数学建模--房贷还款问题

试卷编号：河北联合大学轻工学院第三届数学文化节之数学实验竞赛答卷参赛队员1参赛队员2参赛队员3姓名胡韶奕学号200915191417专业机械设计制造[e-mail]知行书院·基础教学部摘要房贷还款问题1)等额本息还款法和等额本金还款法银行利息的计算公式是：利息＝资金额×利率×占用时间。因此，利息的多少，在利率不变的情况下，决定因素只能是资金的实际占用时间和占用金额的大小，而不是采用哪种还款方式。这是铁定不变的道理！不同的还款方式，只是为满足不同收入、不同年龄、不同消费观念人们的不同需要或消费偏好而设定。其实质，无非是贷款本金因“朝三暮四”或“朝四暮三”式的先还后还，造成贷款本金事实上的长用短用、多用少用，进而影响利息随资金实际占用数量及期限长短的变化而增减。可见，不管采取哪种贷款还款方式，银行都没有做吃亏的买卖、客户也不存在节省利息支出的实惠。2)合适的提前还贷所谓提前还贷是指借款人在保证按月按额偿还个人住房贷款本息的基础上，提前偿还部分或全部购房借款的一种经济行为。提前还贷通过提前偿还全部或部分本金而使利息减少，但提前还贷不能盲目跟风，否则得不偿失。（1）已享受优惠利率不必急于提前还贷（2）还款期过半不宜提前还贷3)浅谈其他还贷方式等额递减还款法等比递增还款法等比递减还款法等额递增还款法关键词：等额本金还款等额本息还款提前还贷+一问题重述银行目前有等额本息还款法和等额本金还款法两种还款方式，且一般推荐提供等额本息还款法．有人认为一笔20万元、20年的房贷，两种还款方式的差额有1万多元，认为银行在隐瞒信息，赚消费者的钱。若考虑到当前的利率情况，如提前还贷，应如何做。是否可以设计一些其它房贷还款方式，并作讨论。二问题分析购房贷款在还款的过程中，制定的是按月还款。把连续性的问题离散化，所以我们根据差分方程对这一问题进行建模分析。问题一等额本息还款法每月的还款额问题二等额本金还款法每月的还款额问题三当总贷款金额；利率；期数相同时，两种还款方式的利弊问题四关于提前还贷，违约金，剩余利息之间的关系问题五享有优惠政策，还款半数以上者和有投资方向的提前还款的利弊问题六浅谈其他的还贷方法三问题假设与记号假设：①假设外界因素的影响不改变还款期限；②假设货币价值在贷款期限内不受外界因素影响，即不会发生升值或贬值；③假设在一定时间内，银行贷款利率固定不变，不受经济危机、通货膨胀、国家政策的影响；④银行利息按复利计算；记号：A(元)为贷款额（本金），n(月)为贷款期限，r为月利率（0r1），B（月）(1B,2B)为月还款额，R(元)为总剩余利息(1R,2R)，P为还款总额，Ck为第k个月还款后的欠款，H为违约金额。四模型的建立与求解1、模型建立㈠离散变量kC=(1+r)1kC-B0C=A，nC=0kC=(1)kr0C-B[1+(1+r)+……+1(1)kr]kC=A(1)kr-Br[(1)kr-1],k=0,1,2……解得等额本息每月还款额：B=(1)(1)1nnrrrA㈡常量每月归还本金nA，离散变量rj=（A-njA）r，j=0,1,2……n-1解得等额本金每月还款额B=nA+（A-njA）r㈢对于总还款额由㈠得等额本息还款总额为P=nB=(1)(1)1nnrrrAn①由㈡得等额本金还款总额为n项等差数列求和，P=10nj[nA+（A-njA）r]=A+2)1(nAr②若总贷款金额A利率r期数n相同时,由②/①=nn21+nr1-nrnn)1(21-nrnr)1(1③n为1的整数，通过对n的探讨分析两种还贷方式。n1，nn21-nrnn)1(210,nr1-nrnr)1(10,③0.当n=1时，③=1，两种还款方式在总贷款金额A利率r相同，期数为1时，还款额相同。当n=2时，③=43+2)1(412rr，2r+12)1(r，2)1(412rr41,③1。当n3时，③=nn21+EE=-nrnn)1(21+nr1-nrnr)1(1=nnrnrrrn)1(2)1(22)1(=nnnnnnrnrrcrcrcrn)1(22......22)1(3322=nnnnnnrnrcrcrcn)1(22......22)1(12312=)22......222(2......22)1(11221112312nnnnnnnnnnnnnrcrcrcrcnrcrcrcn)22......222(2......221111221112312nnnnnnnnnnnnnrcrcrcrcnrcrcrcn1knknncc=kknn)(1,kn,有最大值趋于21)22......222(2......2211221112312nnnnnnnnnnnnnrcrcrcrcnrcrcrcn此式随n值最小值无限趋于0最大值无限趋于21。对于整体)2......22()22()2......22()1(11221112312nnnnnnnnnnnnnrcrcrcnrcnrcrcrcn趋于nn21，③式趋于nn21+nn21=1.可得当总贷款金额A利率r期数n相同时，等额本金还款总还款额小于等额本息还款总还款额。㈣由㈠㈡可知等额本息月还款额为一常量，等额本金月还款额为等差数列，差值Q=nAr。若总贷款金额A利率r期数n相同时，还款初期款方式月还款比较，讨论n何值时(1)(1)1nnrrrA=nA+（A-njA）r对于等额本息还款首月支付为(1)(1)1nnrrrA，对于等额本金还款法首月支付nA+Ar.每月差额nAr，有(1)(1)1nnrrrA-nA-Ar我们计算可知，首月还款额等额本金还款金额要远大于等额本息还款金额，也就是说，等额本金还款在总贷款金额A利率r期数n相同时总还款额比等额本息还款小，但最初的还款期中，还款压力较大。对于现在有一定经济实力且稳定但未来会随着某些因素收入减少的群体比较适合。而等额本息还款法适合现在没有太大且稳定经济收入在以后随某些因素逐渐稳定且收入增高的群体。㈤等额本息还款k月后一次性还清贷款kC=A1(1)kr-1Br[1(1)kr-1]等额本金还款k月后一次性还清贷款kC=nAkn)(（1+r）若不提前还款k月后等额本息还款剩余还款额为(1)(1)1nnrrrA（n-k），等额本金还款法剩余还款额nnkknkn223322A在不考虑违约金H时，由于利息是按复利计算，所以提前还款所产生的利息一定比按原计划还款舒畅生的利息小。在考虑违约金H时，提前还款与按原计划还款所产生的差额大于违约金时，提前还款有利，但小于时则得不偿失。即比较(1)(1)1nnrrrA（n-k）-A1(1)kr-1Br[1(1)kr-1]与H的大小或比较nnkknkn223322A-nAkn)(（1+r）与H的大小。如果有好的投资渠道，利率大于银行利率，这种以钱养钱的方法是一种不错的选择。㈥考虑享受优惠基准利率七折或八五折是否提前还款，还款期过半，即k2n，是否应提前还款。已享受优惠利率不必急于提前还贷提前还贷的目的是为了节省利息的支出，但对于在此轮楼市调控政策出台前就已贷款购房，并且享受基准利率七折或八五折优惠的客户来说，增加的月供负担并不是很重。而且利率优惠的取消，对已经享受优惠利率的老客户来说并无影响，这部分老客户仍具备一定的利率优势，在当前加息因素影响远远小于利率折扣所带来优惠的情况下，完全没必要提前还贷。加上在今后一段时间内，信贷紧缩将是大趋势，未来从银行贷款将会变得更加困难，对此，已享受优惠利率的老客户提前还贷更应三思而行。以此次5年期以上贷款加息0.2%为例，如果以同样的幅度再加息5次，5年期以上贷款基准利率达到7.8%，七折后为5.46%，八五折后则为6.63%，仍低于现行6.8%基准利率。所以，加息对老客户来说，实际影响并不大，而在当前信贷政策紧缩的大背景下，要想再次申请获得七折或八五折优惠利率，则基本不可能。还款期过半不宜提前还贷从明年1月1日起，以前的贷款将全部执行新利率，也就是说，今年两次加息都将累计到2012年1月1日合并执行。以一笔贷款总额为30万元15年期贷款为例，综合今年两次加息，按八五折优惠利率计算，到明年1月1日，借款人每月还贷额增加54.34元，利息总额将从139507.52元增加到149289.49元。由此可见，尽管房贷利率调高后借款人需多支付几千元利息，但这些资金将平均消费在15年的时间里，因此不会给借款人造成太大的还款压力。对于有稳定收入的房贷消费者而言，每月多支付几十元贷款，与通胀速度相比几乎微乎其微，对日常生活也不会造成太大影响。就这一点来看，贷款人没有必要急于提前还贷。尤其是对于采用等额本息还款法还贷的客户，由于前几年偿还的大部分都是本金，如果还款时间已超过贷款期限一半，则不宜提前还贷。以2000年1月份办理的20万元20年期贷款为例，采用等额本息还款法，截至到2011年4月，借款人共偿还银行198178.84元，而其中有115146.34元是偿还给银行的利息。由此可见，贷款人已经在前期支付了利息的“大头”，现在提前还款，所偿还的大部分是本金而非节省的利息。在贷款期限即将到期的情况下，没有必要提前还贷。㈦其他还款方式Ⅰ等额递增还款法:是指在贷款期的后一时间段内每期还款额相对前一时间段内每期还款额有一个固定增加额，同一时间段内，每期还款额相等的还款方法；Ⅱ等额递减还款法:是指在贷款期的后一时间段内每期还款额相对前一时间段内每期还款额有一个固定减少额，同一时间段内，每期还款额相等的还款方法；Ⅲ等比递增还款法:是指在贷款期的后一时间段内每期还款额相对前一时间段内每期还款额呈一固定比例递增，同一时间段内，每期还款额相等的还款方法；Ⅳ等比递减还款法:是指在贷款期的后一时间段内每期还款额相对前一时间段内每期还款额呈一固定比例递减，同一时间段内，每期还款额相等的还款方法。五计算对于matlab的计算，采用以20万元，20年的房贷为例，利率以中行最新利率6.8%为例。Matlab⑴等额本息还款每月还款额r=0.056;A=200000;n=240;[(1+r)^n]*r*A/[(1+r)^n-1]ans=1.5172e+003⑵等额本金还款法每月还款额A/240+A*rans=1.9533e+003A*r/nans=4.6667A1=1.9533e+003，An=1nA-4.6667⑶总还款额为等额本息还款法P=[(1+r)^n]*r*A*n/[(1+r)^n-1]P=3.6412e+005等额本金还款法P=A+A*[(n+1)/2]*rP=3.3496e+005可见总还款额等额本金还款法等额本息还款法。㈣由㈡可知首月还款额中，等额本息还款法为1.5172e+003，等额本金还款法为1.9533e+003，所以前期等额本金还款法还款额较大。但因还款为等差数列，所以在94月后，等额本金还款额将小于等额本息还款法(1.9533e+003)-94*4.6667ans=1.5146e+003(1.9533e+003)-93*4.6667ans=1.5193e+003六模型的评价在用数学建模的思想建立购房贷款的模型时，主要应用了其中的差分方程建模的理论。差分方程反应的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。还款方式主要涉及等额本息还款法，等额本金还款法。这里，等额本息还款法指的是在贷款期内每月以相等的金额平均偿还贷款本息的还款方法；等额本金还款法则是贷款人将本金分摊到每个月内，同时付清上一交易日至本次还款日之间的利息。通过建立差分方程的模型，我们可以进一步结合具体的数据进行计算。在对运算结果的比较、分析中，可