设x1=1，且xn=2xn-1+3·7n-1，（n=2,3,…）求数列｛xn｝的通项公式答案xn=(3·7n-2n+3)/53设x1=1，且xn=-3xn-1+5·2n，（n=2,3,…）求数列｛xn｝的通项公式答案xn=2n+1+(-1)n3n