经济数学-第四章

经济数学清华大学出版社张杰明主编JINGJISHUXUE刘增锐梁赛良杨秀萍副主编经济数学★★★第一节微分中值定理、洛比达法则页码：1一、罗尔定理定理1如果函数3()41fxxx满足下列条件：(1)在闭区间［a，b］上连续；(2)在开区间(a，b)内可导；(3)()()fafb.那么在(a，b)内至少存在一点ξ(a＜ξ＜b)，使得/()0f图4-1证明从略.罗尔定理的几何意义：如果函数()yfx在闭区间［a，b］上连续，在开区间(a，b)内可导，且在曲线段AB两端点的纵坐标相等，即()()fafb，那么在曲线段AB上至少有一点C(，/()f)，使得过该点的切线平行于x轴(如图4－1).经济数学★★★第一节微分中值定理、洛比达法则页码：2例1验证罗尔定理对函数3()41fxxx在区间［0，2］上的正确性.证明因为函数3()41fxxx在闭区间［0，2］上连续，在开区间(0，2)内可导，且(0)(2)1ff，所以()fx在［0，2］上满足罗尔定理的条件.由于/2()34fxx，令/()0fx，得1233x，2233x，其中2233x在开区间(0，2)内，即函数()fx在开区间(0，2)内有一点233，使得()0f.因此，罗尔定理对函数3()41fxxx在区间［0，2］上是正确的.注意：罗尔定理中的三个条件，对于结论的成立都是极其重要的，如果其中的一个条件不满足，都可能导致定理中的结论不成立.不妨以不满足定理中的条件(2)为例来分析.我们考察函数经济数学★★★第一节微分中值定理、洛比达法则页码：3二、拉格朗日中值定理定理2如果函数f(x)满足下列条件：(1)在闭区间［a，b］上连续；(2)在开区间(a，b)内可导.那么在(a，b)内至少存在一点ξ(a＜ξ＜b)，使得/()()()()fbfafba或/()()().fbfafba经济数学★★★第一节微分中值定理、洛比达法则页码：4证明我们用罗尔定理来证明.由于()()fafb，则需要构造一个辅助函数()x，使得()x与()fx有关，同时又满足罗尔定理的条件.弦AB所在的直线方程为()()()().fbfayxafaba在区间［a，b］上任取一点x，过点x作一直线垂直于x轴，交曲线AB和弦AB于点C、D，以C点的纵坐标减去D点的纵坐标所构成的函数图4-3作辅助函数()x即()()()()().fbfaxfxfaba经济数学★★★第一节微分中值定理、洛比达法则页码：5显然，函数()x在［a，b］上连续，在(a，b)内可导，且()()0ab.根据罗尔定理知：在(a，b)内至少存在一点ξ(a＜ξ＜b)，使得/()0即/()()().fbfafba拉格朗日中值定理的几何意义：如果函数()fx在闭区间［a，b］上连续，在开区间(a，b)内可导,那么在曲线段AB上至少有(,())Cf，使得过曲线上该点的切线平行于弦AB(如图4-4中的两点1C和2C).图4-4经济数学★★★第一节微分中值定理、洛比达法则页码：6关于，由于它介于a与b之间，因此，存在一正数(01)，使得().aba于是，拉格朗日中值定理的结论还可以表示为/()()[()]().fbfafababa设(,)xab，x为x的改变量；不妨令x＞0.那么函数()fx在［x，x＋x］上也满足拉格朗日中值定理的条件，从而/()()().fxxfxfxxx这里是介于0与1之间的一个数，也就是说，函数f(x)在x处的改变量/()yfxxx，0＜＜1.（微分中值定理.）经济数学★★★第一节微分中值定理、洛比达法则页码：7推论1如果函数f(x)在(a，b)内的导数/()fx恒为零，那么函数/()fx在(a，b)内恒为常数.推论2如果函数f(x)与g(x)在区间(a，b)内每一点的导数/()fx与/()gx都相等，则这两个函数在区间(a，b)内至多相差一个常数.证明在区间(a，b)内任取两点1x，2x,且12xx.根据拉格朗日中值定理可得，在(x1，x2)内有一点ξ，使得/2121()()()()fxfxxxf(a＜ξ＜b).由于/()fx=0，则/()f=0，于是21()()0fxfx，也即12()()fxfx.经济数学★★★第一节微分中值定理、洛比达法则页码：8例2因为1x，2x是(a，b)内任意两点，故()fx在(a，b)内恒为常数.结合常数的导数等于零可推出：可导函数等于常数的充分必要条件是它的导数为零证明:arcsinarccos(11)2xxx证明设f(x)=arcsinx＋arccosx,易知，函数()fx在［－1，1］上连续，在(－1，1)内可导，且//2211()=(arcsinx+arccosx)011fxxx.根据推论1，可知()fx恒为常数.由于(0)2f，且(1)(1)2ff，则arcsinarccos(11)2xxx经济数学★★★第一节微分中值定理、洛比达法则页码：9*三、柯西中值定理定理3如果函数f(x)及g(x)满足(1)在闭区间［a，b］上连续；(2)在开区间(a，b)内可导；(3)对任一x∈(a，b)，g′(x)≠0.那么在(a，b)内至少有一点ξ，使得//()()()()()()fbfafgbgag.证明从略.很显然，如果取/(),()(),()1gxxgbgabagx，因而上述公式可以写成：/()()()()fbfafba(ab)，这样就变成拉格朗日中值公式了.经济数学★★★第一节微分中值定理、洛比达法则页码：10四、洛比达法则关于x→x0时未定式00型的情形，有如下定理.定理4如果函数()fx，()gx满足以下条件：(1)()0fx，0lim()0xgx；(2)函数()fx，()gx在区间0000(,)(,)xxxx内可导(其中0))，且/()0gx；(3)极限//0()lim()xfxgx存在(或为无穷大).那么//00()()limlim()()xxfxfxgxgx.注意如果当0xx时，/()fx,/()gx仍然是00型未定式，且/()fx,/()gx也满足定理4中的条件，则可反复使用洛比达法则.即000//////()()()limlimlim()()()xxxxxxfxfxfxgxgxgx且可依此类推下去.经济数学★★★第一节微分中值定理、洛比达法则页码：11例3求0sinlimsinxmxnx.解00sincoslimlimsincosxxmxmmxmnxnnxn.上述关于0xx时未定式00型的洛比达法则，对于x→∞时未定式00型同样适合.关于0xx时未定式型的情形，有如下定理.经济数学★★★第一节微分中值定理、洛比达法则页码：12定理5如果函数()fx，()gx满足以下条件：(1)0lim()xxfx，0lim()xxgx；(2)函数()fx，()gx在区间0000(,)(,)xxxx内可导(其中δ＞0)，且/()0gx；(3)极限0//()lim()xxfxgx存在(或为无穷大).那么00//()()limlim()()xxxxfxfxgxgx.经济数学★★★第一节微分中值定理、洛比达法则页码：13例4求0ln(cot)limlnxxx.解2000001(csc)ln(cot)1cotlimlimlim(lim)(lim)11lnsincossincosxxxxxxxxxxxxxxxx关于x→∞时的未定式型，上述洛比达法则同样适合.洛比达法则是求极限的一个充分条件，但并不必要.使用洛比达法则后没有极限或求不出极限并不等于原式没有极限，只说明该题目不能用洛比达法则计算，需利用别的方法经济数学★★★第一节微分中值定理、洛比达法则页码：14例5求201sinlimsinxxxx.解此极限属于x→0时未定式型.于是，2/111(sin)2sincosxxxxx，而01lim2sin0xx，01limcosxx不存在，所以不能用洛比达法则进行计算.事实上，20001sin1lim(lim)(limsin)0sinsinxxxxxxxxx..经济数学★★★第二节函数的单调性与极值页码：15一、函数单调性的判别法设函数()yfx在闭区间［a，b］上连续，在开区间(a，b)内可导.设1x，2x为［a,b］上的任意两点，且12xx.根据拉格朗日中值定理，可得在区间(1x，2x)内至少存在一点ξ，使得/2121()()()()fxfxfxx(12xx).如果函数()fx在(a，b)内有/()fx＞0，那么/()f＞0.于是/2121()()()()0fxfxfxx，12()()fxfx.经济数学★★★第二节函数的单调性与极值页码：16定理1设函数()yfx在闭区间［a，b］上连续，在开区间(a，b)内可导.(1)如果对(a，b)内任一点x，都有/()0fx，那么函数()yfx在［a，b］上单调增加；(2)如果对(a，b)内任一点x，都有/()0fx，那么函数()yfx在［a，b］上单调减少.注意：如果/()fx在(a，b)内个别点处为零，而在其他点处均大于或小于零，那么这样的点不会改变函数的单调性.如函数sinyxx的导数/1cosyx，当2()xkkz时，/0y，而在其他点处均大于零.显然，函数sinyxx在(－∞，＋∞)上是单调增加的.经济数学★★★第二节函数的单调性与极值页码：17例1判定函数()1xfxex的单调性.解函数的定义区间为(－∞，＋∞)，其导数/()1xfxe.当x＞0时，1xe，因而/()0fx；当x0时，xe1，因而/()fx0；当0x时，/()0fx.由于()fx在(－∞，＋∞)内连续且可导，于是根据上面讨论的结果还可以用如下表格表示函数的单调性(表中“”表示单调增加，“”表示单调减少)：x(,0)0(0,)/()fx_0+()fx0即函数()fx在(－∞，0)内单调减少；在(0，＋∞)内单调增加，其中x=0是单调减少区间(－∞，0)和单调增加区间(0，＋∞)的分界点，且在x=0处/()0fx..经济数学★★★第二节函数的单调性与极值页码：18二、函数极值的判别法定义(1)设函数()fx在点0x的某一邻域内有定义，若对于该邻域内一切异于0x的x恒有(1)0()()fxfx，那么称函数()fx在x0处有极大值0()fx，0x称为极大值点；(2)0()()fxfx，那么称函数()fx在0x处有极小值0()fx，0x称为极小值点.函数的极大值和极小值统称为函数的极值，极大值点和极小值点统称为函数的极值点.函数取得极值的必要条件和充分条件.定理2如果函数()fx在点0x处可导，且在0x处取得极值，那么/0()0fx.判别极值的两个充分条件：经济数学★★★第二节函数的单调性与极值页码：19定理3(第一充分条件)设函数()fx在点0x处连续，且在0x的某空心邻域内可导.(1)若00(,)xxx时，/()0fx，而00(,)xxx时，/()0fx，则()fx在0x处取得极大值；(2)若00(,)xxx时，/()0fx，而00(,)xxx时，/()0fx，则()fx在0x处取得极小值；(3)若00(,)xUx时，/()fx的符号保持不变，则()fx在0x处没有极值.显然，当x在点0x的邻域内从小到大逐渐增加地经过点0x时，如果/()fx的符号不改变，那么()fx在0x处没有极值(图4-7)经济数学★★★第二节函数的单调性与极值页码：20图4-7经济数学★★★第二节函数的单调性与极值页码：21由上述两个定理