高中数学选修2-2：合情推理

第二章把握热点考向理解教材新知应用创新演练2.1合情推理与演绎推理2．1.1合情推理考点一考点二知识点一知识点二考点三知识点三推理1.推理的概念与分类(1)根据一个或几个得出一个，这种思维方式就是推理．(2)推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)，叫做；一部分是由已知判断推出的判断，叫做．(3)推理一般分为与．2．合情推理前提为真时，结论的推理，叫做合情推理．常用的合情推理有和.已知事实(或假设)判断前提结论合情推理演绎推理可能为真归纳推理类比推理归纳推理问题1：图(甲)是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(乙)所示的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，把图(乙)中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn的长度构成数列{an}．试计算a1，a2，a3，a4的值．提示：由图知：a1＝OA1＝1，a2＝OA2＝OA21＋A1A22＝12＋12＝2，a3＝OA3＝OA22＋A2A23＝22＋12＝3，a4＝OA4＝OA23＋A3A24＝32＋12＝4＝2.问题2：由问题1中的结果，你能猜想出数列{an}的通项公式an吗？提示：能猜想出an＝n.(n∈N＋)问题3：直角三角形，等腰三角形，等边三角形的内角和都是180°，你能猜想出什么结论？提示：所有三角形的内角和都是180°.问题4：以上两个推理有什么共同特点？提示：都是由特殊推想出一般结论．归纳推理(1)定义：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简称归纳)，归纳是从到的过程．(2)归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些；②从已知的中推出一个明确表述的命题(猜想).所有对象特殊一般相同性质相同性质一般性类比推理已知三角形的如下性质(1)三角形的两边之和大于第三边；(2)三角形的面积等于高与底乘积的12.问题1：试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质．提示：(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．(2)四面体的体积等于底面积与高乘积的13.问题2：以上两个推理有什么共同特点？提示：根据三角形的特征，推出四面体的特征．问题3：以上两个推理是归纳推理吗？提示：不是．归纳推理是从特殊到一般的推理，而以上两个推理是从其中一类事物的性质去推测另一类事物的性质的推理．类比推理(1)定义：根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物的性质的推理，叫做类比推理(简称类比)．(2)类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的或；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个的命题(猜想)．类似(或相同)相似性一致性明确1．归纳推理的特点：(1)归纳推理是由几个已知的特殊情况归纳出一般性的结论，该结论超越了前提所包含的范围．(2)归纳出的结论具有猜测性质，是否属实，还需逻辑证明和实践检验，即结论不一定可靠．2．类比推理的特点：(1)类比是由已经解决的问题和已经获得的知识出发，推测正在研究的事物的属性，提出新问题作出新发现．(2)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它有发现功能．3．归纳推理和类比推理都属于合情推理．数、式中的归纳推理[例1]根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式：(1)a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N＋)；(2)a1＝1，an＋1＝an1＋an(n∈N＋)．[思路点拨]由a1求a2→由a2求a3→由a3求a4→分析a1、a2、a3、a4的结构特征→猜想通项公式[精解详析](1)由an＋1＝2an＋1及a1＝1得a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，a5＝2×15＋1＝31.由a1＝1＝21－1，a2＝3＝22－1，a3＝7＝23－1，a4＝15＝24－1，a5＝31＝25－1，可归纳猜想an＝2n－1(n∈N＋)．(2)当n＝1时，a1＝1，由an＋1＝an1＋an(n∈N＋)得a2＝a11＋a1＝12，a3＝a21＋a2＝121＋12＝13，a4＝a31＋a3＝131＋13＝14.可归纳猜想：{an}的通项公式an＝1n.a[一点通]归纳猜想数列通项公式的具体步骤是：(1)通过条件求得数列中的前几项；(2)观察数列的前几项寻求项的规律，猜测数列的通项公式．1．将全体正整数排成一个三角形数阵：根据以上排列规律，数阵中第n行(n≥3)的从左到右的第3个数是________．解析：前1行共1个数；前2行共1＋2＝3个数；前3行共1＋2＋3＝6个数；前4行共1＋2＋3＋4＝10个数；前5行共1＋2＋3＋4＋5＝15个数；…前n－1行共1＋2＋3＋4＋…＋(n－1)＝n2－n2个数．因此，第n行第3个数是全体正整数中第n2－n2＋3个，即n2－n＋62.答案：n2－n＋622．在数列{an}中，a1＝1且Sn，Sn＋1,2S1成等差数列，计算S2，S3，S4并猜想Sn的表达式．解：依题意得2Sn＋1＝Sn＋2S1，S1＝a1＝1.当n＝1时，2S2＝S1＋2S1，∴S2＝32S1＝32；当n＝2时，2S3＝S2＋2S1＝32＋2＝72；∴S3＝74；当n＝3时，2S4＝S3＋2S1＝74＋2＝154，∴S4＝158；猜想Sn＝2n－12n－1(n∈N＋).几何中的归纳推理[例2]有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼合成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()A．26B．31C．32D．36[思路点拨]解答本题可有两种思路：第一种，直接数个数，找到变化规律后再猜想；第二种，看图形的排列规律，每相邻的两块无纹正六边形之间有一块“公共”的有菱形纹正六边形．[精解详析]法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案123…个数61116…由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.法二：由图案的排列规律可知第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31.答案：B[一点通]解决图形中归纳推理的方法(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系；(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．3．如图，第n个图形是由正(n＋2)边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n个图形中的顶点个数为()A．(n＋1)(n＋2)B．(n＋2)(n＋3)C．n2D．n解析：第一个图形共有12＝3×4个顶点，第二个图形共有20＝4×5个顶点，第三个图形共有30＝5×6个顶点，第四个图形共有42＝6×7个顶点，故第n个图形共有(n＋2)×(n＋3)个顶点．答案：B4．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如下图)，则第七个三角形数是________．解析：第七个三角形数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.答案：28类比推理的应用[例3](12分)如图所示，在平面上，设ha，hb，hc分别是△ABC三条边上的高，P为△ABC内任意一点，P到相应三边的距离分别为pa，pb，pc，可以得到结论paha＋pbhb＋pchc＝1.证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明．[精解详析]paha＝12BC·pa12BC·ha＝S△PBCS△ABC，同理，pbhb＝S△PACS△ABC，pchc＝S△PABS△ABC，(2分)∵S△PBC＋S△PAC＋S△PAB＝S△ABC，∴paha＋pbhb＋pchc＝S△PBC＋S△PAC＋S△PABS△ABC＝1.(4分)类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD中，设ha，hb，hc，hd分别是四面体的四个顶点到对面的距离，P为四面体内任意一点，P到相应四个面的距离分别为pa，pb，pc，pd，可以得到结论paha＋pbhb＋pchc＋pdhd＝1.(8分)证明如下：paha＝13S△BCD·pa13S△BCD·ha＝VP－BCDVA－BCD，同理，pbhb＝VP－ACDVA－BCD，pchc＝VP－ABDVA－BCD，pdhd＝VP－ABCVA－BCD，(10分)∵VP－BCD＋VP－ACD＋VP－ABD＋VP－ABC＝VA－BCD，∴paha＋pbhb＋pchc＋pdhd＝VP－BCD＋VP－ACD＋VP－ABD＋VP－ABCVA－BCD＝1.(12分)[一点通](1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论．(2)平面图形与空间图形类比如下：平面图形点线边长面积线线角三角形空间图形线面面积体积二面角四面体5．实数的乘法与向量的数量积有以下类似的性质：a·b＝b·a，a·b＝b·a，(a＋b)·c＝a·c＋b·c，(a＋b)·c＝a·c＋b·c.则由①(a·b)·c＝a·(b·c)，②若a≠0，a·c＝a·b，则b＝c，猜想对于向量的数量积有什么样的结论，猜想是否正确？解：猜想：①(a·b)·c＝a·(b·c)，②若a≠0，a·c＝a·b，则b＝c，这两个结论都不正确．①式左边表示与c共线的向量，右边表示与a共线的向量，c与a不一定共线，就不一定相等．②a·c＝a·b，|a||c|cos〈a，c〉＝|a||b|cos〈a，b〉，可得|c|cos〈a，c〉＝|b|cos〈a，b〉，则c，b在a方向上的投影相等，b，c不一定相等．6．如图所示，在△ABC中，a＝b·cosC＋c·cosB，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边．写出对空间四面体性质的猜想．解：如图所示，在四面体P—ABC中，S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．猜想S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.1．用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明．2．进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．3．多用下列技巧会提高所得结论的准确性：(1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些．(2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性．(3)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面．