概率论与数理统计--典型例题及其分析

概率论与数理统计典型例题及其分析第三章多维随机变量及其分布例3.2.1设随机变量X和Y的联合分布律为XY12118b2a14312418⑴求,ab应满足的条件；⑵若X与Y相互独立，求a,b的值.【思路】先利用联合分布律的性质1ijijp确定a,b应满足的条件，再利用独立性的定义来求出a与b.【解】⑴因为1ijijp，所以11111,84248ba因此11.24ab⑵由于X与Y相互独立，即对所有,ijxy有,,ijijPXxYyPXxYy于是112,121,46aPXYPXYaa解得112a或1.2a同理131,212,88bPXYPXYBb解得18b或3.8b再由11.24ab知13,128ab【解毕】【技巧】由于X与Y的独立性，故对所有的,ijxy应有,,ijijPXxYyPXxYy因此，我们可在联合分布律表中找到几个比较容易计算的值来分别确定分布律中的参数，例如13,1,24PXY而1131,66PXYa可求得1;12a又13,2,8PXY而18求得3.8b这种参数的确定方式，需要读者熟练掌握.例3.2.2（1999年考研题）设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量,XY的联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空间处：XY1y2y3yiiPXxp1x182x18jjPYyp1【思路】利用边缘分布律的求法及独立性来进行，例如，从1111,86p求得111,24p再利用独立性知1111.6pp从而知11,4p等等.【解】利用;iijjijjipppp以及1ijijpp与独立性ijijppp.求解空格内的数值，故11111111111,,68246ppppp即11,4p又由121,pp可得2131.44p反复运用上列公式，可求得1322232313111,,,,.128423ppppp将算得的数值填入表中的空格内，即得XY1y2y3yiiPXxp1x12418112142x18381434jjPYyp1612131例3.2.3（1999年考研题）已知随机变量1X和2X的概率分布分别为1x-1012x01与P111424P1122，而且1201.PXX求1X和2X的联合分布；问：⑴1X和2X是否独立？⑵为什么？【思路】已知1X和2X的边缘分布，一般是不能确定1X和2X的联合分布的，但题中给了一附加条件1201.PXX因此就要从条件入手加以分析，再利用边缘分布与联合分布的关系，就可求解此题了.独立性的判断是比较简单的.【解】⑴由1201.PXX知1200,PXX即12121,11,10.PXXPXX于是1X和2X的联合分布有如下结构：1X2X011XiPP-111P014021P22P12131P0142XjPp12121从而利用边缘分布律与联合分布律的关系知1121211,01,1,PXPXXPXX即1110,4p从而得111.4p同理可知31222111,,0.42ppp故1X和2X的联合分布律为1X2X011XiPP-1140140012121140142XjPp12121⑵由以上结果知120,00,PXX而12111000.224PXPX可见，1X与2X不独立.【技巧】先.将边缘分布的数据以及由条件1201PXX中对应数据填入表中，得到联合分布律表的基本结构，再来求其余ijp的值，是对解离散型随机向量的基本技巧.按独立性的要求，可以检验1X与2X是否独立，特别对不独立的说明只需找出一对,ijxy，使ijijppp即可.例3.2.4将两封信投入3个编号为1，2，3的信箱，用,XY分别表示投入第1，2号信箱的信的数目，求,XY的边缘分布律，并判断X与Y是否独立.【思路】首先确定,XY的所有可能取值，并用古典概型求出取相应值的概率，即可得到,XY的联合分布律，剩下的问题也就迎刃而解了.【解】将2封信投到3个信箱的总投法239,n而X和Y的可能取值均为0，1，2，于是0,0PXYP（两封信都投入第3号信箱）=1;91,0PXYP（两封信中一封投入第1号信箱，另一封投入第3号信箱）11212.99CC同理可得：220,1;1,1;99PXYPXY1,22,12,20.PXYPXYPXY这样，可得,XY的联合分布律，又由于2200,,0,1,2,,,0,1,2.iiPXkPXkYikPXkPXiYkk故所求的分布律为XY012PXk019291949129290492190019PYk4949191X的边缘分布律在表中的最后一列，Y的边缘分布律在表中的最后一行.由于10,09PXY，而44100,999PXPY故X与Y不独立.【解毕】【技巧】二维离散型随机变量的联合分布律，在实际问题中可用事件的乘机（交）的概率求得，此时概率的乘法公式是十分常用的计算技巧.例3.2.5设,XY服从区域2,:01Dxyyx上的均匀分布，⑴写出,XY的联合密度函数；⑵求X和Y的边缘密度函数；⑶求概率2PYX.【思路】先画出区域D的图形，再按上面的解法来求解.【解】（1）由于区域D是由曲线21yx和0y所围成的（如图3.2.1所示），其面积为12141.3Dxdx所以,XY的联合密度为23,01,40,yxfxy其他图3.2.1⑵X的边缘密度函数为2120331,11,11,440,0,xXxxdyxfxfxydy其他其他而Y的边缘密度函数为1133,011,01,440,0,yYydxyyyfyfxydy其他其他⑶记2,:Gxyyx，则GD为图3.2.2阴影部分，从而22221222,,332.442GxGDxPYXPXYGfxydxdydxdydxdy【寓意】本题要求熟悉二维均匀分布和计算边缘密度及概率的基本方法，求这些问题的技巧读者应牢牢掌握，最关键的问题是激发呢区间和积分区域的确定.图3.2.2例3.2.6设二维随机变量,XY的概率密度为,0,,0,AyAexyfxy其他⑴确定常数A；⑵求随机变量X的密度Xfx；⑶求概率1PXY.(后二问为1992年考研题)【解】⑴记D为,fxy的零区域，即,:0Dxyxy其图形如图3.2.3所示.由联合密度的性质得,1fxydxdy，从而有01,.AyAyDxIfxydxdyAedxdydxAedyA因此，A=1.⑵X的边缘密度为,0,0,0,00,0yxXxedyxexfxfxydyxx⑶设,:1Gxyxy，则DG如图3.2.4所示.故11121201,12.xyyGDGxPXYfxydxdyedxdydxedyee图3.2.3图3.2.4【技巧】在利用,1fxydxdy确定,fxy中的常数时，若,0fxy的区域为D，则只需用,1Dfxydxdy就可以了.例3.3.1设,XY的联合分布律为XY-1011414216a求：⑴常数a;⑵联合分布函数在点31,22处的值31,;22F⑶1|0.PXy【解】⑴由联合分布律的性质1ijijp知1111,446ijijpa求得1.3a⑵,XY的联合分布函数,Fxy在点31,22处的值3131111,,1,11,0.2222442FpXYPXYPXY⑶11,0341|0.110743PXYPXYPX【解毕】【技巧】求联合分布函数,Fxy时，只需把取值满足,ijxxyy的点,ijxy的概率ijp找出来，然后求和就可以了，值得注意的是不要有遗漏.而求条件分布律时的关键是将其边缘分布求出即可，而边缘分布律的求法在前节已反复强调过多次.例3.3.2已知随机变量X和Y联合概率密度为4,01,01,,0,xyxyfxy其他求⑴条件密度||XYfxy及||;YXfyx⑵X和Y的联合分布函数,Fxy.(第二问为1995年考研题)【思路】根据条件密度的定义，我们首先要求出X与Y的边缘密度，然后再来求条件密度.而联合分布函数的求法是一个较为繁琐的工作，需要分区域讨论，这些区域不能遗漏.【解】⑴由于X的边缘密度为104,012,01,0,0,Xxydyxxxfxfxydy其他.其他同理，有2,01,,0,Yyyfyfxydx其他故当01y时，Yfy0，且|4,01,,2|0,XYYxyxfxyyfxyfy其他从而，在Yy条件下，X的条件密度为|2,01,01,|0,XYxxyfxy其他同样可得，在Xx条件下，Y的条件密度为|2,01,01,|0,YXyyxfyx其他⑵对联合分布函数,,FxyPXxYy要分区域讨论.对于0x或0y，有,,0;FxyPXxYy对于01,01,xy有2200,4;yxFxyuvdudvxy对于1,1xy，有,1;Fxy对于1,01,xy有2,1,;FxyPXYyy对于1,01,yx有2,,1;FxyPXxYx从而，X和Y的联合分布函数为22220,00,01,01,,,01,1,,1,01,1,1,1xyxyxyFxyxxyyxyxy或【技巧】由于本题中，X与Y的地位完全平等，因此，在求条件密度时，只需求出一个，另一个用对称性即可得到，此对称性在,Fxy中也有很好的体现，对称性的利用也经常是我们解决数学问题的一种技巧，另外，在求,XY的分布函数时，一定要牢牢记住它的定义：,,.FxyPXxYy对一切,xy都要讨论，它是一个分区域函数，不同值的定义范围一定要证明.例3.4.1设二维随机变量,XY的概率密度函数为2,01,0,,0,kyxxyxfxy其他试求常数k,并问X与Y是否相互独立？【思路】常数k的确定仍是利用联合密度的性质，而独立性质的判断只须验证是否成立,,XYfxyfxfy为此，首先要求出X与Y的边缘密度Xfx与Yfy.【解】由联合密度的性质知100010151,22,24xxyfxydxdykyxdxdykdxxydyk所以，24.5k,XY关于X的边缘密度为2024122,012,01,550,