概率论与数理统计习题及答案第二章

习题2-21.设A为任一随机事件,且P(A)=p(0p1).定义随机变量1,,0,AXA发生不发生.写出随机变量X的分布律.解P{X=1}=p,P{X=0}=1-p.或者X01P1-pp2.已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值,且取这四个值的相应概率依次为cccc167,85,43,21.试确定常数c,并计算条件概率}0|1{XXP.解由离散型随机变量的分布律的性质知，13571,24816cccc所以3716c.所求概率为P{X1|X0}=258167852121}0{}1{ccccXPXP.3.设随机变量X服从参数为2,p的二项分布,随机变量Y服从参数为3,p的二项分布,若{PX≥51}9,求{PY≥1}.解注意p{x=k}=kknknCpq,由题设5{9PX≥21}1{0}1,PXq故213qp.从而{PY≥32191}1{0}1().327PY4.在三次独立的重复试验中,每次试验成功的概率相同,已知至少成功一次的概率为1927,求每次试验成功的概率.解设每次试验成功的概率为p,由题意知至少成功一次的概率是2719，那么一次都没有成功的概率是278.即278)1(3p,故p=31.5.若X服从参数为的泊松分布,且{1}{3}PXPX,求参数.解由泊松分布的分布律可知6.6.一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取3只球,以X表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X的分布律.解从1，2，3，4，5中随机取3个，以X表示3个数中的最大值，X的可能取值是3，4，5，在5个数中取3个共有1035C种取法.{X=3}表示取出的3个数以3为最大值，P{X=3}=2235CC=101;{X=4}表示取出的3个数以4为最大值，P{X=4}=1033523CC;{X=5}表示取出的3个数以5为最大值，P{X=5}=533524CC.X的分布律是X345P11031035习题2-31.设X的分布律为X-101P0.150.200.65求分布函数F(x),并计算概率P{X0},P{X2},P{-2≤X1}.解(1)F(x)=0,1,0.15,10,0.35,01,1,1.xxxx≤≤≥(2)P{X0}=P{X=-1}=0.15;(3)P{X2}=P{X=-1}+P{X=0}+P{X=1}=1;(4)P{-2≤x1}=P{X=-1}+P{X=0}=0.35.2.设随机变量X的分布函数为F(x)=A+Barctanx-∞x+∞.试求:(1)常数A与B;(2)X落在(-1,1]内的概率.解(1)由于F(-∞)=0,F(+∞)=1,可知()0112,.2()12ABABAB于是11()arctan,.2Fxxx(2){11}(1)(1)PXFF≤1111(arctan1)(arctan(1))2211111().242423.设随机变量X的分布函数为F(x)=0,0,01,21,1,,xxxx　　　≤　　≥求P{X≤-1},P{0.3X0.7},P{0X≤2}.解P{X1}(1)0F≤,P{0.3X0.7}=F(0.7)-F{0.3}-P{X=0.7}=0.2,P{0X≤2}=F(2)-F(0)=1.5.假设随机变量X的绝对值不大于1;11{1},{1}84PXPX;在事件{11}X出现的条件下,X在(-1,1)内任一子区间上取值的条件概率与该区间的长度成正比.(1)求X的分布函数(){FxPX≤x};(2)求X取负值的概率p.解(1)由条件可知,当1x时,()0Fx;当1x时,1(1)8F;当1x时,F(1)=P{X≤1}=P(S)=1.所以115{11}(1)(1){1}1.848PXFFPX易见,在X的值属于(1,1)的条件下,事件{1}Xx的条件概率为{1PX≤|11}[(1)]xXkx,取x=1得到1=k(1+1),所以k=12.因此{1PX≤|11}12xXx.于是,对于11x,有{1PX≤}{1xPX≤,11}xX{11}{1|11}≤PXPXxX5155.8216xx对于x≥1,有()1.Fx从而0,1,57(),11,161,1.xxFxxx≥(2)X取负值的概率7{0}(0){0}(0)[(0)(0)](0).16pPXFPXFFFF习题2-41.选择题(1)设2,[0,],()0,[0,].xxcfxxc如果c=(),则()fx是某一随机变量的概率密度函数.(A)13.(B)12.(C)1.(D)32.解由概率密度函数的性质()d1fxx可得02d1cxx,于是1c,故本题应选(C).(2)设~(0,1),XN又常数c满足{}{}PXcPXc≥,则c等于().(A)1.(B)0.(C)12.(D)-1.解因为{}{}PXcPXc≥,所以1{}{}PXcPXc,即2{}1PXc,从而{}0.5PXc,即()0.5c,得c=0.因此本题应选(B).(3)下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是().(A)cos,[0,],()0,xxfx其它.(B)1,2,()20,xfx其它.(C)22()21e,0,()20,0.≥xxfxx(D)e,0,()0,0.≥xxfxx解由概率密度函数的性质()1fxdx可知本题应选(D).(4)设随机变量2~(,4)XN,2~(,5)YN,1{XPP≤4},2PPY≥5},则().(A)对任意的实数12,PP.(B)对任意的实数12,PP.(C)只对实数的个别值,有12PP.(D)对任意的实数12,PP.解由正态分布函数的性质可知对任意的实数,有12(1)1(1)PP.因此本题应选(A).(5)设随机变量X的概率密度为fx,且()()fxfx,又F(x)为分布函数,则对任意实数a,有().(A)0()1d()∫aFaxfx.(B)01()d2()∫aFaxfx.(C)()()FaFa.(D)2()1FaFa.解由分布函数的几何意义及概率密度的性质知答案为(B).(6)设随机变量X服从正态分布211(,)N,Y服从正态分布222(,)N,且12{1}{1},PXPY则下式中成立的是().(A)σ1σ2.(B)σ1σ2.(C)μ1μ2.(D)μ1μ2.解答案是(A).(7)设随机变量X服从正态分布N(0,1),对给定的正数)10(,数u满足{}PXu,若{}PXx,则x等于().(A)2u.(B)21u.(C)1-2u.(D)1u.解答案是(C).2.设连续型随机变量X服从参数为的指数分布,要使1{2}4PkXk成立,应当怎样选择数k?解因为随机变量X服从参数为的指数分布,其分布函数为1e,0,()0,0.≤xxFxx由题意可知221{2}(2)()(1e)(1e)ee4kkkkPkXkFkFk.于是ln2k.3.设随机变量X有概率密度34,01,()0,xxfx其它,要使{}{}≥PXaPXa(其中a0)成立,应当怎样选择数a?解由条件变形,得到1{}{}PXaPXa,可知{}0.5PXa,于是304d0.5axx,因此412a.4.设连续型随机变量X的分布函数为20,0,()01,1,1,,≤≤xFxxxx求:(1)X的概率密度;(2){0.30.7}PX.解(1)根据分布函数与概率密度的关系()()Fxfx,可得2,01,()0,其它.xxfx(2)22{0.30.7}(0.7)(0.3)0.70.30.4PXFF.5.设随机变量X的概率密度为f(x)＝2,01,0,xx　　≤≤　　其它,求P{X≤12}与P{14X＜≤2}.解{PX≤12201112d2240}xxx;1{4PX≤12141152}2d1164xxx.6.设连续型随机变量X具有概率密度函数,01,(),12,0,xxfxAxx≤≤其它.求:(1)常数A；(2)X的分布函数F(x).解(1)由概率密度的性质可得1222011201111d()d[]122xxAxxxAxxA,于是2A；(2)由公式()()dxFxfxx可得当x≤0时,()0Fx;当0x≤1时,201()d2xFxxxx;当1x≤2时,2101()d(2)d212xxFxxxxxx;当x2时,()1Fx.所以220,0,1()221,2.1,021,12xFxxxxxxx≤≤,≤,7.设随机变量X的概率密度为1(1),02,()40,xxfx其它,对X独立观察3次,求至少有2次的结果大于1的概率.解根据概率密度与分布函数的关系式{PaX≤}()()()dbabFbFafxx,可得2115{1}(1)d48PXxx.所以,3次观察中至少有2次的结果大于1的概率为223333535175()()()888256CC.8.设~(0,5)XU,求关于x的方程24420xXx有实根的概率.解随机变量X的概率密度为105,()50,,xfx≤其它,若方程有实根,则21632X≥0,于是2X≥2.故方程有实根的概率为P{2X≥2}=21{2}PX1{22}PX2011d5x215.9.设随机变量)2,3(~2NX.(1)计算{25}PX≤,{410}PX≤,{||2}PX,}3{XP；(2)确定c使得{}{};PXcPXc≤(3)设d满足{}0.9PXd≥,问d至多为多少？解(1)由P{ax≤b}=P{33333}()()22222aXbbaΦΦ≤公式,得到P{2X≤5}=(1)(0.5)0.5328ΦΦ,P{-4X≤10}=(3.5)(3.5)0.9996ΦΦ,{||2}PX={2}PX+{2}PX=123()2Φ+23()2Φ=0.6977,}3{XP=133{3}1()1(0)2PXΦΦ≤=0.5.(2)若{}{}≤PXcPXc,得1{}{}PXcPxc≤≤,所以{}0.5PXc≤由(0)Φ=0推得30,2c于是c=3.(3){}0.9≥PXd即13()0.92dΦ≥,也就是3()0.9(1.282)2dΦΦ≥,因分布函数是一个不减函数,故(3)1.282,2d≥解得32(1.282)0.436d≤.10.设随机变量2~(2,)XN,若{04}0.3PX,求{0}PX.解因为~2,XN所以~(0,1)XZN.由条件{04}0.3PX可知02242220.3{04}{}()()XPXP,于是22()10.3,从而2()0.65.所以{{}2020}PPXX22()1()0.35.习题2-51.选择题(1)设X的分布函数为F(x),则31YX的分布函数Gy为().(A)11(